性空闻 设S和T是两个集合,则S和T的乘积集合定义为 SxT=I(s,t) TH 其中(s,1)是有序对,即有前后关系,或者说,(51,h1)=(s2,h2)当且仅 当S1=52且t1=t2 定义(线性空间) 没K为数域,V是一个非空集合,且有二元运算,加法“+":V×V→V 和数乘“":K×V→V,满足如下性质 加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a; Q加法结合律:Va,B∈K,有(a+B)+T=a+(B+) Q“零元存在性:即存在0∈K",使得Ⅶa∈和,有0+a=a+0=a; Q“负元”存在性:即a∈K",存在β∈K,使得a+β=0; 左分配律:VA,H∈K,a∈K,有(A+)a=Aa+Ha 则称(V“+”,“")为K上的一个线性空间
p ê EƵÁ 5m 5m S Ú T ´ü8ܧK S Ú T ¦È8ܽ S × T = {(s, t) | s ∈ S§t ∈ T} " Ù¥ (s, t) ´kSé§=kc'X§½ö`§(s1 ,t1) = (s2, t2) = s1 = s2 t1 = t2" ½Â (5m) K ê§V ´8ܧ k$§\{“+”µV × V → V§ Úꦓ ”µK × V → V§÷vXe5µ 1 \{Ƶ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α + 0 = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶ 5 ©Æµ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§k (λ + µ)α = λα + µα¶ K¡ (V, “ + ”, “ ”) K þ5m"
性空闻 设S和T是两个集合,则S和T的乘积集合定义为 SxT=I(s,t) TH 其中(s,1)是有序对,即有前后关系,或者说,(51,h1)=(s2,h2)当且仅 当S1=52且t1=t2 定义(线性空间) 没K为数域,V是一个非空集合,且有二元运算,加法“+":V×V→V 和数乘“":K×V→V,满足如下性质 加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a; Q加法结合律:Va,B∈K,有(a+B)+T=a+(B+) Q“零元存在性:即存在0∈K",使得Ⅶa∈和,有0+a=a+0=a; Q“负元”存在性:即a∈K",存在β∈K,使得a+β=0; 左分配律:VAH∈K,Va∈K,有(λ+p)a=Aa+; 0右分配律:VA∈K,Va,B∈K,都有A(+B)=Aa+AB 则称(V“+”,“")为K上的一个线性空间
p ê EƵÁ 5m 5m S Ú T ´ü8ܧK S Ú T ¦È8ܽ S × T = {(s, t) | s ∈ S§t ∈ T} " Ù¥ (s, t) ´kSé§=kc'X§½ö`§(s1 ,t1) = (s2, t2) = s1 = s2 t1 = t2" ½Â (5m) K ê§V ´8ܧ k$§\{“+”µV × V → V§ Úꦓ ”µK × V → V§÷vXe5µ 1 \{Ƶ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α + 0 = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶ 5 ©Æµ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§k (λ + µ)α = λα + µα¶ 6 m©Æµ∀λ ∈ K§∀α, β ∈ K n§Ñk λ(α + β) = λα + λβ¶ K¡ (V, “ + ”, “ ”) K þ5m"
性空闻 设S和T是两个集合,则S和T的乘积集合定义为 SxT=I(s,t) TH 其中(s,1)是有序对,即有前后关系,或者说,(51,h1)=(s2,h2)当且仅 当S1=52且t1=t2 定义(线性空间) 没K为数域,V是一个非空集合,且有二元运算,加法“+":V×V→V 和数乘“":K×V→V,满足如下性质 加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a; Q加法结合律:Va,B∈K,有(a+B)+T=a+(B+) Q“零元存在性:即存在0∈K",使得Ⅶa∈和,有0+a=a+0=a; Q“负元”存在性:即a∈K",存在β∈K,使得a+β=0; 左分配律:VAH∈K,Va∈K,有(λ+p)a=Aa+ 右分配律:VA∈K,Va,B∈K,都有A(a+P)=Aa+AB Q数乘结合律:VA,H∈K,Va∈Kn,都有(A)t=A(Ha)=p(Aa); 则称(V“+”,“")为K上的一个线性空间
p ê EƵÁ 5m 5m S Ú T ´ü8ܧK S Ú T ¦È8ܽ S × T = {(s, t) | s ∈ S§t ∈ T} " Ù¥ (s, t) ´kSé§=kc'X§½ö`§(s1 ,t1) = (s2, t2) = s1 = s2 t1 = t2" ½Â (5m) K ê§V ´8ܧ k$§\{“+”µV × V → V§ Úꦓ ”µK × V → V§÷vXe5µ 1 \{Ƶ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α + 0 = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶ 5 ©Æµ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§k (λ + µ)α = λα + µα¶ 6 m©Æµ∀λ ∈ K§∀α, β ∈ K n§Ñk λ(α + β) = λα + λβ¶ 7 ê¦(ÜƵ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§Ñk (λµ)α = λ(µα) = µ(λα)¶ K¡ (V, “ + ”, “ ”) K þ5m"
性空闻 设S和T是两个集合,则S和T的乘积集合定义为 SxT=I(s,t) TH 其中(s,1)是有序对,即有前后关系,或者说,(51,h1)=(s2,h2)当且仅 当S1=52且t1=t2 定义(线性空间) 没K为数域,V是一个非空集合,且有二元运算,加法“+":V×V→V 和数乘“":K×V→V,满足如下性质 加法交换律:a,B∈K,有a+β=B+a; Q加法结合律:Va,B∈K,有(a+B)+T=a+(B+) Q“零元存在性:即存在0∈K",使得Ⅶa∈和,有0+a=a+0=a; Q“负元”存在性:即a∈K",存在β∈K,使得a+β=0; 左分配律:VAH∈K,Va∈K,有(λ+p)a=Aa+ 右分配律:VA∈K,Va,B∈K,都有A(a+P)=Aa+AB Q数乘结合律:MA,H∈K,ⅶa∈K,都有()a=A(pa)=H(Aa); 幺等律:a∈Kn,1a=at 则称(V“+”,“")为K上的一个线性空间
p ê EƵÁ 5m 5m S Ú T ´ü8ܧK S Ú T ¦È8ܽ S × T = {(s, t) | s ∈ S§t ∈ T} " Ù¥ (s, t) ´kSé§=kc'X§½ö`§(s1 ,t1) = (s2, t2) = s1 = s2 t1 = t2" ½Â (5m) K ê§V ´8ܧ k$§\{“+”µV × V → V§ Úꦓ ”µK × V → V§÷vXe5µ 1 \{Ƶ∀α, β ∈ K n§k α + β = β + α¶ 2 \{(ÜƵ∀α, β, γ ∈ K n§k (α + β) + γ = α + (β + γ)¶ 3 “"”35µ=3 0 ∈ K n§¦ ∀α ∈ K n§k 0 + α = α + 0 = α¶ 4 “K”35µ= ∀α ∈ K n§3 β ∈ K n§¦ α + β = 0¶ 5 ©Æµ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§k (λ + µ)α = λα + µα¶ 6 m©Æµ∀λ ∈ K§∀α, β ∈ K n§Ñk λ(α + β) = λα + λβ¶ 7 ê¦(ÜƵ∀λ, µ ∈ K§∀α ∈ K n§Ñk (λµ)α = λ(µα) = µ(λα)¶ 8 N Ƶ∀α ∈ K n§1α = α" K¡ (V, “ + ”, “ ”) K þ5m"
性空闻 线性空间 在线性空间定义中,我们将其运算也包括在内,是要指出线性空间不光是与其 定义的集合V有关,还与其运算加法与数乘有关。线性空间中的元素被称 为向量,所以我们有时也称线性空间为向量空间
p ê EƵÁ 5m 5m 5m 35m½Â¥§·òÙ$)3S§´Ñ5mØ1´Ù ½Â8Ü V k'§Ù$\{ê¦k'"5m¥¡ þ§¤±·k¡5mþm" ~