24 求解校正球差的初始绪构。 下面以某仪器的物镜为例,求出各↑折射面的初级球差系数和物镜的初级球差值 物镜结构如图2-14所示。其结构参数为: d1=82=1.5163 r:=-66.68 d1=3n3=1.6242 光学特性为;f=16182,D=40,20=7,L-0 图2-14 首先计算一条近轴光线,其计算数据如表2-3所列。将表2-3中有关数据写入裘 2-4中,根据(2-14)式则可算出各折射面的S:值 亵2-3 405.773 9506 66.68 259,40 337.858 h:20 95,08 一6.68 -259,4 0.210393 一0.362984 0.121867 1/1,5163 15163/1,6242 16242/1 0.138754 0,338870 0.19793 w(a i ) 163 184.118 475,453 415.429 66.68 259.4 279.178 408.773 156.029 19.2843 0,071639 0.047525 0.123594 279.178 408.773 156.029 271.178 405.773 由表2-4可知,第一面和第三面产生负球差(球差8L′与S1反号),第二面产生正 球差,且第二面的球差贡献量最大。这是因为第一、三两面的负球差均需由第二面的正 球差抵消。 根据(2-15)式可求出双胶物镜的初级球差值为: 62225,=2(0.1235910.041827-700584012721 0.23743
表 第1闻 第3面 第3画 15163 1.6242 0,0 0.071639 0.210393 一0.382984 0.121867 0.138754 0.338870 0.197936 0.210393 0.550393 0,024114 0.138754 0.410509 0.2454G 0.041827 0.105844 0.071272 由于近轴光线光路计算时,所取的光线初始高度与边缘光相同,因此求得的是边缘光 线,即全孔径时的初级球差值 为了比较,下面利用(2-8)式求出此双胶物镜各个折射面的球差分布系数S和双 胶物镜的实际球差值。为此需计算一条边缘光线,其计算数据如表2-5所列 表2-5 算1 第2 第3 L 268,485 416,380 95.06 66.68 259,4 335.145 x sint 0.072710 259,4 in j 0.210393 0.365453 x n/ n 1/1,5163 16183/1642 16242/1 0,138754 0.341175 66,88 0.072710 0,046804 0.12 181.405 483.060 415.538 95.06 -66.68 259.4 276.465 419380 156,138 L 68.465 415880 4.16963 2.68285 12.14538 21,435486 -7.00352 U+I -4.32097 7.97575 19.94848 11.42250 4.16963 2.88265 7,10153 由表2-3可查得i,由表2-5可查得L,sinU,D和snU,根据(2-8)式便可 求得各折射面的球差分布系数S,其计算数据如表2-6所列
表2-6 第2面 L’sinU 20.10177 19.62866 19.303013 Using 19.52009 9,43825 0.I0177 0.10857 0.185237 0.21)393 0.55739 0.197936 0,0428232 0.1:352 0.07333 按光路计算求得实际球差值为 8L′=L3-l3=156.138-156.029=0.109 按克尔伯的球差分布公式求得球差值为 82=2mO∑S.0.109(物方8L=0) 可见按克尔伯球分布公式求得的球差值与按光线光路计算求得的球差值完全 相同 将初级球差与实际球差相比,不仅相差皎大,而且符号也相反。这是因为消球弟系 统的初级球差和高级球差是异号的,两者抵消后的剩余量才是实际球差。故这个双胶合 透镜不能用初级球差来代表实际球差 但对结构参数为 =62.5 =I.5163 r2=-290.5 的单透镜,当孔径h1=10时,计算得 初级球差值为-1.020 实际球差值为-1.031 说明相对孔径(对单个折射面来说,指入射高度h与折射面的曲率半径「之比,对整个 系统来说,指通光口径与焦距之比,由于相对孔径近似等于光束的会聚角,故通常不直 接用光束口径,而采用相对孔径)不大时,初级球差和实际球差非常接近,高级球差很 小,只用初级球差表征其球差即可 以上讨论的初级球差是球差展开式的第一项8L=a2h2或8L!=b2U3,可知当以h 或U为纵坐标,以8L为横坐标时,初级球差曲线为一抛物线,如图2-15(a)所示 当以2或U2为纵坐标时,初级球差曲线为一直线,如图2-15(b)所示。这表明 当物距不变时,初级球差值与相对孔径的平方成正比。如果将光学系统的r、d、及 h同时缩放某一倍数(由于横向与纵向尺寸同时缩放,相当于改变比例尺,故称为整体 缩放系数),则相对孔径不变,其他各个角度值也都保持不变,但由于轴向长度的比例 尺改变了,所以第一赛得和数和初级球差也缩放了同一倍数。 如果系统只存在初级球差,只要对某一入射高计算一条光线,即可求出8D!=a22
图2-15 中的系数叫(与b=2m24S,相比,知a2=2m1H2S,}则其他任意入射高光线 的球差都可由8L′=a22式直接求出而不必进行光路计算。 由于垂轴球差与轴向球差有一定关系,故可由轴向球差表示式求出垂轴球差表示式 8y1=8L'tgU≈8Lu= (2-16) 将(2-16)式与(2-3)式相比,可得出: (2-17) §2.5带球差和高级球差 上一节讨论了球差级数展开式的第一项即初级球差,同时以双胶物镜为例,说明其 球差值不能仅用初级球差表示,还必须考虑高级球差,这时可取级数展开式的前两项表 示(以二级球差代裘高级球差),即 8L′=a2h2+ah4 通过光路计算分别求出射高为h和h2的两条光线的球差8/和8L2后,可得 方程 SL1=a,hi+a,h4 (8L=a22+q小 将两方程联立,则可解出系数a2和a代入上式便能直接计算任意光线的球差值 而不必进行光路计算。对大多数系统,这种方法有足够的精度。 在光学设计中,还常用光路计算的方法计算出若干个入射高的球差,并画出球差曲 线,以便于一目了然地了解系统的球差情况。应用电子计算机计算各口径的球差是十分 简单的。下面仍以前面计算过的双胶物镜为例 由光路计算得各帝区球差值如表2-7所列,若由级数展开式计算,可先由边缣(h =20)光线和0707带区(h=0,707hm)的球差值列出方程组,便可解出两个系数。为 方使计,将展开式中的高度用规化值,即相对值h/h来表示,由此得到 a2+a4=0.110
28 8.37b=a2 0.70 7h 0.5a2+0.254=-0,039 解得 0.266 则此物镜的球差随光线高度而变化的关系式为: 8L′ s()+030(是) 0.266 将按上式求得的各带光线的球差也列入表2-7中,它们与由光路计算求得的球差值基本 上是…致的 表2-7 带 区(h/h。) 0.25 0.5 0.707 0.85 由光略计算求得的球差价 0.014 0.040 0.039 0.001 0,110 由级数展开式求得的球差镇 -0.039 级散展开式第一-0.26()2 0.0166 0.0665 0.13 0.266 级数展开式第三朝036(hn) 9.0014 0.0235 0.09 0,196 0.376 图2-16给出了按光路计算求得的实际球差曲线。上…节已指出,如果光学系统只 存在初级球差,则画出的球差曲线应该是一条抛物线,如图2-17中曲线I所示。当球 差存在两项时,由上面的计算可知,初级球差与高级球差符号相反。因此,光学系统能 对某一入射高度的光线校正球差,是由于在该入射高度的初级球差和高级球差相抵消的 结果。通常对边缘光线消除球差,其球差曲线如图2-17中曲线1所示。由于它是初级 球差和高级球差综合的结果,当此曲线和初级球差曲线部已知时,则可以求出高级球差 (高级球差是实际球差与初级球差的差值)曲线,如图2-17中曲线所示。对于一个光 学菸统,当通过实际光路计算得出球差曲线后,根据球差曲线的形状就可以判断此系统 主要是初级球差,还是具有较大的高级球差。如果以2为纵坐标绘制球差曲线,显然 0,2 图2-16 图2-17