第二章球差 第一章概略地介绍了各种像差现象,本章开始将较深入地分析各种像差。 从第一章叙述可知,一个轴外物点会产生各种像差,而轴上物点,就单色光而言只 产生球差,因此比较简单,所以首先研究球差。 §2.1球差图形 如前所述,一个轴上物点发出的光束经光学系统成像不再相交于一点就是球差。图 2-1表示一个光学系统的球差,考虑到一般情况,仅画出其第一和最后两个折射面。 个轴上物点A经光学系统成像,近轴像点为4,一条孔径角为U的光线,经光学系统 后交光轴于A点,近轴像点的像距为l,A到最后折射面的距离为L,则二者之差 可以表示球差的大小,以8L′表示 L′=L (2-1) L 显然,各个孔径(带区)的光线有各自的球差值。8L愈大,表示光学系统的球整 愈严重,成像质量愈差。由于8L是一个沿光轴方向度量的量,是一种轴向像盖,故掌 为轴向球差。通常的光学系统只能使一个孔径(边缘孔径)的球整为零。称为清琅_或 校正球差。有些光学系统可以对两个孔径校正球差,但不可能使所有孔径的球属时为 零。若边缘孔径的球差不为零,有负球差(bL′<0)时称为球差“校正不足成“ 校正”,有正球差(8L>0)时称为球差“校正过度”或“过校正。 此外,球差还可在垂轴方向度量,称为垂轴球差。通常是在理想像平面上非度量 的。如图2-1所示,通过点垂直于光轴的平面即为理想像平面,孔径角为U的光线 经光学系统后与理想像面的交点到光轴的距离即为垂轴球差(或称为横向球差),用8y 表示 8y′的符号规则是:以理想像点为计算起点,到实际光线与理想像面的交点,向 上为正,向下为负。 由图2-1可知,同一孔径的光线,其轴向球差和垂轴球差之间有一简单的关系
8y′=8tgt 下画讨论成像光束仅有球差时,其与理想像平面所截的弥散牦图形(简称球差图 形)。为了分析有球差时,出射光束的结构图形,需要知道当光束入射高度变化时球差 值的变化规律。由同一点发出与光轴成有限角度U的光线或距光轴有限高度h的光线, 其像方截距L′是h或U的函数,故球差也必然是h或U的函数,但由于球差8L与h 或U之间的关系不是用简单函数所能描述的,因而将球差展开成h或U的幂级数。 2.1.1球差的级数表示式 球差的级数展开式可写成; =a+a1h+a2b2+a43+a,h4+… 式中a、a1、a2、……等系数是光学系绕结构和物点位置的函数。 由于共轴球面系统是轴对称系统,故轴上点发出的光束折射后仍然对称于光轴。因 而当入射高改变符号时,轴向球差值不变,即入射高为h和(“h)的两条光线折射后 是相交于光轴上一点的。从这个性质可得出结论;球差的级数展开式中不应包含h的奇 次方项。而且当h=0时,球差必为零,故球差展开式中没有常数项a。所以球差展开 式应该是如下形式 对于垂轴球差,当h改变符号时,垂轴球差数值大小不变,但改变符号,即入射高 为h和(一h)的两条光线其垂轴球差大小相等符号相反,故垂轴球差展开式中只包含 h的奇次方项,而由(2-2)式 8y=&Ltg=8L h 可见8y的幂级数展开式应比8L′的幂级数展开式(以h为自变量)高次方,即 y=A3h2+A°+A (2-3h 以上各展开式中第一项称为初级球差(因A4为h的三次方项,有的作者称为三 级球差)。 第二项称为二级球差(有的作者称为五级球差)。 第三项称为三级球差(有的作者称为七级球差)。 其余各项依次类推。二级以上的球差统称为高级球差。 在几何光学中,曾讲过当实际光路计算公式的角度越近于零时,即用三角函数级数 晨开式(sn=8-6/8:+6°51…)的第一项来代替三角函数(sin6=8)时,得到 的公式就是近轴公式。利用近轴公式计算出来的像就是理想像,而实际光线位置和理想 像点位置的差就是像差。因此像差的存在可以看作是级数中其余各项所引起的。在像 差理论研究的发展过程中,为了由易到难;由浅入深,一般把像差分成初级像差和高缓 像差两大类。由级数中第二项引起的像差叫做初级像差,其它备项引起的像差称为高级 像差。初级像差公式乃是用三角函数级数展开式的前两项代替函数本身(sin9=9 03/3!)所获得的结果,它同样是一种近似公式,因为只有当自比较小时,才能忽略 e°/51以上各项,也就是只有孔径角和物高不大的情形,初级像差才能足够近似地表示 出光学系统的像差性质。初级像差公式所适用的范围称为赛得(L. Seild)区,这个光
近的小区域和近轴区一样,没有确定的边界,由允许的误差决定。例如用级数第 项代替三角函数(以日代替sinθ)误差小于千分之一的最大角度为5,所以这时近辅 区大约和角度小于5的范围相当,用级数前两项代替三角函数(θ-胂°/3!代替sin) 误差小于千分之一的最大角度为32,对应初级像差公式所适用的范围就和角度小于 3:°的范围相当 对子一般实际使用的光学系统,光束的孔径角和成像物高往往都比较大,由级数中 05!以上各项引起的像差,即所谢高级像差相当大,因此初级像差不能充分地代裘 光学系统的成像质量。 尽管初级像差不足以充分代表光学系统的成像质量,但是它正确地反应了光学系统 在小孔径和小视场情形下的成像性质。对于一个具有较大孔径和较大视场的实际光学系 统来说,如果成像清晰,则在小孔径和小视场范围内成像必然是清嘶飾。因此对于一↑ 成像质量优良的光学系统,使初级像差校正到一定限度以内,虽说不是一个充分条件, 但却是一个必要条件。因此研究初级像差对设计光学系统仍具有重要的实际意义。 下面根据初级球差米讨论光结构问题。由(2-35)式可知,初級球差表示式为 8y=A, h2=Ah 公式(2-3)只适用于光线位于XOY坐标面内的情形,对于不位在XOY坐标面内的 光线,如图2-2所示的PH光线不能应用。为了表示这种光线的像差,我们选取最简 单的单个折射球面来研究。在折射球面顶点和理想像平面上作两个直角坐标系(x,Y, Z)和(x,y,z),X(x)轴和光轴重合,如图2-2所示。由于共轴系统的对称 性,通过光轴的任意一个截面内光线成像情况部相同,因此PA光线所在平面可以肴 作是XO￥平面绕光轴旋转甲角度后形成的。研究当光线在OZ平面(在初级像差区 城内,可用通过折射面顶点O的切平面来代替该折射球面)上的投射点的坐标h、甲或 Y、Z变化时(它们是确定光线位置的坐标),其在yoz像面上的交点是如何分布 的,就可以确定出射光束的结构 图2-2 由图2-2可知,OP即是入射高,宜(2-3)式可知,对应的垂轴球差为A° Ah,此量在yo'z′坐标系中的两个分量为: 8z′=(4h3) Sin p (2-4) 8y′=(A)cos甲
12 如果将入射高表示成直角坐标,显然 Z=hsin a, y=h co8%, Z+Y=h 于是(2-4)式又可写成1 8z′=A(z2+Y4)z (2-5) 8y=A(22+Y2) 公式(2-5)为轴上物点初级垂轴球差的直角坐标表示式,第三章将要应用这种形 式的公式讨论轴外点的像差。 公式(2-4)和(2-5)表示了物点发出的任一条光线在理想像面上的交点对理想像 点的偏离值的两个分量和y、Z或h、甲的关系 2.1.2球差图形 由(2-4)式可知,对于物点发出的同一圆锥光束,当h相同时,光线在理想像 上的交点的两个分量8z和8y随甲角而变,如图2-3所示。 将两式分别平方后相加得 8y2+8z2=(4h3)2 此式是一个圆的方程式,表明在 由一个物点发出的圆锥光束中,处于 同一圆周(h相同)上的光线在像面 上交点的轨迹是一个圆,圆心位于理 想像点,半径r=AH。不同圆周上 的光线在像面上交点的轨迹是一系列 不同半径的同心圆。 由上式可知,光束在理想像面上 的截圆半径r与和成正比。为研究 存在球差时像面上的能量分布我们 把入射光束分为许多层,令其在折射 面截面上划分成等宽的环带,如图 图2-3 2-4(a)所示。图中各圆的半径是圆锥光束的相对入射高度h/h,故最大圆率径为 1,其他圆半径如表2-1中第二列所列。表2-1中第三列给出的是各入射高的国光京 图
表2-1 0.064 0.8 0.512 在理想像平面上的截圆半径的相对值r/rm(r/rm=AHAH=栌/}与球差系数A无 关)。按比例画出这些截圆则如图2-4(b)所示 由表2-1可知,在光学系统存在初级球差时,光线在像面弥散图形上的分布是中心 部分最密,越向边缘越稀。即弥散圆中心部分集中了较多的光线,故而最亮,愈向边雄 愈暗 实际上,球差图形可由(2-3)式和轴上物点发出光束的轴对称性更简单地得出此 处是为引出(2-4)和(2-5)式给下章作准备。 §2.2轴上物点的球差分布公式 对于一个光学系统,当其结构已知时(即折射面半径、介质折射率、透镜廖度和蔺 隔均已知时),计算某一物点的某一光线的球差是不困难的球差表示式为8L=L一P 只需用光路追迹方法算出近轴像距l和实际光线的截距L就可求出球差值。但这只解 决了整个光学系统总的球差值的计算问题,而无法了解球差主要由哪些面产生?各面球 差的正负如何?为在光学设计时便于控制和校正整个球差,需要知道球差在光学系就每 个折射面上的分布情况 对于一个共轴球面系统而言,物体通过各个球面依次成像,最后像空间的球差乃最 各个球面综合作用的结果。以最简单的单透镜为例,其结构参数为; n=1.5163 对h1=10,U:=0的实际光线和初始数据与之相同的近轴光线进行计算,求得的有关数 据为 t=0.054482 H=183.547 U2=0.09999 H2=97.821 sinU1=0.054984 L1=182.520 sinU2=0.100902 L=96.790 按此,经第一面以后的球差为 8L1=L1-l=182.520-183.5 经第二面以后(整个单透镜)的总球差为 8L2=L2-1=96.790-97,821=-1.031 8是在第一面的像空间中度量的,就是第一面产生的球差,对第二面来说,可认为是