·2 第一章希尔伯特空间 量.即规定-种数乘规则，使任意矢量少和一个数Q,在集合内总有一个矢量 9与之对应，记为 =G=a以 p称为妙与a的乘积.数乘与次序无关.我们推荐把数号在矢量后面，这样在 量子力学中特别方便，数乘要满足下列四个条件 条件(5) 条件(6) (wa)b=w(ab) (结合律) 条件(7) v(a+b)=wa+wb (第一分配律) 条件(8) (y+o)a=wa+oa (第二分配律) a是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间：a是复数时，则称为在复数域 上的矢量空间。 内积两个矢量可以作内积，得出一个数.即规定一种内积规则，按一定 次序任取两个矢量w和，总有一个数c与之相对应，记作 (v,o)=c 在实数城（复数域）上的矢量空间中的内积，所得的也是实数（复数）.内积与两 个因子的次序有关，内积规则要满足下列四个条件： 条件(9) (,p)=(p, (c表示c的复共轭) 条件(10) (,9+X)=(9,p)+(4,X) (分配律) 条件(11)(y,pa)=(y,p)a 条件(12) （9,9)20对任意9成立：若(”，)=0，则必有 =0 具有加法与数乘两种运算并满足条件(1)~（⑧）的集合称为矢量空间或线 性空间.具有加法，数乘和内积三种运算的空间称为内积空间，而完全的内积 空间称为希尔伯特空间.在本章中，矢量空间一词通常指在复数域上的内积空 间 空间的完全性的意义为空间中任何在Cauchy意义下收敛的序列 {"1,42,,…}的极限也必须任本空间中.Cauchy意义下收敛的意思是 对给定任意小的实数c>0,有数N存在，当m,n>N时，有 =W。,W.=w.)<e 在量子力学中所用到的空间，就是复数域上的希尔伯特空间！ 下面我们举出矢盘空间的一些简单性质. ()在矢量空间中，零矢量是唯一的. 证明设在空间中有O和O2,对所有失量妙都满足 9+0,=，+02= 取第一式中的y为O2,第二式中的型为0，分别得 [
§1矢量空间 3 02+01=02,01+02=0 于是，根据条件(1)， 02=02+01=01+02=01 即0，=O2,只有唯一的零矢量. (2)每个矢量的逆元是唯一的 证明若p1,P2都是y的逆元，即 y+0,=0,w+p2=0 于是 p1=p1+0=01+(y+p2)=(91+9)+p: =(y+p1)+p1=0+p2=p2 证明了p:=p2,即逆元是唯一的.在上式中，第一步根据条件(3)，第三步根据 条件1). (3) w0=0 4) (-1)=-w (5) Oa=0 (6如果ya=0,那么a=0或者y=0 证明a=0时上式显然成立：当a≠0时，必有a1=/a存在.我们计算 (wa)a,一面根据(5)， (wa)a=0a=0; 另一方面根据条件(6)和(5)，有 (wa)a-=w(aa-)=w1=w 二式结合，证明了当a≠0时，w=O. () (Ψa,p)=a'(4,p) (8) (+p,X)=(X)+(p,X) (9) （w,0)=0 下面，讨论几个矢量空间的例子. 第一个例子取数学对象为所有正负有理数和零，规定加法即为算术中 的加法：规定数乘中的数a也限于所有的有理数，数乘即是算术中的乘法：最 后规定内积为两个因子的算术乘积.这是一个在有理数域上的矢量空间，因为 有理数相加和相乘所得的都是有理数，这个空间是封闭的，即所得结果仍在此 空间之中. 值得注意的是在这个空间中，有的序列的极限超出这一空间之外.例如取 以下序列： 0=1,=1+ 9=1+ 1
，4. 第一章希尔伯特空间 这个序列的每…项都在我们的空问中，但是当n→0的极限是 e=2.7182818…,这是-个无理数，不在有理数空间中， 第二个例子取数学对象为三维位形空问中山一点引的不同方向不同 长短的线段的全体，即理论力学中的位置矢量全体.规定加法服从平行四边形 法则：数乘中的数a是实数，以a数乘的结果是方向不变，长度乘以a:内积 是两矢量的点乘积.这是一个实数域上的内积空间. 第三个例子取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数，可以把它们 写成一个一列矩阵： 4 1= 13 14 加法，数乘和内积的定义分别为 4+m (h a 1+m +m +m3 14+m4 1:a (亿，m)=m1+1m2+5m3+4m4 这是一个复数域上的内积空间。 第四个例子数学对象为在asxsb区间定义的实变量x的“行为较好” 的复函数∫()的全体，而日都是平方可积的.所谓“行为较好”是指满足 定数学些求，如单值性、连续性及导数存在等等，这里我们不去详细讨论.规 定加法和数乘都是代数中的相应运算：规定两个函数(x)和g(x)的内积为 (f(x).g(x))=f(x)g(x)dx 这样的函数全体构成·个内积空间，平方积的意思是 ∫∫w)fxdr<o 这个空间称为函数空间，不同的函数都是这个空间中的矢其.在量了力学中所 用的函数有时必须包括某些不满足平方可积条件的函数，见§44. 练习1.1试只用条件(1-(8)证明y+w=2g,y0=0和(-1)=- 练习12证明在内积空间中若(，叫=(，到对任意p成立，则必有以=： 练习1,3欠量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条
§1失量空间 5 的逻辑推论？如有，试证明之 练习1.4)在第：个例子中若将加法的规定改为：和失量的长度为二矢量长度 之和，方向为.矢量所夹(<180°)的分角线方向，空何是否仍为内积空何？ (2)在第：个例手中若将二矢量A和B内积的定义改为A!Bsin日或 2AHB1m9,字间是否仍为内积空同？ )在第：个例子的空间中，若将内积的规定改为 (,m)=m,+2m2+3m,+4m 空间是古仍为内积孕？ (④)在第网个例子的函数空间中，若将内积的规定改为 (f(x,8x月=。f*(x)g()xdx毁 (f().g()=[()g(x)x'dx 空间是杏仍为内积空问？ §1-2正交性和模 如果两个矢量w和p的内积为零，即(y,)=0,我们说这两个矢量正交 矢量Ψ问它自己的内积(y,)是一个大于零的实数，称为矢量y的模方 记作 （9,)=Ψ2 模方的正平方根称为模，记作，又可称为矢量”的长度.模等于1的矢量称 为归一化的矢量。 下面我们证明两个与模有关的基本关系. Schwartz不等式对于任意矢量y和p有 1(g,p川≤引 证明给定w和p后，构造一个矢量X, x-v-ovo 作x的模方，根据条件(12)，它一定大于或等于零： 0s0=-(g,p)e2_® +®2'te.2o,)=w- lolo a,p 由于引2>0，所以有 1(4,p)川2≤明21
·6 第一章希尔伯特空间 多 1(g,p叭 不等式得证 三角形不等式对于任意甲和9，有 lw+oisiu+o! (1.2) 证明因为对任意复数&有Rea≤al,暇ytp的模方，利用此关系和 Schwartz不等式，有 (y+p,w+p)=2+2Re(以，p)+ipl ≤2+2(g,p)1+|@2 ≤2+2引p+p 于是得 |y+p≤|叭+ 练习1.5若a为复数，证明若p=ga时，Schwartz不等式中的等号成. 练习1.6证明当且仅当|w+pa=y-9a,对切数a成立时，y与正交.并在 三维位形空间讨论这一命题的儿何意义。 练习1,7证明：当且仅当|y-pa2y:对-切数a成立时，y与g正交 §1-3基矢 1.线性无关 矢量空间中有限个(n个)矢量的集合{9，，若下式 24=0 (1.3) 只有当全部复数a,(i=1,2,3,,n)都为零时才成立，则这n个矢量{以是 线性无关的. 只要有一组不全为零的复数{a,}存在，使得上式成立，则这组n个矢量 为线性相关的.一组不包含零矢量的线性相关矢量中的任何一个[只要在(13) 式中它的系数不为零]，都可以表为其余矢量的线性叠加， 对于无穷个矢量的集合，线性无关的定义可以推广为：在无穷个矢量的 集合中，若任意有限的子集合都是线性无关的，则整个集合就是线性无关的. 完全集 ~个矢量空间中的一组完全集，是一个线性无关的矢量集合 {,这个空间中的每个矢量都能表为完全集中矢量的线性叠加，即每一矢量 都能写成 ∑，a: