,12 第一章希尔伯特空间 有时为了行文方便，称为大空间.子宇间的维数小于或等于大空问的维数：当 一者维数相等时，子空间就是大空间本身， 大空间中与子空间S中所有矢量都正父的那些欠量全体，又构成一个矢 量空间，这个矢量空间也是人竿间的个子空间.这个空间称为子空间S的 补空间.了空间S中任矢址同其补空间中任一矢量都是正交的.一个子空 间问它的补空间只有一个共同的元，郑就是零矢量. 设大空间的维数是n,它的一个子空间S的维数是s,则S的补空间的维 数是n-8. 上述关系可以这样来址明：S慨然是s维的，其中必作在-组8个基欠 ,V2,,y.这些基矢也是大空间的矢量，在大空间中在这3个之外，还能 找出(n-s)个归一化的矢量与上述、个矢量一起构成大空间的一组基矢.后 一组的数目不能比(n-s)多，也不能比(n一s)少，因为多或少都马大空向是n 维这一点矛盾 后来找出的这(n-s)个基矢构成一个子空间，这就是S的补空间，此证 明了S的补空间是(n-)维的.由于(n-s)个基矢与S中的s个基矢都正交， 所以补空间中任一矢量与了空间S中的任欠量都是正交的， 练匀1.12 ·个矢量空间有两个不同的子空间S,和S,证明除去以下两种情况外， 包括S,的全部元和S,的全部元的那个集合并不是空间： ()S,是S:的子空间或S2是S,的子空间： (2)S,和S,其中之一只含有零矢量一个元 §1-5右矢和左矢 在前面定义的矢量空间中，两个矢量y和p的内积(，)是与两矢量的 次序有关的.根据内积的定义，内积对于右因子P是线性的，即若：为一复数， 有 （y,pa)=(y,p)a （,p1+p)=(,p1)+(,p 而对于左因子y则是反线性的： (9a,p)=a(y,p) (+2,p)=(91,p)+(2.p) 由此见，同~个矢茧，作为右因子和作为左因子，其地位是不同的.狄拉克发 现，如果在记法.上：一直保持一个矢量的右因子或左因子的身份，将会有很多方 便之处.于是，他把作为右因子的矢量记为引)把作为左因子的矢量记为(， 后来又发展成为)和(w,而把”与p的内积记为(p〉.这种记法得到了
§1矢量空间 .13· 广泛的使用，称为狄拉克记号.I)和1)等称为右矢，〈w和(p等称为左 矢 为了系统地这样做，必须重新作一些定义. 我们已经有一个矢量空间，在其中定义了矢量的加法、数乘和内积三种 运算，这个空间仍然有效.我们把这样的空间称为单一空间.现在比照这个空 间再建立以下两个空间. 一个叫做右矢空间，它的构造同单一空间完全一样，一矢量都与单一空 间里的矢量相对应，与单-空间中的，，X对应的矢量，在这里都是右年 |〉、|p)和).这些右矢有加法和数乘的运算，其定义和规则与单-空间 相同，服从条件()~(8).这八个条件现在写成： 条件(1) 1)+|p》=|p〉+g） 条件(2) 1Ψ)+(Ip〉+|x)=(1Ψ〉+|p)+|x) 条件(3) Iw)+1O)=|g) 条件(4) )+|p)=O) 条件(5) 1W》I=w 条件(6) (p）a)h=|)(ab) 条件(7) lw)(a+b)=lw)a+lw)b 荣件8) (w)+|p〉)a=y〉a+lp〉a 第二个空间比照右矢空间来建立，称为左失空间.对于右矢空型间中每一个 右矢，在左失空间中就有一个相应的左矢（叫，与零右矢|O)对应的左矢 是零左矢{01. 在右失空间中，右矢之间的关系与单-·空间中一样，如与w+p=x对应 的是|)+p〉=x),与ya=o对应的是{a=o),这是我们规定的.而在左 矢空间中矢垦之间的关系，如(p+(p等于什么，a(y等于什么，也就是说， 加法规则和数乘规则是什么，目前还不知道.我们只知道左矢的加法和数乘运 算服从上述八个条件（写成左矢形式的） 现在定义内积.我们规定，一个左矢（叫与一个右矢p)的内积(p〉是 一个复数，并等于单。空间中w与®的内积.即规定左矢与右矢的内积规则与 原单空间中的内积规则相同 (p)=(,p)= 并且规定，内积的运算应该满足下列四个条件： 条件(9) (wp〉=(ply)' 条件(10) 「gllp〉+lx))=(ee)+(lx》 (w+(ox）=x）+(ox）
·14: 第一章希尔伯特空间 条件(11) J(yl(p)a）=(ploa (ayp）=a(wlp) 条件(12) 〈Ψ)20对任意1四)成立； 若(g〉=0，则必有1)=0)和(=(0 内积是在左矢与右矢之间定义的.但有时也说右矢|)与右矢引〉的内积，这 也是指与！w〉相对应的左矢与右矢|)的内积，例如我们说两个右矢|和 1p〉正交，是指（圳）=0 我们看到，在新建立的两个矢量空间中，左矢空间中的事情不能随意去规 定，需要同右矢空间的事情相互协调，而内积的四个条件就是联系这两个空间 的桥梁. 首先，讨论几个基本关系.设右矢|x)与任意左矢《的内积都是零，那么 1x)一定是零右矢|O),只要取左矢(=〈t,利用条件(12)即可证明.同样， 与任意右矢的内积都为零的左矢，亦必为零左矢(O.由此又可证明，若 〈y川)=(x) 对任意右矢x)成立，则必有 〈Ψ=〈p 根据这些，我们证明两条定理： 定理1若三个右矢|、p〉和|x〉满足 w)+p》=|x〉 (1.7) 则在左矢空间中与三者相对应的(、〈p,和(x1亦必满足 〈y+(=(x 证明取任意左矢（σ(1.7）式两边作内积，然后两边取复共轭，得 (wla)+(ola)=(xla) 由条件(10)的第二式，有 [(wi+(p-〈xi]川σ)=0 因为)是任意右矢，故知方括号内为(O,定理得证 定理2若二右矢引)与0)满足 |）=p)a (1.8) 则与此相应的左矢(y与（必满足 (w|=a*(o 证明取任意左矢（σ与(1.8）式两边作内积： 〈oy)=〈op〉a 取此式两边的复共轭： 〈glσ)=a(pσ) [K-a'〈elo)=0
52算符 15 由于)是任意右矢，所以方括号内为(O1,定理得证. 这两条定理建立了左矢空间与右矢空间的对应关系，也就是在左矢空间 中建立了与右矢空间的运算规则相协调的运算规则.至此，我们新建立的左矢 空间成为一个完全确定的（即有明确加法与数乘运算规则的）矢量空间. 值得注意的是数乘的对应关系.与右矢！)相对应的左矢是〈叭，但与 a相对应的左矢是a'《l.我们常用Jwa)或a)表示a.这样，数乘 在左右矢空间的对应关系可以写成 a'〈l←→|y)a=lya) ￥ (wal=a'(wi (1.9) 左矢空间和右矢空间是两个互为对偶的空间，这两个空间合在一起是与 单一空间等价的.我们刚刚建立起米的两个对偶空间并不比单一空间多什么， 只是同一内容改变一个表现方式而已.现在我们有了两套数学工具可供量子 力学选用，它们也是互相等价的.由于这两种数学表现形式之间的转换是明显 而自然的，人们很容易从一种空间的表现形式得到另一种表现形式， 若在单一空间中有一组基矢{，}，则在右矢空间和左矢空间中各有一套 相应的基矢，它们分别是基右矢》和基左矢{《，以.现将以前在单一空间 中讨论过的几个公式写成对偶空间形式如下： w=ΣyK%,w）=∑y)y,y) (1.10) (plw）=∑(ply)y:lw） (1.11) 基矢的正交归一关系为 (,y〉=8w (1.12) 右矢)或左矢{叫的模仍记为叫， g川=Vww) (1.13) 练习1.13阅读狄拉克的《重子力学原理》§6，分析他建立左矢空间的方法与我 们的方法有什么共同点和不同点 练习1.14正明：与所有左矢的内积均已给定（但给定值应满足内积条件(9一(12》 的右矢是一个确定的右矢（即必定存在而且只有一个） §2算符 7 算符是矢量空间中文一重要概念.在这一节里，我们在右矢空间中引入算 符，并从左右矢空间的对应关系去讨论算符及其性质.这些性质很容易回到单
·16 第一章希尔伯特空间 一空间的表示方法中去 §2-1定义 规定一个其体的对应关系，用A来表示.使右矢空间中的某些右矢与其 中另一些右矢相对应，例如使〉与」)相对应，记为 I0}=A|w) 这样的对应关系A称为算符.我们说算符A作用于右失I),得到右矢|〉. 在算符的定义中，被算符A作用的右矢全体，称为A的定义域：得出的石 矢全体称为值域.二者可以不可同，也可以部分或完全重合.通常算符的定义域 与值域都是整个空间. 一个算符A,其定义域是一个矢量空问，而又满足下列条件的，称为线性 算符： A(y）+p》=Aw）+Ap) (2.1) A(lv)a)=(Alv))a 满足下列条件的，称为反线性算符： A(目)+p)=A|)+A|p〉 A(v)a)=(Alw))a' 其中4是任意复数.在量千力学中出现的算符，绝大多数都是线性算符，下面 我们只讨论线性算符. 算符对其定义域中每一个矢作用，都应有确定的结果.定义个具体的 算符应当规定其定义域，并H指出它对其定义域中每·个欠量作用的结果，而 确定一个具体的线性算符，只需规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢 (例如一织基矢)中每个右欠的作用结果即可. 线性算符的定义域，可以是整个右矢空间本身，也可以是它的个子空 可以证明，线性算符具有下列性质： (1)线性算符的值域也是“个右矢空间（大空间本身或其子空创）. (2)若定义域是有限维的空间，则伯域空间的维数等于或小于定义域竿 问的维数， (③)在定义域中，那些受A的作用得到零矢量的右矢全体，也构成一个 右矢空间（定义域的了空间） 复数对右矢的数乘，可以看成算符对石矢的作用，每·个复数都可以看成 一个算符：其定义域和值域均为全空间： 反线性算符出现于21-2时间反演的讨论中