实验5微积分运算(五)求重积分运算 本工作页进行多元函数的重积分的实验 1.定义多元函数,事前弄清积分区域 2.将积分表为累次积分形式,可以使用符号运算(如果有符号解), 或者求出浮点解.输入定积分号的热键 Shift+7 3.必要时,可以借助 Mathcad的图形功能,生成区域图形,直观地确 定积分区域 例1求函数f(xy)在《(xy)x>0,y>0,x+y<a}上的积分 X f(x, y)dy dx y dy dx 1 08 dy dx- 例2求函数fxy)在{(x,y川x42+y42<x}上的积分 A(x):=x-xB(x):=-A(x) √xdy 例3求函数f(xy)在{(xy)y<x<y42,1<y<sqrt(3)}上的积分 在 Mathcad中,当在工作页的下方定义了与上方tong名的函数 x2+y2时,将自动地复盖前面的函数
在Mathcad中, 当在工作页的下方定义了与上方tong名的函数 时, 将自动地复盖前面的函数. f(x, y) y x 2 y 2 + := 例3 求函数 f(x,y) 在{ (x,y)| y < x < y^2, 1 < y < sqrt(3) } 上的积分. I 8 15 I ® 0 1 x x x 2 - - x x 2 - x y ó ô ô õ d ó ô ô õ := d y x x 2 = - g(x, y) := x 0 0.5 1 0.5 0.5 A(x) B(x) x A(x) x x B(x) := -A(x) 2 例2 求函数 f(x,y) 在{(x,y)| x^2+y^2<x} 上的积分. := - 0 a x 0 a-x 1 - x - y y ó ô õ d ó ô õ d -9 2 a := 3 ® 0 1 y 0 1-y f(x,y) x ó ô õ d ó ô õ d 1 6 ® 0 a x 0 a-x 1 - x - y y ó ô õ d ó ô õ d 1 2 a 2 × 1 3 a 3 ® - × 0 a y 0 a-y f(x, y) x ó ô õ d ó ô õ d 1 2 a 2 × 1 3 a 3 ® - × 0 积分域 a x 0 a-x f(x, y) y ó ô õ d ó ô õ d 1 2 a 2 × 1 3 a 3 ® - × f(x, y) := 1 - x - y 例1 求函数 f(x,y) 在{(x,y)| x>0, y>0, x+y<a} 上的积分. 0 1 1 1-x x 本工作页进行多元函数的重积分的实验. 1. 定义多元函数, 事前弄清积分区域. 2. 将积分表为累次积分形式, 可以使用符号运算(如果有符号解) , 或者求出浮点解. 输入定积分号的热键Shift+7. 3. 必要时, 可以借助Mathcad的图形功能, 生成区域图形, 直观地确 定积分区域. 实验5 微积分运算(五) 求重积分运算
积分区域 1→12 π√-lm(2)I=0.10688 11 f(x, y)dy dx x, y)dy dx ll simplify→2l2)+12xy3 例4求函数f(xy)在{(xy1<y<2,1<x<2}上的积分 2 1/2 f(x, y) dy dx l→>=exp(4)-exp(2) f(x, y)dx f(x,y) dx 2eP(4)-以(2) 例5求函数u=fxy,2)在{(x,2)0<X<2,0<y<2-x,0<z<2-x-y}上的积分 2-X (2-X-y f(x, y, z):=x+y f(x,y,z) dz dy dx→ 例5求函数u=fxy)的广义积分
例5 求函数u= f(x,y) 的广义积分. 0 2 x 0 2-x y 0 2-x-y f(x, y, z) z ó ô õ d ó ô õ d ó ô õ d 88 315 f(x, y, z) x y ® 2 ( + ) z 2 := × 例5 求函数u= f(x,y,z) 在{ (x,y,z)| 0 < x < 2, 0 < y <2-x , 0 < z < 2-x-y } 上的积分. I1 1 2 I1 ® ×exp(4) - exp(2) 1 2 1 y 1 y 2 f(x, y) x ó ô ô õ d ó ô ô õ d 1 2 y 1 2 f(x, y) x ó ô õ d ó ô õ := + d I 1 2 I ® ×exp(4) - exp(2) 1 2 x 1 x 2 f(x, y) y ó ô ô õ d ó ô ô õ := d 0 1 2 3 4 1 2 3 0.5 2 1 x 1 2 x f(x, y) y e x×y := × 例4 求函数 f(x,y) 在{ (x,y)| 1/x < y < 2, 1 < x < 2 } 上的积分. I1 simplify -1 2 ×ln(2) 1 12 I1 ® + ×p× 3 1 3 x x x f(x, y) y ó ô õ d ó ô õ d 3 3 x x 3 f(x, y) y ó ô õ d ó ô õ := + d I I = 0.10688 1 12 ×p× 3 1 2 I ® - ×ln(2) 1 3 y y y 2 f(x,y) x ó ô õ d ó ô õ := d 0 1 2 3 1 2 1 3 x x x
x+y的时24(2)+一不 dyd→-ln(2) dydx→ dydx→2 dy dy dx (x 以 dyd为例, Mathcad中,计算重积分的过程可分解为 丌dx→ 在计算广义积分 ---dy dx→不能得到符号解.系统提示 can' t divide by zero表示在运算中出现了0作除数的情况.分解成两步来 求解可以得到:内层积分为 x-y-dy simplify+I
0 1 x 0 x y x + y x 2 y 2 ( + ) óô ô ô õ d óô ô ô õ d 1 2 ×ln(2) 1 4 ® + ×p 0 1 x 0 x y x×y x 2 y 2 ( + ) óô ô ô õ d óô ô ô õ d 1 4 ® ×ln(2) 0 c x c 2 x 2 - - c 2 x 2 - y x y 2 × c 2 x 2 - ó ô ô ô ô õ d ó ô ô ô ô õ d 1 6 c 4 ® × 0 1 x x 1 y x x 2 y 2 + óô ô ô õ d óô ô ô õ d 1 2 ® ×ln(2) - 1 1 x 1 x 2 - - 1 x 2 - y 1 1 x 2 - y 2 - ó ô ô ô õ d ó ô ô ô õ d ® 2×p 1 ¥ x 1 ¥ y 1 x 2 y 2 × óô ô ô õ d óô ô ô õ d ® 1 0 ¥ x x ¥ x×y e y x 2 y 2 - ( + ) × óô ô õ d óô ô õ d 1 8 ® 0 ¥ x 0 ¥ y 1 (x + y + 1) 3 óô ô ô õ d óô ô ô õ d 1 2 ® 以 0 1 x x 1 y x x 2 y 2 + óô ô ô õ d óô ô ô õ d 为例, Mathcad中, 计算重积分的过程可分解为: x 1 y x x 2 y 2 + óô ô ô õ d atan 1 x æ ç è ö ÷ ø 1 4 ® - ×p 0 1 atan x 1 x æ ç è ö ÷ ø 1 4 - ×p ó ô ô õ d 1 2 ® ×ln(2) 在计算广义积分 0 1 x 0 1 y x×y x 2 y 2 ( + ) 3 2 óô ô ô ô ô õ d óô ô ô ô ô õ d ® 0 1 x 0 1 y x×y x 2 y 2 ( + ) 3 2 óô ô ô ô ô õ d óô ô ô ô ô õ d 不能得到符号解. 系统提示 Can't divide by zero 表示在运算中出现了0作除数的情况. 分解成两步来 求解可以得到: 内层积分为 0 1 y x×y x 2 y 2 ( + ) 3 2 óô ô ô ô ô õ d simplify 1 x 2 csgn(x) x 2 ( + 1) x 2 é ê ê ë ù ú ú û 1 2 1 x 2 ( + 1) x 2 é ê ê ë ù ú ú û 1 2 + é ê ê ê ê ë ù ú ú ú ú û × ® × 0 1 x 1 x 2 csgn(x) x 2 ( + 1) x 2 é ê ê ë ù ú ú û 1 2 1 x 2 ( + 1) x 2 é ê ê ë ù ú ú û 1 2 + é ê ê ê ê ë ù ú ú ú ú û × × óô ô ô ô ô ô ô õ d ® 0 1 x 1 x 2 csgn(x) x 2 ( + 1) x 2 é ê ê ë ù ú ú û 1 2 1 x 2 ( + 1) x 2 é ê ê ë ù ú ú û 1 2 + é ê ê ê ê ë ù ú ú ú ú û × × óô ô ô ô ô ô ô õ d
将被积表达式改写成 csgn(x) ,对这个函数求积分: +1.(x+ csgn(x) dvd 1x+
将被积表达式改写成: csgn(x) x 2 + 1 x x 2 + + 1 ( ) × ,对这个函数求积分: 0 1 x csgn(x) x 2 + 1 x x 2 + 1 ( ) + é ë ù × û ó ô ô ô õ d ® 2 - 2 0 1 x 0 1 y x×y x 2 y 2 ( + ) 3 2 óô ô ô ô ô õ d óô ô ô ô ô õ d = 2 - 2