物方原有球差也可用8L表示(82=8L1)。8L是通过两个球面后在整个系统最后像 空间中度量的球差,它包括两个面所产生的球差。但如果考察第二个折射面,则不能认 为(b-8L)就是第二面新产生的球差8L,因为即使经第一面折射后的所有光束都 处在第二面的近轴区域时(第二面没有新产生球差),所有线段(如第二面物空间的球 差8L2)之长转换到第二面像空间后,均将按轴向的倍率(称为转面倍率)放大或缩小 因此像差经过折射而发生的大小变化并不就是新产生的像差。第二面新产生的球差应该 是8L2乘以转面倍率M2后与8L2之差,即 L=8L1-8L2M2 或写成 8L=8L,M2+8L 考虑到一般情况,对具有k个折射面的光学系统的第i个折射面可写成 L=8L, M,+8L4 此式说明第i面像空间的球差值等于第i面物空间球差乘以该面转面倍率后和第而新 产生的球差之和 由于轴向球差是轴向的截距差,因此转面倍率应以近轴光学的轴向放大率M1= :/m时作为其近似值。后面研究初级球差分布时就是以此轴向放大率作为转面倍率, 而研究实际球差(包括初级和高级)分布时,則不能以此轴向放大率作为转面倍率。1897 年克尔伯(A. Kerber)曾从 81=647+nibL 出发,推导出一个与实际情况符合,且比较简沽的公式,实际上可看作是取M, sinU;/m3!sinU做为转面倍率 上式也可写成(略去下角标): n!a'sinU′8L′= nusinU8L+nw'sinU8L 令x“snU"8=-2S,S.是一与折射面新产生的球差8L成比侧的量,也是表 征折射面球差的,则: =na'sin8L′- using8L =R'u'sinU(L-1)-nusinU(L-1) en'usinU'(L-r)-n'usinU(I-r) nU(L一r)+ nisin(-r) 把光路计算公式(一r)sinU=rsin/和na'(l"-r)=n'订'r=誼代入上 式得 S./-ni'rsinU'nursin I+nirsinU amir(sinUj-sinU')+nr(u'-usin I nir(sin U -sinU)+or(i -i')sin I anir(sinU-sinU)+Rir(sin I-sinI') wniC r sin U-rsinU+(L-r )sinU-(L-r)sinU]
ni(L sinu-I' sinU?) 设符号 △Z= L sinu- L sinU 则得 S.=△Z 此式称为克尔伯公式,在计算中是比较方便的。而且其中的近轴光线(1,u)和 实际光线(L,U)不一定要由物点所发出,也可由光轴上任意两点发出,只要它们通 过同一光学系统,上式就可成立,该公式在其他像差的分布公式推导中也是要用的,所 以这个公式具有普遍意义。 根据前面公式-2-S.=msiU8- musinU8L可得单个折射球面的球差表 示式 8L=m'wsinur8l-2nu'sinur-s 将此式用于有k个折射面的光学系统的每个面,则有; sin(i 8L 2 u1sin((S)I 6l!=卫sn-8L n,u sinU?(S) nu u,sinU. 1 using/ (S.) 对于一个光学系统,由于球差和转面倍率的因子为转面不变量,即 L2=8L1,8L=8L u2 sinUs=nisin/1 经过化简可得整个系统的球差表示式: sinU npAs nm U? (S.) 或写为 na-令nU8L一耳;snU18L1 1 (S. (2-9) 式中 式(2-9)就是球差分布公式。 当物方无球差,即为实际的物点时,8L1=0,(2-9)式成为 8L ∑(s)=∑ (2-10)
和式中各项分别为第讠面产生的球差和第(讠十1)面到第k面的放大率之积,此值通 常称为第氵面对整个系统最后像空间的总球差的贡献量。系统的总球差就等于各个折射 翼的球差贡献量之和。所以称S.为球差分布系数,其数值的大小订表征该面所产生球 差的大小。ΣS.称为光学系统的球差系数,它表征了光学系统的球差。 利用(2-9)式计算光学系统各个折射面的球差分布系数S.和光学系统的球差系数 是很方便的。因为该式中各个量可在光路计算表格中得到 §23单个折射球面球差公式的讨论 光学设计是根据外形尺寸计算的结果,确定各透镜组的具体绪构参数(半径、厚度、 间隔、玻璃材料),保证既能满足系统光学特性的要求,又能校正像差,因此必须了解 单个折射球面的像差性质。利用上一节的公式虽然可以计算出已知光学系统的球差和每 个面上球差的贡献量,但是仍然看不出结构参数和球差的直接关系,这一节就是利用 上节的公式,讨论球差和结构参数间的一些直观的定性关系。 23.1球差为零的点 研究不产生球差的物点位置,对我们分析光学系统球差和光学设计有指导意义。 在推导(2-7)式的过程中,曾有: 1S.nir(sin U-sinU )+mir(sin I -sinI') nir((sin U +sin I)-(sinU+sinr) ≈m2sny+Ic- 2 f 2nirsin U-I CoS 2.COs u+ I 一4 heroin (a想 2 U+。pA=-LsU cOS 将以上关系代入上式,可得: mi Sinu(sin I-sin ')(sin/'-sinU) 2c8-(I-U)0ag1(+U)∞s2 (I+f) (2-1) 则 S 2n'u'sinU?
niLsinu(sin I-sin1)(sin!'-snU) 2x'g'snos1(r-U)s1(r+)8-(1+1) 由(2-12)式可见,要使8L′=0,必须使 nissin(sinI-sinI′)(sinl sinU)=0 现讨论满足上式条件使球差为零的情况: L=0,即物点与折射面顶点重合,此时,所有光线都射向顶点,不管U角多 大,都从顶点折射而出,L′都等于零(像点也与折射面顶点重合),因而不会产生 球差。 二、sinI-sinf′=0,这一条件只有当I=I=0时才能满足,因此是相当于光 级与法线重合,物点处于球面的球心,即L=r时的情况。此时,由物点发出的所有光 线经球面后都不发生折射,其像点仍在球心,L=r。故不产生球差。 三、sin-si=0,此时,sin!=sinU,或I=U,相应的物点位置可由光 路计算公式求出 如" nr sinIn·L-rsnU r 由于saI=sinU,故得 对应的像点位量也可方便地求出。由于I′-U=I一U′,当=U时,I=U′,则由 sinI 可知,当Ⅰ=U时,可得 放以上无球差点L和L/的表示式为 (2-13) L′舞 由(2-13)式可知,物点与像点都在球心的同一边,且在球心之外,或者使实物成 虚像,或者使虚物成实像。如果将(2-13)的两式相除,可得这一对无球差共轭点L和 L之间的简单关系 LT-R 由于Ⅰ=U,【=U,故有 所以当物和像点的位置满足(2-13)式时,不论光束的孔径角U多大,比值snU ainU总与L/L′相等,且为常数n/n,故不产生球差。在第三章可以看到,譫足(2-13)
式条件的对共轭点在垂轴平面个小区域内也不存在差。这样的一对共轭点称为不 晕点(又称为齐明点或等明点)。 不晕点的物像位置如图2-5所示,其中(a)图表示的为n<n′,r<0的情况 〔b)图表示的为n>n’,r<0的情况。其它情况就不画了。 光一 图2-5 上述三种无球差的情形在光学设计中应用较多。下面介绍几种单个折射球面无球差 情况的应用实例 例一在照明系统聚光镜中的第一片透镜往往利用第二和第三种无球差的情形。郾 3-6所示为豪光镜中的第一片透镜,灯丝放在第一折射球面的球心处,使所有光线都无 折射地通过第一折射球面,其像点仍在球心。这样r1可由工作距离L1决定。那么第二 折射球面半径如何确定呢?应该使灯丝的位置处于第二折射球面的等明点处,则灯丝对 第二折射球面而言应满足 也即r2值由下式决定, 1 其中 L2=L1-d(d为邊镜的厚度) 这样灯丝发出任意宽的光束经过上述透镜不产生球差,称上述透镜为齐明透镜。 例二等明崴大锦是利用第一种和第三种无球差情况构成的超半球无球差透镜, 西2-7所示