D0I:10.13374/j.issm1001-053x.1990.06.033 北京科技大学学报 第12卷第6期 Vol.12 No,6 1990年11月 Journal of University of Science and Technology Beijing Nov,1990 齐型空间上极大函数的一类加权模不等式 高瑞· 捕要：证明齐型空间上极大函数的加权赋L(,1)花数的不等式成立。 关健词：极大函数，加权慎不等式，齐型空间 Some Weighted Norm Inequalities for Maximal Function on Spaces of Homogeneous Type Gao Rui ABSTRACT:In this note weighted L(p,q)norm inequalities for maximal fu- nctions on spaces of homogeneous type are obtained. KEY WORDS:maximal function,weighted norm inequalities,spaces of homo- geneous type 文献C1)在欧氏空间R·上讨论了加权L(p,9)空间上的H-L极大函数，本文将其主要结 果推广到齐型空间。 1定义和基本引理 (X,d,4)是一个齐型空间（定义及有关字母表示的意义与文献〔4）相同)，其中d是X 中满足下面条件(1.1)的拟距离。 1989一07一04收稿 +国家自然科学基金资助 ·数力系(Department of Mathematics and Mechanics) 584·
第 卷第 期 北 京 科 技 大 学 学 报 二 ， 年 月 。 齐型 空间上极大函数 的一类加权模不等式 高 瑞 产试 摘 要 证 明齐型空间 七极大函 数的加权嗽 户 ， ， 范 数的不等式成立 。 关位饲 极大函 数 ， 加 权模 不 等 式 ， 齐型空 间 一 “ 亡 户洲 ， ， 爪 。 ， 文 献〔 〕在欧 氏空间 ‘ 上 讨论 了加权 ， 空 间上 的 一 极 大 函数 ， 本文 将其 主要 结 果推 广到 齐型空 间 。 浏产 定义 和墓本 引理 ， ， 产 是 一 个 齐型空间 定义 及有 关 字母 表 示的 意义与文献 〔 〕相 同 ， 其 中 是 中满足下 面条件 的拟距 离 。 一 一 收 稿 十 国 家自然 科学墓金资助 数 力不 「 ， ， · · DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1990．06．033
(1.1) d(￥，y)≤kCd(x,2)+d(2,y)门对一切(x,y,)∈X,4是X上满足下面条 件(1.2)的Bore1测度。 (1.2) 0<u(B(x,2r)≤Aμ(B(x,r)<∞。 设w(x)是定义在(X,,4)上的非负，局部可积的权函数，f(x)是X上的可测函数，称 ()=(EX:If(): wdu 为∫关于测度wd4的分布函数；称 f"(t)=inf{y>0:2,(y)t} 为f关于测度du的非增重整函数。 L(p,9)=L(p,9,w(x)dμ(x))={f:fl,g<∞}； 其中州f= f9 ipdt/),1≤p<∞，1≤q<oo; supt1f(t), 1≤p≤∞，9=∞。 0 易知xEi=Cw(E)1P,‖f‖，=(fPwd)1 其中w(E)=ewd。 若1<r≤9，则川fl,≤‖fl,(见〔2)。 l·lpg满足下面的H6lder不等式： (1.3) 1fg1,≤Clf川p9.glp19' 其中1/p=11p0+1/p1,1/9≤1/9。+1/91，C只与p,9,p:,9:及w有关，(i=0,1)。 当1<p<∞，1≤9<∞，p=9=1或p=9=∞时，L(p,9)是一个以与l·‖，等价的 范数为范数的Banach空间。我们有关系式： (1.4) 1cif≤gf,.<1.egoa(≤cif 其中1/p+1/p'=1,1/9+1/g′=1，C只与p、9、w有关。 通过简单的计算，易知： (1.5) alpf(dt=q(dy (1<9<∞) (1.6) sup if(t)=suPy〔，(y)门1， 0 >0 文中字母A,C、D均表示常数，同一字母在不同的式中可能表示不同的常数。 引理(1.7)若1≤9<卫<∞和{E}>1是一个集族， ·585·
。 二 ， 毛 杠 二 ， 习 ， 〕对 一 切 二 ， ， 任 ， 声 是 上 满足下 面 条 件 的 测 度 。 。 郑 戈 ， 犷 召 戈 ， 。 设 。 是定义 在 ， ， 川 上 的非负 ， 局部可积 的权 函数 ， 是 上 的 可测函 数 ， 称 、 ， 夕 任 ，， ， ， 二 二 ， 。 二 ， 、 ， ， 为 关于 测度 二 群 的 分布 函数 称 久了 〔 为 关于 测度 脚 娜 的非增重整 函数 。 ， “ ， ， “ 声 二 ， 。 其中 ” 比 ， 。 二 。 ， ，‘ ’ ‘ ’ · ‘ ’ “ 立 ， ， 百 冈 ， 〔 ， 。 ” 易知 二 二 ， 。 二 〔 〕 ‘ · ， ， ，， 二 二 一 ， 二 其中 。 歹 二 。 若 口， 则 ，。 ，， 见 〔 〕 。 · ，。 满足下面的 不 等式 。 ， ， ， 。 。 。 ，，。 ， 其中 户 户。 ， 。 ， 只与 ， 叮， ， ， ‘ 及 。 有 关 ， ， 。 当 ， 镇 ， 二 二 或 二 二 时 ， ， 是一 个以与 · ， 。 等价 的 范数 为范数 的 空 间 。 我们有 关系式 。 ，。 毛 、 ， ， 二 。 二 粼 二 、 ， ， ， 其 中 ‘ ， 沁 沟 ， 二 ， 只与 、 口 、 二 有 关 通 过简单 的 计算 ， 易知 。 。 ，， ，‘ ， ， 。 ， 。 ，一 ， 。 “ 了 夕 ，、 。 ，，， 。 一 ’ ， 。 ” ’ ， 夕〔几了 〕 ” ’ 文 中字母 、 、 均表 示常数 ， 同一 字母 在不 同的式 中可能表 示不 同的常数 。 引理 若 簇 的和 ， ， 是一 个集 族
且满足×e（x)≤D,则E‖Xefl,≤D1‖f, 11 证明：见文献C1)。 引理(1.8)当9≠o∞时，简单函数在L(p,9)中稠。 定义(1,9)设1<p<∞，1≤q≤∞或p=g=1,称非负，局部可积函数w(x)∈A(p,9),如 果存在~·个常数C,使得对任意球B=B(x,”)有： lXa‖p,lX。w-1l,≤Cu(B)。 易见w∈A(p,p)←→w∈A,其中A,的定义见文献〔4们。 引理(1.10)设w∈A(P,9)。则若①r=p,1≤s≤g或②r>p,1s≤s≤o有w∈A(r,s)。 证明：见文献C1) 引理(1,11)w∈A(p,1)存在一个常数C,使得对任庶球B=B(×,r)和可测集ECB有 (1.12) (E)/(B)一C(w(E)1w(B))'', 其中常数C依赖于P和w。 证明：若w∈A(p,1),ECB,由(1.3)有 u(E)=∫ew1wda<CX四-‖，lxe,1 -C4(B)‖X。l,H‖XεlP1=C4(B)(w(E)/w(B)1'。 即(1.12)成立。 反之，若(1.12)成立。令E={x∈B:w1(x)>y}。则 yw(E)=∫eyw(x)du(x)≤w-1(x)w(x)d=a(E)≤Cu(B)(w(E)/w(B)“。 若p>1得yCw(E)1P≤C(B)lCw(B)lP,即， lXal,1lXgw-Ip'≤Cu(B)。 故w∈A(p,1) 若p=1,对于y<1‖Xw-1川，有w(E)>0 得w(B)y<Cμ(B),即‖Xa‖1yCμ(B)。 令y→|xaw-1川。得 lX,‖1lXsw-'I≤Cu(B) 故w∈A:=A(1,1)。 由引理(1.10)和(1.11)易得： (1.13) w(B(x,2r))Cw(B(x,r)) 其中C是与x,无关的常数。 由(1.3)知： ·586·
且 满足 公 ， ， 则 ， 盆 。 川 盆 证 明 见文 献〔 〕 。 引理 。 当 铸 时 ， 简单函数在 ， 中稠 。 定义 设 ， 毛 或 二 ， 称 非负 ， 局部可积 函数 功 〔 ， ， 如 果 存 在一个 常数 ， 使得对 任意球 ，， 有 ， ，， 】 ， 。 一 ‘ ， ，。 ， 《 产 。 易见 。 〔 ， 。 任 ， ， 其 中 ，的定义 见文献〔 〕 。 引理 设 。 任 户 ， 。 则若① 户 ， 叮 或② ， 镇 镇 二有 。 任 ， 。 证 明 见文献 〕 引理 功 任 户 ， 娜 存在一 个常数 ， 使得对任意球 二 ， 和可测集 仁 有 。 ‘ ‘ 二 二 ‘ 夕 ， ， 其 中常数 依赖于 和 二 。 证 明 若 〔 ， ， 二 ， 由 。 有 ，， 。 功 一 ，二 。 切 ，， 。 ， 一 召 】 ， 尸 产 ， 。 ‘ ， ， 。 即 成立 。 反之 ， 若 。 成立 。 令 二 〔 。 一 ‘ 夕 。 则 ， 丁 夕切 、 二 川 一 。 ‘ ， ，‘ 、 ， 妙 ，。 ， ，’ 。 若 得夕 〔 〕 ” 尸 成 产 〔留 〕 “ 尸 ， 即 ， 川 ， 。 一 ’ ， 尹。 产 。 故 。 〔 ， 若 ， 对 于 夕 日 ，。 一 ’ 】 一 ， 有。 得 。 夕 《 拜 ， 即 。 夕 产 。 令 夕” 二 ， 。 一 ‘ 。 得 ， ， 】 ，。 一 ‘ 】 。 井 故 任 ， 。 由引理 和 ， 易得 。 其 中 是 与 “ ， 由 。 知 切 二 ， 抓 劣 ， 无 关的 常数
(BIfldncf(()) ≤Cx,1ifil,<+∞。 可见，当四∈A(p,9)时，对f∈L(p,9),Mf总有意义。 2 主要结果 定理(2.1)设1<p<∞，1≤q≤∞或p=9=1。如果‖Mf川，≤C‖f‖p,则 w∈A(p,q)。 证明：给定球B=B(xo,r),据(1,4)，可取一个非负函数f∈L(p,9),使得f1|,= 1,且 ∫=∫，f(x4w-)四≥Cxw‖p'g, 其中C是一个只与p、9、w有关的正常数。 对x∈B(x0,r),显然B(x0,r)二B(×,2kr)CB(x0,k(2k+1)r),应用倍测度条件可得 Mf(x)≥11r(B(x,2r),fak 1(B((+1)r)fd ≥CIu(BJfd 由Mf l,≤clfl知 u(B)≤w({xeX:Mf(x)>1/u(B∫，fau}） ≤C((B)/∫sfd)lfl,≤C(u(B)/IlXw-1‖')' 从而w∈A(p,9) 定理(2,2)设1≤9≤p<o∞。若w∈A(p,9),则Mf川e≤Cf1,其中C只与 p、9、k、有关。 证明：设f是简单函数。对正数y≥mx矿)，据文献〔4的引理(2,7)，存在一个互不相 交的球列{B,}={B(x:,r)},使得若B;=B(x,cr:),则 m,(f)≤y≤m,(f),且对一切球B=B(x,r),只要 x∈X、TB,，必有m,(f)≤y,其中mnf)=u(B)1,fm,c>1是只与k有关的常数. 显然，E,={x:Mf(x)>y}CUB;,由倍测度条件有： ·587·
户 ， ，、 ，， ， · 。 ，。 一 ‘ ， 夕 尹 ， 一 二 簇 ， ， 一 ‘ ， 、 。 可见 ， 当 二 任 ， 时 ， 对 任 ， ， 万 总有意义 。 主 要 结 果 定理 设 夕 二 ， 毛 二 或 。 如果 ， 一 毛 【 ， ， 则 脚 任 ， 。 证 明 给定球 。 ， ， 据 ， ， 可取一 个非负 函数 任 ， 的 ， 使 得 ， 。 二 ， 且 丁 。 、 二 二 了‘“ 一 ” 笋 ‘’ ‘ · 脚 一 ‘ ’‘ ‘ “ ’ 其 中 是一个 只与 、 、 。 有 关的正常数 。 对 任 ‘ 。 ， ， 显然 二 。 ， 江 二 ， 江 二 。 ， 龙 ， 应 用倍测度条 件 可 得 、 ， 二 、 二 ， “ · 。 二 ， ， 、 。 。 ， “ “ · · 、 二 。 ‘ 声 、 ‘ 丁 ， ， 、 。 由 ， 一 镇 ， 知 切 。 、 脚 ， 二 ， ，，‘ 簇 声 丁 ， 川 尸 】 宝簇 产 】 ， 功 一 ‘ 】 ，‘ ，， 户 从而。 任 ， 定理 ， 设 簇 挺 二 。 若 任 ， ， 则 ， 二 泛 】 ， 。 ， 其 中 只 与 、 、 、 二 有 关 。 证 明 ， 设 是简单 函 数 。 对正 数 ， 优哥’ ， 据文 献 〔 〕的 引理 “ ， ， 存在一 个互不 相 交的球 列 ‘ 二 ‘ ， ， 使 得若 ‘ “ ‘ ， ‘ ， 则 从 州 一 蕊“ 钊， 且对 一 切球 二 “ ， ， 只要 二 。 、 乒 ， 必 有 价 · “ ，〔 ， ， 其中， · ‘ ， 、 “ ，一 工 ， ， ， ， · 是 只与 “ 有 关的 常数 显然 ， 召 ， 州 刘 夕 仁 ，， 由倍侧度条件有 · ·
w(E,)人∑w(B,)CΣw(B,)(m,(f)1y)' C1y'zw(B,)(4(B,)‘川X,fl,‖X。w-4 ≤C/yΣ‖XB,f,. 由引理(1.7)得w(E,)≤C/y'‖f。 据引理(1.8)知，对一切f∈L(p,9)有： Mfl,.C‖f, 定理(2.3)设(X,d,4)是一个使开球是开巢的齐型空间，w是一个非负权函数，连续函 数在L'(X,wd4)中稠。设1<p<,1<q<co,若w∈A(p,9),则对一切1<s∞，有 |Mfll,≤cIAI。 为证定理(2,3)，先介绍下述引理。 引理(2.4)设w∈A(p,9),存在只与p,w有关的常数C,使对任意球B=B(x,r)和 0<B<1,有 w(B)≤(C1(1-B))'w({x∈B:w-1(x)>B4(B)/w(B)}). 证明：参照文献C1)引理(4,1)即得： 引理(2.5)设(X,d,4)是满足定理(2.3)条件的齐型空间，1<p<∞，1≤q<∞，w∈ A(p,9)。则存在正常数C和B,使得： ‖Xs.w-1‖'q'≤Cy〔w(Ey)门p', 其中B是X中的球，y≥4(B)/w(B),E,={x∈B:w-1(x)>y} 证明：设B=B(x,ro)是X中的一个球，y4(B)/w(B)。任给x∈B,考虑S,={0< r≤ro:4(B(x,r)/w(B(x,r)>y}。 若Sx非空，分下述两种情况讨论： (l)supS.≤ro/c',其中c=3k2,则存在r,满足：0<r,≤ro/c,cr>supS,且 μ(B(x,rx)w(B(x,rx)>y,故u(B(x,crx)|w(B(×,crx))≤y。 为讨论第(2)种情况，先注意对x∈B有BCB(x,2kro),B(x,ro)CB(xo,2kr)。应用 “、四的倍测度条件，易得 (B(x,ro))/w(B(x,o))Cy, 其中C只与k、ω有关。 (2)supS,>ro/c,则存在r,,使得r。<cr.≤cr0,且μ(B(x,r,）)/w(B(x,r,))>y, 则： u(B(x,cr,))/w(B(x,cr,))Dy 其中D>1只与k,w有关。 从而得到一个半径有界的球族{B(x,「x)}x∈B,据文献〔3)引理3知，存在其可列的互 不相交的子族{B:}={B(x,cr,)},使得其中每个球B(x,「，)必含于某个B,=B(x,cr)中。 "588·
， 诀 艺 。 ， 丈 艺 。 ， 。 ， 夕 ’ 矛 一 ’ 丫 ， ， “ ， 一 ’ 气 · ·， 功 一 ’ 簇 夕 声 石 ， 盆 。 由引理 。 得 ， 炒 尸 】 盆 。 据引理 。 矢一 ， 对 一 切 任 ， 有 材厂 ， ， 。 定理 设 ， ， 川 是 一个 使开球是 开 集的 齐型空 间 ， 功 是一个非 负权 函数 ， 连续 函 数在 ‘ ，， 川 中稠 。 设 加 ， ， 若 ， 任 ， ， 则对 一 切 丰〔 ， 有 】 ， 返 】 。 。 为证定理 ， 先介绍 下 述 引理 。 引理 设 。 任 ， ， 存在 只与 ， “ 有 关的 常数 ， 使 对 任 意 球 二 ， 和 声 ， 有 二 乓 一 刀 尸 任 。 一 ‘ 声拜 。 。 证 明 参 照文 献〔 〕引理 即得 引理 设 ， ， 川 是满足定理 条件 的 齐型空 间 ， ， 镇 ， 。 〔 刁 ， 。 则存在正常数 和 刀 ， 使得 二 尸 一 ‘ ， ‘ ，‘ 〔‘ ，， 〕 ‘ 户 ‘ ， 其中 是 中的球 ， 夕 产 ‘ ， ， 〔 ， 一 ’ ‘ 夕 证 明 设 。 ， 。 是 中的一个球 ， 夕乡产 ， 。 任 给 任 ， 考 虑 二 二 簇 。 群 ， 二 ， 夕 。 若 非空 ， 分下 述两 种情况讨论 二 镇 。 ‘ ， 其 中 。 “ ， 则 存 在 二 满 足 二 簇 。 ， 二 二 ， 且 拼 ， 二 ， 二 夕 ， 故 产 二 ， 二 。 ， 镇 夕 。 为讨论第 种情况 ， 先注意对 二 〔 有 仁 ， 。 ， ， 。 〔 。 ， 为 。 。 应 用 产 、 。 的倍测度条件 ， 易得 召 ， 。 。 二 ，尸 。 簇 夕 ， 其 中 只 与 、 ， 有 关 。 ， 。 ， 则 存在 二 ， 使 得 。 二 夏 。 ， 且声 ，尸 二 。 二 ， 二 少 ， 则 产 二 ， ， 二 ， 二 簇 少 其中 只与 、 。 有 关 。 从而 得到 一 个半 径有界 的 球 族 咬 ， 卜 任 ， 据文 献〔 〕引理 知 ， 存在其可列 的 互 不 相 交的 子族 ‘ ‘ ， ‘ ， 使得其 中每个球 ， 必 含于 某个 。 二 二 ‘ ， 、 中 。 · ·