实验6微积分运算(六)重积分运算,积分变换 本工作页继续进行多元函数的重积分的实验 1.用极坐标变换求积分. Polar coordinates 2.用球坐标变换求积分. Sphere coordinates 3.用柱坐标变换求积分. Cylindrical coordinates 变换的 Jackob行列式 (1)极坐标变换 p(r, 0)0 gRpR, 0) Jp(r, 0) Polar(r, 0) simplify Polar(r, 0) Rpr, 0)0 -Rp(r, e)l (2)球坐标变换 dSr, 9, go dRs(r, t, o), dRs(r, b, g)2 .)=14R(99bRs()Rt,) r coS r,中,9)4Rs(,中,9)1Rfr,中,9)2 r,,) simplify→sin2 (3)柱坐标变换 dR(,中,x)o9R,,)1R(r,中,z)2 14)c●.)=1R,bR(中,)1R(,2 dRs(r,)oR(,中,2)1R(,,z)2 Jc(r,,z) simplif→r 2利用以上各种变换计算重积分 例1计算二重积分,积分域D=(xyx2+y42<1} A,吨+1+9+m2+++9m2+ 在直角坐标下求不出符号解.应用极坐标变换: 2·πcl drde→2. =2.60258
0 2×p q 0 1 r r 1 r 2 + ó ô ô ô õ d ó ô ô ô õ d ® 2× 2×p - 2×p = 2.60258 在直角坐标下求不出符号解. 应用极坐标变换: - 1 1 x 1 x 2 - - 1 x 2 - y 1 1 x 2 + y 2 + ó ô ô ô õ d ó ô ô ô õ d - 1 1 ln [-(-1 + x)×(x + 1)] x 1 2 + 2 é ê ë ù ú û ln [-(-1 + x)×(x + 1)] 1 2 - + 2 é ê ë ù ú - û ó ô ô ô õ ® d = 2.60239 例1 计算二重积分, 积分域D={(x,y)|x^2+y^2<1} 2 利用以上各种变换计算重积分. Jc(r, f, z) simplify ® r Jc(r, f, z) r Rc(r, f, z)0 d d f Rc(r,f, z)0 d d z Rs(r,f, z)0 d d r Rc(r,f, z)1 d d f Rc(r, f, z)1 d d z Rc(r, f, z)1 d d r Rc(r, f, z)2 d d f Rc(r, f, z)2 d d z Rc(r, f, z)2 d d æ ç ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø Rc(r,f, z) := r×cos(f) r×sin(f) z æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := (3) 柱坐标变换 Js(r, f,j) simplify sin(f) r 2 ® × Js(r, f,j) r Rs(r,f,j)0 d d f Rs(r, f,j)0 d d j Rs(r, f,j)0 d d r Rs(r,f,j)1 d d f Rs(r, f,j)1 d d j Rs(r, f,j)1 d d r Rs(r,f,j)2 d d f Rs(r, f,j)2 d d j Rs(r, f,j)2 d d æ ç ç ç ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø Rs(r,f,j) := r×sin(f)×cos(j) r×sin(f)×sin(j) r×cos(f) æ ç ç è ö ÷ ÷ ø := (2) 球坐标变换 Jp(r, q) Jpolar(r,q) simplify ® Jpolar(r, q) r Rp(r, q)0 d d q Rp(r,q)0 d d r Rp(r,q)1 d d q Rp(r, q)1 d d æ ç ç ç ç è ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø Rp(r,q) := r×cos(q) r×sin(q) æ ç è ö ÷ ø := (1) 极坐标变换 1 变换的Jackob行列式 本工作页继续进行多元函数的重积分的实验. 1. 用极坐标变换求积分. Polar coordinates 2. 用球坐标变换求积分. Sphere coordinates 3. 用柱坐标变换求积分. Cylindrical coordinates 实验6 微积分运算(六) 重积分运算, 积分变换
dd=1.793无符号解 rdrd→-π-π=1.7 2=t 2r.dr= dt substitute.r= 在圆环域1x2y-24上计算(2+y3)的积分应用极坐标 drd→8·πln(2)-3·π 例2计算三重积分 计算椭球体 2,上2+2=1的体积 4 V(a,b,c):=8·abc r sin(o)dr do do V(a,b,c)→-abcπ 直接在直角坐标下求出的符号解为: xa, p, 0) =a-p-cos(e) yb, p, 0) =b psin(e) j(a, b, p, 0) =a-b-p 2(a,b,c):=8 (2)计算函数u=xyz在D=《(x,y)x42+y42+z42<a42,a>0}上的积分 a2x2c√a2-x2 x: y'z dz dy dx16 sin()-cos(o)-sin(e)"cos(e) j=rsin(e) sin(o)-cos( o) sin(e)- cos(e)de do dr16
0 a r 0 p 2 f 0 p 2 r q 5 ×sin(f)×cos(f) sin(q) 3 × ×cos(q) ó ô ô õ d ó ô ô õ d ó ô ô õ d 1 48 a 6 ® × J r 2 x×y×z r = ×sin(q) 3 ×sin(f)×cos(f) sin(q) 2 = × ×cos(q) 0 a x 0 a 2 x 2 - y 0 a 2 x 2 - y 2 - x×y×z z ó ô õ d ó ô õ d ó ô õ d 1 48 a 6 ® × (2) 计算函数u=xyz在D={(x,y)| x^2 +y^2+z^2<a^2 ,a>0}上的积分 V2(a, b, c) 4 3 V2(a, b, c) 8 ® ×p×c×a×b 0 p 2 q 0 1 c 1 r r 2 × - ×a×b×r ó ô õ d ó ô ô õ := × d x(a,r ,q) := a×r×cos(q) y(b, r ,q) := b×r×sin(q) J(a,b, r , q) := a×b×r 8 0 a x 0 b 1 x 2 a 2 × - y 0 c 1 x 2 a 2 - y 2 b 2 - 1 z ó ô ô õ d ó ô ô õ d ó ô ô õ × d 4 3 ×c×a 2×ln(b) ln -1 b 2 æ ç è ö ÷ ø + æ ç è ö ÷ ø -1 b 2 æ ç è ö ÷ ø 1 2 ® × 直接在直角坐标下求出的符号解为: V(a, b, c) 4 3 V(a, b, c) 8×a×b×c ® ×a×b×c×p 0 p 2 j 0 p 2 f 0 1 r r 2 ×sin(f) ó ô õ d ó ô ô õ d ó ô ô õ := × d (1) 计算椭球体 x 2 a 2 y 2 b 2 + z 2 c 2 + = 1 的体积. 例2 计算三重积分 0 2p q 1 2 ln r r 2 ( )×r ó ô õ d ó ô õ d ® 8×p×ln(2) - 3×p 在圆环域1<x^2+y^2<4上计算 ln x 2 y 2 ( + ) 的积分.应用极坐标. 0 2p q 0 1 t (1 - t) (1 + t) é ê ë ù ú û 1 2 1 2 × ó ô ô ô ô õ d ó ô ô ô ô õ d 1 2 p 2 ® × - p 1 r 2 - 1 r 2 + substitute,r = t (1 - t) (1 + t) é ê ë ù ú û 1 2 r 2r×dr = dt ® 2 = t 0 2×p q 0 1 r 1 r 2 - 1 r 2 + ×r ó ô ô ô õ d ó ô ô ô õ d 1 2 p 2 无符号解 ® × - p = 1.793 - 1 1 x 1 x 2 - - 1 x 2 - y 1 x 2 - y 2 - 1 x 2 + y 2 + ó ô ô ô ô õ d ó ô ô ô ô õ d = 1.793
(3)计算函数u= 在D=(x,y)x42+y42+z42<1上的积分 in()ddd→3.n2 计算函数u=2-x2-y2在D=(xy)x2+y42<a^2,|za}上的积分,应用柱坐标变换 I(a) ∫广(2-2 (4)计算x^(2/3)+y(213)+z2(2/3)<a(23)所界定的闭域的体积. 右图为该立体在第一卦线中的一部分 V(a):=8·27a V(a)→-a·π 再引入球坐标 V(a):=27a sin(o).cos( 0)2 in(e). cos(e)2 dr dg de ve (5)计算由曲面yA3=2x+4和平面x+z=1,z=0所围成的立体体积 h(x):=y(2 2x+4) f(x,y):=1-x g(x,y):=2x- 曲面f,g以及xOy平面所围成的 立体的体积如右图所示
曲面f ,g 以及xOy平面所围成的 立体的体积如右图所示. f, g g(x,y) 2×x y 3 f(x,y) := 1 - x := - + 4 2 1 0 1 1 2 3 3 6 h(u) u h(x) 3 := (2×x + 4) (5) 计算由曲面y^3=2x+4和平面x+z=1,z=0所围成的立体体积. V(a) 4 35 a 3 V(a) 27 a ® × ×p 3 × 0 2p q 0 p f 0 1 r r 8 sin(f) 5 × cos(f) 2 × sin(q) 2 × cos(q) 2 × ó ô õ d ó ô õ d ó ô õ := × d 再引入球坐标 V(a) 4 35 a 3 ® × ×p V(a) 8×27 a 3 × 0 1 u 0 1 u 2 - v 0 1 u 2 - v 2 - u w 2 v 2 × w 2 × óô ô õ d óô ô õ d ó ô õ := d z a w 3 y a v = × 3 x a u = × 3 = × (4) 计算x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)<a^(2/3)所界定的闭域的体积. 右图为该立体在第一卦线中的一部分. I(a) -1 3 ×p a 5 I(a) ® × 0 2p f 0 a r - a a z z 2 r 2 ( - )×r ó ô õ d ó ô õ d ó ô õ := d 计算函数u z 2 x 2 - y 2 = - 在D={(x,y)| x^2 +y^2<a^2, |z|<a}上的积分, 应用柱坐标变换. 0 2p f 0 p q 0 1 r r 2 1 r 2 - r 2 × ×sin(q) ó ô ô ô õ d ó ô ô ô õ d ó ô ô ô õ d 3 4 p 2 ® × (3) 计算函数u x 2 y 2 + z 2 + 1 x 2 - y 2 - z 2 - = 在D={(x,y)| x^2 +y^2+z^2<1}上的积分
I dz dx dy V V=5.257 y-4 2x+4c1-x 81 -Z CV2X+4
V 03 6 y y3 - 4 2 1 x 01 - x 1 z óôõ d óôôõ d óôôõ := d V 81 28 3 ® × 6 V = 5.257 V1 - 2 1 x 03 2 x + 4 y 01 - x 1 z óôõ d óôõ d óôõ := d V1 81 28 3 ® × 6 V2 03 z - 2 1 - z x 03 2 x + 4 1 y óôõ d óôõ d óôõ := d V2 81 28 3 ® × 6