§1矢量空间 ·7. 的形式，其中a,是一组复数. 如果一个空间中有一个线性无关的矢量集{，2，，元，，但还不是完 全集，这时可以把不能表为其线性叠加的一个失黄命名为入1，加入这个矢量 集.这时！几，无，，无。，1}，肯定是线性无关的，如仍不完企，还可以用同 样方法使此矢量集扩大，直到成为完全集为止.如果能做到这一点，这个矢量 空间称为有限维的，如果做不到这一点，则空间是无穷维的。 定理在有限维空间内各种不同的完全集中所含矢量的数目是相同的. 证明设一矢量空间中有两组不同的完全集{入，元，，无，}和{H1,H2, ,4,前者有n个，后者有m个. 如果把加入到完全集{}中去，成为-个集合{4，，，，，，这 个集合必然是线性相关的.这是因为{}是完全集，4，肯定能表为元，的线性叠 加 现在依次考虑{41，{4，，，{41，A,几，，每次增加-个入.开始它 们是线性无关的，必然有一个数i(I≤i≤，在加入入：之后集合开始成为线 性相关。 这时把元：去掉，加入入，使集合成为 {41,元，元2，…，元，-1，元+} 这个集合必然是线性无关的.否则，11必能表为元，元，，入1和4的线性 叠加，而4，又能表为2，，，，的线性叠加，这就等于说入，1与 入，入2，，元，线性相关，与{}是完全集相矛盾.根据同样理由，在集合中进 一步加入无，+2，元+3…，一直加到入a,集合 (1.4) 仍将是线性无关的. 这个集合又必然是完全的.因为空间中任意矢量既然可以表为 {元，…，…，元}的线性叠加，而入，又能表为{μ1，入，…，}的叠加，这矢 量就一定能表为集合(1.4)式的线性叠加. 至此，我们证明了在完全集{中如入一个“，必能顶掉某一个元而仍保 持为完全集.而且只能顶掉一个，不能再多.现在我们在这个新的完全集(14) 式中再加入一个“2又顶掉某一个元. 如果4少1多，即m<n,则把全部4用完后，仍有1未被顶掉.这就是 说，{μ}要加上一些九才是完全集，与{“}是完全集相矛盾.所以m<是不可 能的. 如果μ多1少，即m>n,那么把全部顶掉后，还有一些μ没有用到，这 就是说，{}中的一部分就是完全集，也与{}是完全集相矛盾，所以m>n 也是不可能的
8: 第一章希尔伯特空间 于是我们证明了只有·个可能，即m=n 因此，：一个有限维矢量空间中各种不同完全集所含矢量的数目是相同 的，这个数H称为矢量空间的维数 2.基矢 ·个矢巢空间中可以有多组完全集，正交归~的完全集，是指完全集中每 ·个矢量都是归一化的，而各矢量又是两两互相正交的.这样的完全集称为这 个空间的一个基矢组，或一组基矢.当然，一个空间可有不同的多组基矢， n维空问的一组基矢{y,y,,y的正交归·性质可以写为 (y,y)=ǒ， i,j=l,2,…,n (1.5) Schmidt正交化方法·个矢量空问，只要知道它的一个完全集，总可以 找到一组基矢. 设n维空间有一组不满足止交归一条件的完全集{入，入2，，，现在 由此去求这个空间的一组基矢{y1y,…,V,} (1)首先峨y1为的一化的1： 42 (2)取=12-1a2,选择常数a2使y与y,正交，即要求 0=(y1,)=(y,元2)-a2 由此得 a12=(y,2),=元，-y(,) 取y2为归化的5： 现在求得的v,山，是正交归一的，它们可以用米代替2，和入， (③)取=-a13-'2423,选择常数a:和a,使与已选定的 1,2正交，按上法得 =元3-v1(y1,)-V2(2,1) 归化的3为 ,网 (④)如此继续下去，若已找到m个y即，V,,Vn(m<川，则+为 Van -m-yVicAan)
S1矢爱空间 9 vi-l Va-V 最后，总可以找到组基矢，，，小 下面，我们给出一个关于基矢的重要定理. 完全性定理如果{y,}(i=1,2,,n)是矢量空间中的-组n个正交别 ·一的矢量，则下的四个命题是互相等价的： (){y,}是空间的一组基，即空间是n维的 (②)v=∑v,(v,w)对空间中一切矢量y成立： (3)(p,y)=∑(@，y,(y,)对空间中一切矢量p和p成立，此式称 i=l 为Parseval等式： (4)w=∑￥，”对空间中一切矢量y成立. 证明我们对有限维空间证明这个定理.事实上当n二0时，定理对无穷 维空间也成立.先证明(1)与(2)等价： 由(1)到(2)：{y是一组基矢，因此空间中任一矢量v总可以表为{}的叠 v a;为待求常数，用y,作为左因子同上式等号两边作内积： (v,w)-(yy)a,=立6s,=a 于是得 v->v.(.v) 这就是(2). 由(2)到1)：既然任何矢量y都能写成w=∑，叫而{y,}又是正交归 一的，根据基矢的定义{y,}是一组基，这就是(). 证明了(1)与(2)等价之后，下面按(2)、(3、(4)、(2)的次序，分别证明前 者是后者的充分条件，从而证明这四个命题是等价的. 由(2)到(3)：根据(2)，将y与p分别写为 9=∑，，w）,p=Y,p)
·10 第一章希尔伯特空间 于是 (,)=∑∑，y,.y,=∑∑y,p'y,y)y,) =∑(a,)%,) 这正是(3). 由(3)到(4)：只需令以=p即. 由(4)到(2)：取任意失量y,用w及{￥，}构造一个矢量： 9-》y,9） (1.6) 对此矢量应用(4)，有 g-%,P-∑l(y,g-∑y,)月 =∑y,0-∑y,y)4,0川月 但根据(3)，右边绝对值号内的差式为零，因此知左方我们所构造的矢量(1.6) 式为零，即 y=∑y,) 这正是(2)，由此证明了(2)、(3)、(4)三者等价.前已证明了(1)与(2)等价.从而 完成了四个命题等价的证明， 例如，在三维位形空间中，一组一个止交归一化的矢最i,j,k构成基矢， 所有位置矢量r都可以写成 r=∑e,r=ix+jy+kz 式中我们定义e,=,e2=广，=k.又如在四维·列矩阵空间中，下列四个尖 量是最简单的挂矢： (o 0 20 0 0 0 0 此空间中的任意矢量！都可以写成 1=∑，4 练习1.8在四维列矩阵空间中，给定四个不正交也不全归一的矢量：
§1矢量空间 ·11· 它f]构成一个完全集，试用Schmidt方法求出-组基天 练习1.9在上题中，改变四个A的次序，取 0 重新用Schmidt方法求出一组基矢. 练习1.0在三维位形空同中，i,,k是在互相垂直的x,八z三个轴上的单位矢量 取三个归一化的矢量： 1= 方》 + 在内积就是点乘积的定义下它们并不正交，现在改变正交的定义：定义这三个矢量 A,2,1,互相正交. (仙)证明：定义一个归化的完全集里面的天量彼此互相正交，等于定义一种内积 规划 (2)求出这个新的内积规则，即将任意两个矢量r=ix+y+kz1,=ix+j为+k2的 内积表为x,”,和2归2，的函数. )验证所求的内积规谢符合条件(9一(12). (4)用(2,1，)=6，验证所求出的内积规则. 练习1.11在n维空间中，已知{，=1,2,3，，n是一组完全集（不一定正交），现 在有n个矢量{gh,=1,2,3,,r(也不一定止交，定义 (1w)(,:）…(d,9,) D=Ψ))…a 【2.9,)(292)…(2n,型.) 证明{%》线性相关的必要和充分条件为D=0. S1-4子空间 一个矢量空间R,若其中一个矢量的集合S在原空间的运算定义下又构 成一个矢量空间，那么S称为R的子空间.原来的空间R相对于子空间来说