，22 第一章希尔伯特空间 =A[A+B]+∑ (Cn n! (n-0 --a-8 =[A+B]"-I-nC(4+B]*-I 在证明中利用了·个公式BA”=A“B-nCA-1,这是(2.8)式当[42，B]=0 时的一个特例. 例4证明(A+B)“与A+B]的关系 r-u+r2n（ -含最r( (2.13) 证明仍用数学归纳法，当n=1时原式成为 (A+B)=[A+B] 原式显然成立：姚设原式对n成立，推出它对n+1也成立 (A+B)1=(A+B)(A+B)” =1 aa2n+[+ar-月 2盒高r-:ar{ 品r引 mar(到 -站r" 这就证明了原式对n+1也成立.在证明中我们再次使用了取j=i+1的技巧 (2.13)式并不是无穷级数，i的上限为n/2(n为偶数时)或(n-1)/2(n为奇数 时). 例5证明Glauber公式： e4-8=eleBe-c2 (2.14) 证明 A+By e=∑
§2算符 ·23· -n,旷r( 2)月 a4,r =e别 =ela+ole-c:2 =e‘eec2 (2.9)式和(2.14)式这一类算符等式，还有一种证明方法是引入一个实变 量1，构造一个含a和一些算符的式子，把它看成的函数F(2)而对它进行求 导或积分，最后在所得的等式中令1=1.例如，为证明(2.9)式，可以取 F(A)=eMBeM 这时 dA=e(HB-Be“=eA,e-u 平=e“[a,h,1e4 d2F 将F(a)作Taykar展开： e“8s“-2假42 6ido 取1=1，即得到(2.9)试. 这种方法常比代数方法简单.但在计算中要注意避免一种情况，即在微分 或积分时，我们是把算符当作常数系数对待的，可能某一步骤对常数来说是当 然的而对于算符来说则是未经证明甚至是没有意义的.下面用这种方法证明 一个等式. 例6当[A,B]与A及B不对易时，Glauber等式(2.14)式成为 eta=ofe"exp11 1 6白j+i+8,4,8 (2.15) 证明令 et-s= 取A→1A,B→1B,则F→F2):而 ef(4)=e-48 e-ia e(d+B) 对入求导，注意到A,B的不对易性，得
·24: 第一章希尔伯特空间 deF)=-Beii4+e。“[-4+(A+Be8n 即 dF=e形e“BeM-Be8 =e4小 品ag1a 积分得 合户i+i中l841,B0]2l F()=∑∑111 取元=1，(2.15)式得证. (2.15)式的前几项是 e8=ee2级小a机利ra. 当[A,B与A及B都对易时，回到(2.14)式 练习2.7(2.)式与(2.8)式还各有一个用[B,A]型多重对易式表示的式子，试把 它们求出来. 练习2.8试用数学归纳法证明： [a,81=B"-[a,8]8- 2.16) 练习29已知[X,P]=c,c为复数，证明 (1) 社处 K,P小三ao--p…X x+P正∑上2a-j-24p (2) n! 式中对k取和的上限为2（当n为偶数时）减R-1)2(当n为奇数时 §2-3作用于左矢的算符 上面我们在右矢空间中定义了算符A: |p〉=A） 即算符A使其定义域中每一个右矢引有…个确定的右矢1p)与之对应.由 于每一个右矢在左矢空间都有一个左失与之对应，所以算符A也就规定了左 矢空间中一定范围内的左矢(”与左矢{@的对应关系.这就是说，在右矢空
S2算符 ·25· 间中每一个算符A,都对应着左矢空间中的某一个算符，这个左矢空间中与 A对应的算符，我们记作A,称为算符A的伴算符： 1p)=A川Ψ)=Ap〉→(=(Ag=(gA' (2.17) A的定义域和值域，是A的定义域和值域的左矢空间对应区域.注意我们对 于左矢采用相反的写法，即算符向左作用于左矢 右矢空间的算符A+B和AB的左矢空何对应分别为A1+B和BA 复数对矢量的数乘可以看成是算符的作用，右矢空间的复数算符4的左矢 空间对应是（见§1-5定理2）： 1p〉=aw）→〈p=(ga' (2.18) 这也是不能用同一记号代表左右矢空间算符的原因之一 A只在左矢空间有定义，在右矢空间中没有定义：同样A在左矢空间也 没有定义.如果我们写 〈pA1w〉 (2.19) 那一定是表示A作用于左矢《得到的新左矢与右矢)的内积.可是” 在右矢空间中没有定义，这总有点不大方便. 既然A在右矢空间没有定义，我们不妨给它一个定义，使得在应用时更 加方便一些.现在我们定义A作用于右矢|)如下： 〈el(A1)=(pA)1） /220) 上式等号右边即是(2.19)式，对应每-个)和(l,它是一个复数.上式的意 思是，当给定)后，A')这个右矢同每一个左矢（的内积都是已知的复 数，亦即Aw)是-个确定的右矢（见练习1.14）.算符A1作用于每一个右矢 |)所得的新右矢既然都是确定的右矢，A就是右矢空间的一个确定的算符 有了(2.20)式的定义，A和A就都是右矢空间的算符.现在(2.19)式 (pA|)也可以理解成A'先作用于右矢引)，得出一个新右矢A1),这个 新右矢再与左矢(p作内积，所得结果与原来的(219)式相同.由于我们给出 了A作用于右矢的定义，使得(220)式的括号可以省去，给今后的运算带来极 大的方便. 下面我们证明伴算符是互相的，即A的伴算符是A,而A'的伴算符就是 A本身.我们取(pA|),把此式看成左矢（与右矢A1)的内积，根据内 积的条件(9)和定义式(2.20)，有 〈pA'1p)=(pi(Ag)=(K(A*)川p)'=(A1)p) 然而，若把(PA|w〉看成左矢(pAt与右矢w)的内积时，则有 (pAt=(p1A)1)=(w(A1p)'=(A1) 比较此二式得
·26 第一章希尔伯特空间 （(At)Ip=(A|p) 由于（以与引）都是各自在一定范围内的任意矢量，于是得到 (ATù=A 这就证明了伴算符的伴算符就是原来的算符本身 将(2.20)式用于右矢空间的算符B: 〈@I(B)=(oB)1w) (2.21) 于是也获得了右矢空间中的算符B作用于左矢（®的定义，即(QB是一个新 的左矢，它与（一定范围内的）一切右矢的内积为已知，因而是一个确定的左 天， 现在有了左矢和右矢两个互为对偶的空间，而算符是两个空间公用的.算 符向右可以作用于右矢，向左可以作用于左矢.算符的这种既能向左，又能向 右作用的性质，是对偶空间优于单一空间的主要之点.我们迄今建立的左右矢 对偶空间及所定义的算符，与单一空间是完全等价的，只是表现形式不同而已 然而这种表现形式用来描述量子力学的关系，却有着很大的优越性 下面证明一条定理： 定理在复矢量空间中，若算符A对其定义域中任意|)满足 (ΨA川)=0 则必有A=0. 证明定理的必要性是明显的，我们证明其充分性.在A的定义域中取 两个任意矢量)和p),讨论 〈+AΨ+p〉=(A)+(Ap)+(pA)+(pAp) 由此式得 (yAp〉+(p|A）=(y+pA+p)-(4|w)-〈oAp〉 若对任意！)，A满足(41)=0，则上式右方为零.于是对任意1w)和P) 下式成立： （ΨAp》+（0Aw》=0 (2.22) 既然此式对任意|)成立，可将上式中的|p)换为ip〉=i训p〉，其左矢为 (ip=-i(p,这时上式成为 (yAip〉+(iplA|）=i(《A|p)-〈pAw)=0 (2.23) 由(222)和(2.23)二式得，对任意1w)和1)下式成立： (pA川）=0 我们已经知道，满足此式的A必为A=0,于是定理得证. 最后，简单地提·下单一·空间的情况.由丁单一空间是右矢空间的复制品 除了内积的说法稍加改变以外，单一空间的事情与右矢空问的事情完全·样。 但这里伴算符的引入是在左右矢两个空间进行的，在单一空间情况下，要作