初级球差曲线为一直线,它和实际球差曲线的偏离即为高级球差。如图2-18所示。 对于能用球差级数展开式中的前两项 来描述的光学系统,当边缘光线(最大入 射高h处)球差为零时,其它各入射高 (又称各带区)处光线的球差并不为零, 而是如图2-17中曲线I所示。这种沿带 分布的球差残余量通常称为带球差。下面 分析残余球差在哪一个带区最大。取两项 时的球差表示式为(2-18)式: 对边缘光线校正了球差,即有: 2-18 由此式可解出两个系数之间有如下关系: 将上式代入(2-18)式,则可得到边缘球差为零时的残余球差公式为 8Lx=(-a4}h2+a 上式中,下角标c表示残余,z表示带区。欲求残余球差在何处为极大值,可将上式对 h求导数,并令其等于零,得到: d(SLcs) d 204m+4G, h'=0 由上式就可解出使8L为极值的入射高度为 h=-/h 这说明在球差由级数展开式前两项表示的情况下,当边缘校正了球岩后,在0.70m处 残余球差最大。将h=0.707。代入(2-19)式,则可求得0.707带区的线余球差值为 8L,14=(一a,h=)h2+u4 (2-21) 因a表示边缘光线的高级球差值,可见当边象球差为零时,0.707带区的残余 球差值等于边缘光线高级球差值的四分之一,而符号相反。故此值可以反映系统高级球 差的大小。因此在光学设计时,除计算边缘球差外,还必须计算0.707带区的球差。 当光学系统孔径角很大时,如高倍显微物镜,高级球差很大,除二级球差外,三级 球差也不能忽略,此时应取球差展开式中的前三项表示。光学系统的高级球差取决于纬 构型式,应选用高级球差尽可能小的结构。当光学系统绪构型式确定后,只能控制拟级 球差,使之和高级球差相补偿。但是初级球差和高级球差按不同的因次变化,因此只能 对一个带(有的系统可以对两个带)校正球差,其它带上必然有残余球差存在。为了全 面了解光学系统球差的情况,当对边缘光线校正球差后,还需对带光进行光路计算求出 带球差
0 高级球差不仅随孔径增大而产生,同时入射光束的原有球差也会引起高级球差,前 者是由球面固有特性引起的高级球差,称为本征(有)高级球差,后者是由入射光束 已有的像差引起(派生)的,称为衍生高级球差。由于实际高级球差的公式很复杂,故 下面只研究本征二级球差和衍生二级球差,其系数分别用S和△S表示。 当入射于某一个折射面的光束无球差时,1=L,再令1=smU,则由;=1=ru 和sin=-inU两式可知,;=組m,再由n=n和sm=m1两式可知, =sin厂。故由(2-11)式和(2-14)式得球差准确分布系数的表示式为 s.=5c-2.(1-U)eos2("+U)cs(/+r) 测单个折射球面的高级球差系数可由(2-2)式和(2-14)式的差异得到 S-S=S (2-23) (I-U)oos-(I'+U)cos(1+I' 当只考虑本征二级球差时,上式右端分母中各余弦值可用其级数展开式的前两项(角度 的二次方以下各項)代替,则由(2-23)式可得 (I-U) (+U)21 (I+r)2 进一步将分母中Ⅰ、!、U用讠、、a代替,并略去高于二次方以上各项,则上式可 写成 〔(-a)2+(i+a)2+(i+2 8-S:(i-u)2+(+)2+(i+) (2-24 由(2-2)式可以看出,本征二级球差恒与初级球差同号,且与初级球差成正比 比值s与(i-x)2+(+)2+(i+f)成正比。对光学系统的折射面来说,也 就是和相对孔径〔h/r)的平方战正比。所以无论i或a增大,都将使本征二级球差 增六。因此,光学系统各折射面的半径应尽可能大些,以便入射光线在一定高度下,折 射面的相对孔径能小一些。当系统中有h/r>05的折射球面时,其本征高级球差将 严重影响系统的像质。 对于双胶合透镜的胶合面,由于两边的折射率差值很小,又要产生足够的正球差以 补偿负球差,其曲率半径通常较小,相对孔径要比其他两个折射面大得多,故会产生驶 大的正值本征高级球差。为了平衡这一高级球差量,系统必须在边獠孔径产生同量的初 皺球差,以使边緣光线的球差为零,因而中间带必然剩下负蔥的残余球整。 当入射光束本身有球差时,故l午L,"snU,由(2-11)和(2-14)两式
31 可得 LsinU(sin I'-sinU)(sinl-sin/') (I-U)eos (I'+U)coso(I+1) (2-25) 其中由于(2-25)式右边第一项分母中的余弦不等于1而引起的本征二级球左已讨论 过,所以把分母中的角度余弦略去高次项后,衍生二级球差为: LsinU(sinI-sin/)(sin//-sinU)_t la( i-i'G 由于sinr=D-r a,代入上式方括号中可得: Lsinu(sin I=sin I) (sin I'-sin() L(L (-1+1)12-1+1-)(1-1+1-“+",)y如M-+ L-l 1 1 由于(L-1),(a-sinU)均为小量,将上式展开并略去高次小量后,代回(2-26) 式中可得 s-S1+(-1)(÷+12+,-m+,)-3(m-i)-, =S|(L-1 3( s(L-1 1 3(L-1snU+3(L-1) SI(L-I 十 +3
由(2-27)式可知,由于入射光束已有球差,÷1,sinU+M,故对一个折射面 来说,其入射光束的L+l和 Sinu→l是同时存在的,所以式(2-27)中方括号内的 值可正可负,即行生二级球差可以与初级球差同号,也可以与初级球差异号。由于折射 面产生的本征二级球差与初级球差是同号的,因而为了减小高级球差,希望折射面产生 与初级球差异号的衍生二级球差,也就是希望(2-27)式中方括号内的值为负值。但是 对一个折射面来说,并不是入射光束原有球差(L-1)为任意值都能使(2-27)式中 方活号内的值为负值,必须要做具休分析 下面仍以前面分析过的某仪器中的双胶物镜的胶合面为例来进行讨论 由表2-6可知,第一折射面产生的球差为负值,即对胶合面而言,入射光束的球差 为负,(L一1)<0。由于胶合面r<0,1>0,(參见表2-3)故有 <0 则(2-27)式方括号中第一项为正值。欲使该方括号为负德,只有第二项sm-1 Lint一 才有可能由表2-3知|=19.4268,由表2-6知LsnU=19.5204,故1 所以此胶合面不满足上述条件,因而二级球差较大。 习题与思考题 1.试分析单个折射面当r<0,PA>0,n′>n时球差的符号。 2.设一个只有初级球差的光学系统,在全孔径处轴向球差bL=1mm,试写出其初级球差表录 式,并求其在0.707孔径处的初级球差 3.已知物点A位在第一折射球面的球心上,r1=-40mm,试设计一个厚度为5mm,玻璃折射 率为1.5的齐明透镜(求r2)并求出它们的像距L。 4,试举出两个单个折射球面无球差情况的运用实例? 5.如何根据球差曲线判断此系统主要是初级球差还是具有较大的高级球差? 6.按判定折射面球差符号的法则判断图2-14中双胶合物镜的各个折射面的球差符号,并用表 2-3和表2-5中光路计算的实际数据加以验证和说明
第三章初级像差理论 第二章研究了轴上物点的单色像差·—球差,这是光学系统成像的一种特殊情况。本 章将讨论成像的一般情况,即物点不在光轴上的单色像差,导出轴外物点的初级像差公 式,分析各种像差的性质及各种像差和光学系统结构参数的关系。 §3.1轴外物点的初级像差公式 由于整个系统最后像空间的总像差等于各个球面像差贡献量之和,所以在推导轴外 物点的初级像差公式时,首先对单个折射面推导,然后再推广到共轴球面系统。由于共 轴系统的对称性,通过光轴的任意一个截面内的成像性质都相同。了解了这个截面内的 物点的成像性质,整个空间的成像性质就知道了。因此可假定物点位于图平面,即XY 坐标面内,而不影响讨论的普遍性 图3-1表示一个单折射面时轴外物点的成像情况。在图3-1中B点是位在过A点 的垂直线上的一个轴外物点,下面就研究它的像差。按照像差的定义,它代表实际光线 在理想像平面上的交点和理想像点之间位置的误差。为了求得B点的像差,必须首先确 定B点的理想像点B的位置。假如A点的理想像点为A,则根据理想光学系统的成像 性质可以知道,B点的理想像点B必然位于过出点垂直光轴的直线上,同时物点B、 折射面球心C和理想像点B是在一条直线(即辅助轴)上,因此连接B、C点的直线 和过4点垂直线的交点B就是B点的理想像点。 D 图3-1 对于一个折射球面来说,任何一条通过折射面球心的直线都是折射面的对称轴,所 以可以把BC这条直线当作光轴,我们称这条轴为辅助轴(原来的光轴称为主光轴)。B 点对辅助轴BC来说是一个轴上物点。假定B为B点沿着辅助轴的近轴像点,但是B 点并不和B点的理想像点B重合,因为B点是B点相对于辅助轴的近轴光线的像点 而B点对于主光轴AC来说已超出近轴区,故B点相对于辅助轴的近轴光线对于主光轴 来说也是超出了近轴区,故其像点不再是理想像点,而和理想像点B有一定距离。为