求出B点对理想像点B的像差,可分两步进行。首先求出B点对B点的像差,由乎 B点对辅助轴来说是一个轴上物点,故可用第二章中轴上物点初级垂轴球差公式(2-5) 求出B点对B点的像差。其次求B点对B点的像差,这只要求出像面变化(计算像差 的坐标原点由B0点移动到B点)后的像差变化量,然后与B点对B点的像差相加即 可得到B点对B点的像差。下面按此分别进行讨论。 3.1.1B点对辅助轴BC的近轴像点B的像差 为了找出B点对辅助轴的近辅像点B的像差,只须求出光线对辅助轴的入射高代 入轴上点球差公式即可。图3-1中MN是限制光束孔径的光阑。在初级像差范围内,虽 然物点已超出近轴区,但仍可假定物高不太大,因此可以近似她把光线在球面上的入射 高用球面顶点切平面上的入射高代替,因而由不同物高y的各个物点所发出的光束通过 光阑MN以后,它们和折射球面截圆的半径都可近似认为相等。这样就可采用光束截 面半径h表示同一物平面上所有物点的成像光束孔径。对光束截面内的任意一条光线,可 以用主光线的入射点为原点的极坐标(h,0)表示它的入射点的位置,而该光线相对 于辅助轴的入射高可用直角坐标(Y,Z)表示,如图3-1所示。物高为y的物点B相 应的像高为y,通常用y′表示成像范围。下面就找出入射高和光束孔径h以及像高y 之间的关系。 由图3-1看到,当物高y改变时,整个光束截面在球面上作平移,主光线的入射高 随之变化,必须首先我出主光线入射点(光束截面中心)P的位置和物高y的关系。主 光线对辅助轴的入射高h即OnP可分为两部分: h,=OBl=0,o+OP 在物平面位置和光阑位置一定的条件下,由于△AB2~△OP2,OP和y成比例,同时 由于△ABC~△OO2C,O2O同样和y成比例,所以OaP和y成比例,而y与y′成比例 故O2P和y成比例。由此得到 h2=OnP=00+OP=qy′ 式中q′为比例常数,它是物体位置和光_位置的函数,它的公式将在后面导出。以上即 为主光线的入射高和像高y′的关系。 如图3-1所示,若任意一条光线BQ在光束截面中对应的极坐标为(h,9),则它 对于辅助轴的入射高的直角坐标为: Y=O,P+hose=qy'thcose Arsine 以上就是用光束孔径h和像高y′表示的任意光线对于辅助轴的入射高,代入第二章中 轴上物点初级垂轴球差公式(2-5)即可求得B点发出的光线对于B的初级垂轴像差 8z(B)=A(Z2+Y2)z=A〔ksi49+(qy+ho))lsie y(BO=A(Z+YY=ACh'sin20+ 0)2)(gy 将上式展开,并按h的降幂排列得到 82(BO)=Hsin(+.Aq'yh2(2sin goose)+A(qy)hsin (3-2) 8y(B6)=s+Aq'yh2(1+2cos3)+3A(q'y)3hcos9+和y
上式即为物点B对于B的初级像差(垂轴像差)公式。式中A应该是B点对于辅助轴 BC的轴上球差系数。但在物高不大的条件下,轴外物点B到Oa的距离和轴上物点A到 O的距离近似相等,所以它们献轴上球差系数可近似认为相同。 3.1.2B点对理想像点B的像差 上面已经求出了B点对于H的像差、为了求出B点对理想像点B的像差,倍要求 出像面改变后的像差变化量,因此首先导出像面移动时像差的变化量公式。 像面移动时像差变化置公式 假定像面移动△,如路3-2所示,租应的垂轴像差8y的增量为8(8y)。 △的符号规则是:以原来像面为起点,由左向右移动为正,由右向左移动为负 图3-2中物点A发出的孔径角为U的光线,经折射面折射后在理想像面上垂轴像差 为8y,如果将像面移动△,则对新像面的垂轴像差为8y“,锒差变化量(像差附加 量)可由图得到: T/ 如果光线不和图平面重合(参看图2-2),像差用两个分量表示时,可以求出两个像差分 量的变化量为 8(8z)=-△ (3-3) 8(8y)=-△ 以上即为像面移动时的像差变化量公式。 二、求像面移动量B 5B6 为了求出像面由B移至B时的像差变化量,只要求出像面移动量BB,然后代 入公式(3-3)即可 为求得BB,我们以C为圆心,分别以AC和C为半径作圆弧交BC辅助轴于 D点和Db点,如图3-1所示。则BB=BD6+DB,下面分别求出B0D和DB 1.求BD 由图3-1,DOn=AO;DO=40,4为A点的近轴像点,由于球面的对称性 D也应该是D点对辅助的近轴像点,而B是B点对辅助轴的近轴像点,因此线段 Db是BD的近轴像。由BbDb=BDa知,只须求出BD即可。当y不大时,BD可以 近似地用它在光轴上的投影A代替,即BD≈AI。为了求得Al,可取出图3-1中的
部分,并延长AD圆弧成整个半圆,如图3-3所示 C 由图可知,△FAD~△ADI,因此有 di 式中AF=2AC=2(r-1),AD≈AB=-y,代入上式得 BD 故可得出 BADo=BD y 将几何光学中的公式y=na'y//m和a=m2/m'2代入上式得 BoDo 求DB D6B6同样可近似地用A6代替,按照上述方法可求得 DOB=Aor/ 3.求BB 将D和DB相加,即求出像面移动量BB BB6=BODo+DB (r-)r- 利用不变量公式 可得 代入上式可得: Bo 由单个折射球面的共轭点方程式可得:
代入上式可得 三、程点对理想像点Bb的像差 根据像面移动量△的符号规则,在图3-1中由B移至B时是由左向右,故△为 正,由此得到 △=BB 将上式代入像面移动时的像差变化量公式(3-3)得: 8(8x) y 8(8y′) n Y 式中Z=sin,Y=qy+hcos9 代入上式得 令D=-2·“m,则得到像面由B移至B时的像差变化量公式如下 8(8z)=Dy*hsin (3-4) 8(8y)=Dqy+Dy/hcos 9 将(3-2)和(3-4)两式相加,即求出B点对于理想像点B的像差如下; 82=Sz(B6)+8(82)=.4hsin(+Aa'yh2(2sin Dcos 0)+(Ag'2+D)y'3hsing 8y=8y(BO)+&(8y)=4h2 cosB+ Aq'yh( 1+2cos0) +3A(9y)hcos0+A 'sy/+Dq ys+Dy/hose An'cos0+Aqy'h (1+2c0320)+(3. Aq2+D)y/hcos0+(A+Dg')y' 若令; B=Ao' C=Ad E=4q'at de 则上式可写成: 82=_4hsine+ By'h (2sin (: 0)+(C+D)hsing (3-5) 8y=Ah'cos0+ Byh (1 +2cos 0)+(3C+D)y/hcos8+Ey (3-5)式就是轴外物点的初级像差公式,公式中h代表光束口径,y代表像高,A 为轴上物点球差系数,B为彗差系数,C为像散系数,D为场曲系数,E为畸变系数
A、B、C、D和E等初级像差系数是球面半径,介质折射率以及物体位置和光阑位置 的函数。当这些系数已知时,可由上式求出任意像高和任意光束孔径的光线的像差。因 此,它能够充分地表示出初级像差的特性。当球面半径、介质折射率、物体位置和光阑 位置改变时,初级像差系数的大小虽然改变,但公式的形式不变。所以把上式称为初级 像差普遍式。 当光学系统由若干个共轴球面折射面组成时,整个系统的像差是各个折射面像差贡 献量之和,因此公式的形式未变,只是其中的系数数值不同,且相互关系也不同,所 以上式也可以看作是任意共轴球面系统的初级像差普遍式。 公式(3-5)是一个很重要的公式,这个公式表示出轴外点的像差和光线坐标y h、θ的关系。在第二章,我们曾根据(2-4)式(也是轴上点像差和光线坐标的关系式) 分析了轴上物点的成像光束结构。下面根据(3-5)式分析轴外物点的成像光束结构。 §32单色像差的性质 轴外点初级像差普遍式表明,由轴外物点发出一束圆锥光束,在像面上并不相交子 理想像点,而是产生垂轴像差82与8y,也就是说,在像面上形成一个形状复杂的弥 散图形。公式(3-5)中包括了好几项,如果将这些项合在一起分析成像光束结构因过 于复杂而不便于分析。通常将各项分开,逐项研究其影响。8z′和8y两个公式中系数 相同的项(如 Aisin和Ahcs9系数相同,均为A)是同种像差在两个方向上的坐标 分量,称为对应项。下面依次分析每一组对应项对成像的影响。 32.1球差 首先分析82和8y中系数为A的对应项 z′=Ah°sine (3-6) 8y=.4hcose 上式和轴上点的球差公式(2-4)完全相同。由此可知,在初级像差范匿内,轴外点的 球差和轴上点的球差完全相同。轴外点和轴上点像差的区别仅是轴上点只有球差,而轴 外点除球差外还有其他像差。当光学系统存在球差时,对整个像面上每一个像点的质量 都有同样的影响,所以它是各像差中对成像质量影响最大的。当设计光学系统时,在单 色像差中必须首先校正球差 3.22曾差 (3-5)式中由系数B所决定的对应项表示彗差。其表示式为 8z′=Byh2(2sin9cos9) (3-7 8y′=By′h(1+2cos:) 为了便于分析,将(3-7a)式加以变换。由于 1+2cos29=2+(2cos2-1) 2sin(cos A =sin 2I