§2算符 ·17, alw〉=|yya 其中有两个特殊的算符： olw)=O). 对一切)成立：前者称为要算符，后者称为单位算符 两个算符A与B的和A+B及乘积BA的定义是： (A+B)川)=A〉+B1) BA|w吵=B(A) A+B的定义域是A与B两算符的定义域的共同部分（数学上称为交）：至于BA 的定义域，若A的值域在B的定义域之内，则BA的定义域就是A的定义域， 若A的值域只有一部分在B的定义域内，则BA的定义域要比A的定义域小 两个算符相等的定义是：A与B有相同的定义域并且对域内任意矢量 1w)有 A）=B引) 这时我们记作 A=B 若两个算符A和B满足 AB=BA 则说这两个算符是可对易的，或称这两个算符对易.各个算符之间不都是可对 易的.我们规定用对易式： (A,B]=AB-BA (2.2) 表示两个算符的对易关系， 由上述定义可知，除交换律不一定成立外，算符之间服从一般的加、减、 乘和幂次的代数运算法则： A(B+C)=AB+AC (AB)C=A(BC) A=AAA 等等。 可以用算符和复数构成一个多项式作为算符的函数 F(A)=ap+aA+a42+...+aA" 甚至可以构成无穷级数（我们不去仔细考察由此引起的数学问题），例如可以 E (2.3) 注意上式是算符的指数函数的定义式.在此定义下，关系式 efcR=e4+a
.18 第一章希尔伯特空间 当[A,B]=0时成立（试证明之），而当[A,B]≠0时是不成立的（参见本节§ 2-2). 逆算符设在一个右矢空间中，算符A把定义域中的一个右矢1)变为 值域中的一个右矢|)： Aw〉=p〉 若算符A所建立的这个对应关系是一一对应的，即对应值域中的每个)， 在定义域中有且只有一个|切)，则由p)到1w)的逆对应关系存在，这种关系 称为A的逆算符，用A表示 A1p〉=Ψ）〉 于是，逆算符A'显然满足 AA=A4-=1 逆算符A的定义域和值域分别是A的值域和定义域.逆算符相当于算符的 除法，有时也可以写成 不是所有算符都有逆.一个算符A有逆的条件如下： (1)在Aw)=p〉中，对于每-个〉，总有)存在 (2)若A)=A川》，则必有11》=2 这两条需要同时满足，对于每一个)，条件(1)要求有|)，条件(2)要求只有 …个w), 以土条件是对A的定义域及值域均为无穷维空间说的，若A的定义域为 有限维（这时其值域也是有限维），可以证明条件(1)肯定满足，有逆的条件只用 条件(2)即可. 定理设A是一个定义域和值域都在全空间的线性算符，若有另外两个 线性算符B和C存在，满足 AB=1, CA=1 (2.4) 则算符A有逆，而且 A-=B=C 证明我们证明这样的A满足有逆条件(1)和(2). 条件(1)：在值域中取一任意|p),证明在定义域有)存在 p)=1p〉=AB1p〉=A(B1p》 可见对于任意{p,确有|)存在，这个w)就是Bp) 条件(2：若A〉=A,用C作用在此式两边： CAlW)=CAlV2) 但此式就是引y〉=2》，条件(2)也得到满足，因此A小存在
§2算符 19 A既然存在，将AB=1用A1左乘，得 A=B 将CA二1用A'右乘得 A=C 子是定理得证 在A的定义域为无穷维空间的情况，此定理指出：当(2.4)式中B和C都 存在时，才能说有A存在，B和C中只有~一个是不够的.但当A的定义域为 有限维时，可以证明B与C二者中存在一个，即可断定算符A有逆， 练习21证明下列常用公式： [A,BC]=B[A.C]+[4,B]C [AB,C]=A[B.C]+[A.C]B 练习22若算符B与4，别对易，证明 A,B"]=nB-[A,创 练习2.3证明： 仙若A有逆.a￥0，划aA也有逆，且a4)-A (②)若4，日都有逆.则AB也有逆，且(4)BH: (3)(4+B)'=A'{1-B(d+B)}: (4)(A-B)=A+元A'BA+产BA-BA+…(为复数). 练习2.4若线性算符A有逆，{利4，)}(i=1,2,3,,)是A的有限维的定义域中 的一组完全集，证明在A的值域中{H4,)}也是一细完金集，从而证明值城的维数与定义 域相同。 练习2.5有逆算符A的定义城是有限维的，若已知AB=1,证明BA=1, 练习2.6证明任何线性算符作用于零矢量0)上，必得零矢量 §2-2算符的代数运算 在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算，在这一小节里 我们举几个较复杂的运算例：并且用代数方法证明两个常用的算符等式(2.9) 和(2.14)两式. 设A和B为两个线性算符，互不对易.首先我们定义多重对易式 [A)BI和[B,A门： [A(0),B)=B [B.A(0)]=B [A,B]=[A,B] [B,A1]=[B,A] 【A2,B1=[A,【A,B][B,A2]=[B,A],A] (2.5)
20 第一章希尔伯特空间 …t04…… 显然，对于[A,B]型的多重对易式，有 【A,[A,B]=[A*1,B] (2.6) A[4),B]=14,B]4+141),B] (2.7) 对于[B,A]型的多重对易关系也有类似公式。 例1证明： 9-套-套n (2.8) 上式右端可把取和上限推至无穷，由下m!当m<0时定义为0，i的上限实 际上仍是n, 证明用数学归纳法证明，当n=1时上式为 AB=BA+[A,B] 原式成立.下面我们从原式出发，推出用n+1代替n的同样形式的式子 将原式从左方用A作用，得 "含4r -名nl…客a 在上式右边第二个取和式屮，取了=i+1,得 (a-ji-l4v.8- n! 将此式中的求和愧标j再改成，即可与第一个和式相加，于是得 ra-2cinmlr 这是与原式完全相同的形式，只是原来的n成为n+1,这说明原式若对n成 立，对n+I亦必成立.由于我们已经证明原式对n:1成立，因此，原式对任何 整数n都成立.证毕。 例2证明： e'Be)B (2.9) 这是量子力学中常用的一个公式，是一个真正的无穷级数。 证明利用(2.8)式有
§2算符 21. eae-[2小 22r小-n 在下面几个例子中，我们把条件放宽一些：A与B仍不对易，但A和B的 对易式[A,B]=C与A或B都对易，即 [C,A]=[C,B]=0 我们在这样的条件下证明几个关系. 由于A与B不对易，(A+B)的二项式展开不能使用普通代数中的二项 式定理，例如 (A+B)=A+AB+BA+B (A+B)=A4AB+ABA+BA2+AB2+BAB+BA+B 等等.现在我们再规定-种符号[A+B]”,它的意义是在(4+B)”中，不顾A,B 不对易的要求，将每一项中的A一律写在B的前面所得的式子，例如 [A+B]2=A2+2AB+B2 [A+B]3=A3+3A2B+3AB2+B1 我们看到[A+B]“的展开符合普通代数中的二项式定理 当A与B不对易时，A+B的指数函数 -(+By (2.10) 是与e“eB不同的，后者正是 ee=c=六4+时 (2.11) 下面几个例子最终的目的是搞清(2.10)与(211)二式的关系. 那证明下式，式中C=[A,B]: (A+B)[A+B]"=[4+B]1-nC[A+B]-1 (2.12) 证明由于 [A+B]=∑ --8 n 所以 :8[a+r=A,2a8re =A[A+B]+∑ a-a8-a-0c4浴