●正则有理函数阵G(s)的阶次 定义正则有理函数阵G(s)的特征多项式是：G(s)的所有子式的 首一最小公倍分母（简称为最小公分母）。 G(s)的特征多项式的阶次定义为G(s)的阶次，记以degG(s)。 注意：所有子式都必须简约为互质的。 例5-3 1 G(s)= s+1 S+1 3(s+1) 3(s+1) 一次子式： 1 1 S+1 3(s+1) 3(s+1) 二次子式：g -=0 G(s)的特征多项式（所有子式的首一最小公分母）是s+1,dgG(s)=1。 16
16 正则有理函数阵G(s)的阶次 定义 正则有理函数阵 的特征多项式是： 的所有子式的 首一最小公倍分母(简称为最小公分母)。 的特征多项式的阶次定义为 的阶次，记以 。 G(s) G(s) G(s) G(s) deg G(s) 注意：所有子式都必须简约为互质的。 例5－3 3( 1) 1 3( 1) 1 1 1 1 1 ( ) s s s s G s 一次子式： ， ， ， 3( 1) 1 s ， 1 1 s ， 1 1 s ， 3( 1) 1 s ； 二次子式： 0 1 1 3( 1) 1 1 1 3( 1) 1 s s s s G(s)的特征多项式(所有子式的首一最小公分母)是 s 1 ， degG(s) 1
例5-4 G(s)= s+1 S+1 s+1 一次子式：品，中，4， 1 1 +1) 二次子式为：2x1-1 1 s+1s+1 5+1S+1(s+1)2 G(s)的特征多项式是s+1)2,dgG(s)=2。 例5-5 S 1 1 s+1 G(s)= (s+1)(s+2) S+3 1 1 s+1 (s+1)(s+2) -S 一次子式：，， ,1 1 1 S+1S+3 (s+1)(s+2) (s+1)(s+2) 二次子式： S+4 1 S+4 s+s+2)(+1s+) (+1)(s+2) s(s+1)(s+1)(s+3)(s+1)(s+3)) S 1 3 s(s+1)s+2)(s+1)(s+2)(s+3)s(s+1)(s+2)(s+3) G(s)的特征多项式为：s(s+l1)s+2)s+3),dgG(s)=4。 17
17 例5－4 1 1 1 1 1 1 1 2 ( ) s s s s G s 一次子式： 1 ， ， ， ； 2 s 1 1 1 s 1 1 s 1 s 二次子式为： 2 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 s s s s s G(s)的特征多项式是 (s 1) 2 ， degG(s) 2 。 例5－5 s s s s s s s s s s 1 ( 1)( 2) 1 1 1 3 1 ( 1)( 2) 1 1 G( ) 一次子式： ， ， ， ， ， ； 二次子式： ， ， s 1 ， s 1 s ， 1 1 s ， 3 1 s ( 1)( 2) 1 s s ， ( 1)( 2) 1 s s ； ( 1)( 2) 4 ( 1)( 3) 1 ( 1) ( 2) 2 s s s s s s s s ( 1)( 3) 4 ( 1)( 3) 1 ( 1) s s s s s s s s ( 1)( 2)( 3) 3 ( 1)( 2)( 3) 1 ( 1)( 2) s s s s s s s s s s s G(s)的特征多项式为：s(s 1)(s 2)(s 3)，degG(s) 4
(4)定理5-4(A,B,G,D)是G(s)的一个最小实现的充分必要条件是 dim A=deg G(s) 式中，degG(s)是不可简约传递函数阵G(s)（正则有理函数阵)的 阶次。 对单变量系统 dim A=deg g(s) 式中，degg(s)是不可简约传递函数gs)(正则有理函数)的阶次。 证明只证明单变量部分：(A,b,Gd)是gs)最小实现的充分必要条 件是dimA=degg(s)o (A,b,c,)是s)最小实现，或是既能控又能观的充分必要条件是： 其传递函数 c(sI-A)b+d= N(s) D(s) 是互质的分式，因此dimA=deg D(s)。 而c(sl-A)b+d=g(s),则degg(s)=degD(s),dimA=degg(s)。 证毕 18
18 ⑷ 定理 5-4 (A,B,C, D)是 G(s)的一个最小实现的充分必要条件是 dim A degG(s) 式中， 是不可简约传递函数阵 (正则有理函数阵)的 阶次。 degG(s) G(s) 对单变量系统 dim A deg g(s) 式中，deg g(s)是不可简约传递函数 g(s) (正则有理函数)的阶次。 证明 只证明单变量部分： 是 最小实现的充分必要条 件是 。 (A,b,c,d) g(s) dim A deg g(s) 是 最小实现，或是既能控又能观的充分必要条件是： 其传递函数 (A,b,c,d) g(s) ( ) ( ) ( ) 1 D s N s s d c I A b 是互质的分式，因此 。 而 ,则 ， 。 dim A deg D(s) ( ) ( ) 1 s d g s c I A b deg g(s) deg D(s) dim A deg g(s) 证毕
●多变量部分dimA=degG(s)的证明比较复杂，在此从略。但这个结 论在后面还是有用的。 ●这条定理提供一种判断最小实现的简单方法：实现的维数n与 G(s)(或(s)的阶次相等，即n=deg8(s)或n=degG(s),就是最小实 现，否则就不是。 ●如果(A,B,C,D)（或(A,b,cd))是不可简约的，则系统平衡状态渐 近稳定与BBO稳定是等价的，即互为充分必要条件： 系统平衡状态渐近稳定←→系统BBO稳定 19
19 这条定理提供一种判断最小实现的简单方法：实现的维数 与 (或 )的阶次相等，即 或 ，就是最小实 现，否则就不是。 G(s) g(s) n n degG(s) n deg g(s) 如果 (或 )是不可简约的，则系统平衡状态渐 近稳定与BIBO稳定是等价的,即互为充分必要条件： 多变量部分 的证明比较复杂，在此从略。但这个结 论在后面还是有用的。 dim A degG(s) (A,B,C, D) (A,b,c,d) 系统平衡状态渐近稳定 系统BIBO稳定
5.3线性定常系统的最小实现 在第一章，用状态信号流图求系统的状态空间描述就是一种求 取最小实现的方法。下面主要介绍单变量系统的几种最小实现 方法和多变量系统的向量传递函数最小实现方法和由Markov参 数求最小实现的方法（选读)。 5.3.1单变量系统的最小实现 )BBsB 5 s”+,S"-+…+n-1S+0n 或 g)=Bs+B2++Bs-+,5 1+as+…+an-1sm-+ans” (5-12) 式的分母是首一多项式，否则首先化成首一。若式(5一11)中8() 是正则有理函数，可写成 8(s)=8p(s)+d 式中，8p(s)为严格正则部分。下面只要研究8p(s)的最小实现方法。 20
20 5.3 线性定常系统的最小实现 5.3.1 单变量系统的最小实现 n n n n n n n n s s s s s s g s 1 1 1 1 2 2 1 1 ( ) 式的分母是首一多项式，否则首先化成首一。若式（5－11）中 是正则有理函数，可写成 g(s) 式中， 为严格正则部分。下面只要研究 的最小实现方法。 g s g s d ( ) sp ( ) g (s) sp g (s) sp 在第一章，用状态信号流图求系统的状态空间描述就是一种求 取最小实现的方法。下面主要介绍单变量系统的几种最小实现 方法和多变量系统的向量传递函数最小实现方法和由 Markov 参 数求最小实现的方法（选读） 。 （5－11） n n n n n n n n s s s s s s s g s ( 1) 1 1 1 ( 1) 1 2 2 1 1 1 ( ) 或 （5－12）