第九章级数 第十章多元函数反分学 上述四例说明，一个方程可能确定隐函数，如例1,2,3，也可能不确定隐函 第十一章隐函数 第十二章反常积分与。 第十三章重积分 数，如例4.一个方程可能确定一个隐函数，如例1，也可能确定二个（或多个）隐 函数，如例2.一个方程确定的隐函数可能是初等函数，如例1,2，也可能不是 访问主页 初等函数，如例3（因为超越方程不能用代数方法求解）.值得注意的是例3这 标题页 种情况，它说明隐函数包含着非初等函数从而给出了表示函数的新方法， 炒 扩大了研究函数的给围. 4 第7页17 返回 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 7 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ þã♦⑦❵➨,➌❻➄➜➀❯✭➼Û➻ê,❳⑦1,2,3,➃➀❯Ø✭➼Û➻ ê,❳⑦4.➌❻➄➜➀❯✭➼➌❻Û➻ê,❳⑦1,➃➀❯✭➼✓❻(➼õ❻)Û ➻ê,❳⑦2.➌❻➄➜✭➼✛Û➻ê➀❯➫Ð✤➻ê,❳⑦1,2,➃➀❯Ø➫ Ð✤➻ê,❳⑦3(Ï➃❻✖➄➜Ø❯❫➇ê➄④➛✮). ❾✚✺➾✛➫⑦3ù ➠➐➵,➜❵➨Û➻ê➑➵❳➎Ð✤➻ê.❧✌❽Ñ✡▲➠➻ê✛★➄④➜ ✯➀✡ï➘➻ê✛❽➀
关于两个函数x与y的方程F(x,y)=0确定隐函数，可类似地推广到n+1个 变数1，x2,·,xn,y的方程 第九章级数 弟十章多元西数微分学 第十一章总雨数 第十二章反常积分与一 F(x1,x2,.,x,y）=0. 常十三最重积分 若存在点P6(x,x,·,x)的邻域G,P(x1,x2,·,xn)∈G通表上面 访问主页 方程对应唯一一个y,设y=f(x1,x2,.,xn),有 标题页 炒 F[1,x2,.,xn,fc1,c2,·,xn】≡0 则称n元函数y=(x1,2,·,xn)是由方程F(c1,x2,xm,)=0所确定 第8页417 返回 的隐函数 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 8 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ✬✉ü❻➻êx❺y✛➄➜F(x,y)=0✭➼Û➻ê,➀❛q✴í✷✔n+1❻ ❈êx1, x2, · · · , xn, y✛➄➜ F(x1, x2, · · · , xn, y) = 0. ❡⑧✸✿P0(x 0 1 , x0 2 , · · · , x0 n )✛✙➁G,∀P(x1, x2, · · · , xn) ∈ G Ï▲þ→ ➄➜é❆➁➌➌❻y,✗y = f(x1, x2, · · · , xn),❦ F[x1, x2, · · · , xn, f(x1, x2, · · · , xn)] ≡ 0 ❑→n✄➻êy = (x1, x2, · · · , xn)➫❞➄➜F(x1, x2, · · · , xn, y) = 0↕✭➼ ✛Û➻ê
第九章级数 第十章多元函数反分学 例5.方程F(c,y,2)=x+xy+y2-4=0,(c,)∈R(y卡0)，通过 第十一章隐函数 方程对应唯一一个2即2=4-显然有 第十二章微常积分与。 第十三章重积分 y F(x,y 4-x-x以三0. 访问主页 标题页 由隐函数定义2=4-一四是方程F红，y,)=x+y十2-4=0所确 炒 定的确（二元）隐函数. 第9页17 返回 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ⑦5. ➄➜F(x, y, z) = x + xy + yz − 4 = 0, ∀(x, y) ∈ R2 (y 6= 0),Ï▲ ➄➜é❆➁➌➌❻z,❂z = 4 − x − xy y .✇✱,❦ F(x, y, 4 − x − xy y ) ≡ 0. ❞Û➻ê➼➶,z = 4 − x − xy y ➫➄➜F(x, y, z) = x + xy + yz − 4 = 0↕✭ ➼✛✭(✓✄)Û➻ê
隐函数还有更一般的情况：若干个方程构成的方程组所确定的隐函 数（组）. 第九章级数 常如，两个方程构成的方程组 弟十章多元西数微分学 第十一章总雨数 第十二章反常积分与一 { (x,z)=5x+yz+z2-6=0, 弟十三最重积分 F2(x,y,z）=x+y+z=0. Vz∈R(z≠5)，通过方程组对应唯一一对x与y, 访问主页 7= 6 标题页 5- 与y=+12-6) 5-z 炒 显然，有 6(z+1)(z-6) )=0， 第和页417 5- 返回 (z+1)(2-6) F5- 5-2 ,z)三0 全屏显示 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ Û➻ê❸❦➁➌❸✛➐➵:❡❩❻➄➜✟↕✛➄➜⑤↕✭➼✛Û➻ ê(⑤). ⑦❳,ü❻➄➜✟↕✛➄➜⑤ F1(x, y, z) = 5x + yz + z 2 − 6 = 0, F2(x, y, z) = x + y + z = 0. ∀z ∈ R(z 6= 5),Ï▲➄➜⑤é❆➁➌➌éx❺y, x = 6 5 − z ❺ y = (z + 1)(z − 6) 5 − z . ✇✱,❦ F1( 6 5 − z , (z + 1)(z − 6) 5 − z , z) ≡ 0, F2( 6 5 − z , (z + 1)(z − 6) 5 − z , z) ≡ 0
一般情况是，n个变数m个方程(m<n): f(c1,x2,.,xm,xm+1,.,cn)三0， F2(a1,x2,·,xm,xm+1,.,xn)三0， (1) 第九章级数 第十章多元函数微分学 第十一章总函数 Fm(x1,x2,.,xmxm+1,·,xn)三0. 第十二放反常积分与 第十三章重积分 若存在m个函数 x1=f(xm+1,.,xn), x2=f(xm+1,·,xn), 访问主页 (2) 标题页 xm=f(xm+1,·,xn) 满足方程组(1)，即 f(fi,f2,.,fm,xm+1,.,xn)=0, F2(f1,f2,.,fm,xm+1,.,xn)三0， 第11页417 返回 Fm(fi,f,.,fm,xm+1,.,xn)≡0. 全屏显示 则称函数组(2)（共m个函数）是方程组(1)所确定的隐函数组 关闭 退出
✶✃Ù ❄ ê ✶➏Ùõ✄➻ê❻➞➷ ✶➏➌ÙÛ➻ê ✶➏✓Ù ❻⑦➮➞❺. . . ✶➏♥Ù ➢ ➮ ➞ ➊ ➥ ❒ ➄ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 11 ➄ 417 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ ➌❸➐➵➫,n❻❈êm❻➄➜(m < n) : F1(x1, x2, · · · , xm, xm+1, · · · , xn) ≡ 0, F2(x1, x2, · · · , xm, xm+1, · · · , xn) ≡ 0, Fm(x1, x2, · · · , xm, xm+1, · · · , xn) ≡ 0. (1) ❡⑧✸m❻➻ê x1 = f(xm+1, · · · , xn), x2 = f(xm+1, · · · , xn), xm = f(xm+1, · · · , xn). (2) ÷✈➄➜⑤(1),❂ F1(f1, f2, · · · , fm, xm+1, · · · , xn) ≡ 0, F2(f1, f2, · · · , fm, xm+1, · · · , xn) ≡ 0, Fm(f1, f2, · · · , fm, xm+1, · · · , xn) ≡ 0. ❑→➻ê⑤(2)(✁m❻➻ê)➫➄➜⑤(1)↕✭➼✛Û➻ê⑤