考虑缺货的供应链联合库存成本分析及收益分配

D0I:10.13374/h.issn1001-053x.2012.10.015 第34卷第10期 北京科技大学学报 Vol.34 No.10 2012年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0ct.2012 考虑缺货的供应链联合库存成本分析及收益分配 孙莹四鲍新中王宁 北京科技大学东凌经济管理学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail::sunying(@manage.usth.cdu.cn 摘要考虑一个供应商和一个需求方构成的联合库存联盟的成本降低问题.对缺货成本进行了分析，通过建立库存成本分 析模型，求得供应链实施联合库存前后库存成本差额，并将成本降低额视为剩余收益.然后基于鲁宾斯坦讨价还价模型对剩 余收益进行分配.通过分析，从理论上证明实施联合库存确实降低了供应链系统成本，获得成本降低额，然后将成本降低额有 效分配.最后用算例证明该方法的可行性和可操作性. 关键词库存管理：供应链管理：成本降低：经济订货批量 分类号F274 Cost analysis and income allocation for jointly managed inventory with out-of- stock in supply chains SUN Ying,BAO Xin-zhong,WANG Ning Dongling School of Economics and Management,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:sunying@manage.ustb.edu.cn ABSTRACT This paper aims at the cost reduction of the joint inventory as a alliance constituted by a supplier and a retailer.The cost difference of the supply chain before and after implementing the joint inventory is calculated by considering the shortage cost into the inventory cost analysis model.The reduced cost is regarded as the residual income,which is distributed between the supplier and the retailer based on the Rubinstein bargaining model.Theoretical analysis results show that implementing the joint stock system reduces the cost of the supply chain,gets the amount of cost reduction,and allocates effectively the amount of cost reduction between the supplier and the retailer.An example demonstrates the feasibility and maneuverability of this method. KEY WORDS inventory management:supply chain management:cost reduction:economic ordering quantity 库存管理研究的最基本方法是研究经济订货批 解决联合库存剩余成本的分摊问题，运用纳什均衡 量模型，在此基础上派生出定期订货、定量订货及 说明成本的分配政策影响企业的库存水平.Zhou间 ABC库存管理等方法，这些方法的基本目标都是通 通过采用统一的年定购次数协调供应链，文中根据 过不同的管理方式和管理体制来大幅度地降低库存 需求方数目的大小分为少数需求方和多数需求方两 额，从而达到降低库存成本、加快资金周转和提高资 种情况进行了讨论.Kim、Ghodsypour和Ouyang 金效率的目的.有多项研究表明，美国在库存上的 等-也都对多供应商条件下的联合库存或集成供 投资约占国内生产总值的13%左右，而中国在库存应问题进行了研究.在国内，程海芳等)分析了集 方面的投资则更高，因此加强对库存模式和库存成 成供应相关问题.杨华等圆建立了由大型设备制造 本的研究就显得极为重要.Lee等0分别就传统库 企业下属的各个区域备件代理商构成的多仓库联合 存模式和新模式两种情况的库存进行比较，运用关 库存优化模型：研究结果表明，联合库存策略只适用 键分位数作为库存水平的一把尺子测量新库存模式 于需求率低、成本高的维修备件.宋华明等回建立 带来的收益.Wong等回分两种情况建立博弈模型 了同时考虑供需双方成本的联合库存决策模型，运 收稿日期：2011-11-23 基金项目：国家自然科学基金资助项目(71172169)

第 34 卷 第 10 期 2012 年 10 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 34 No． 10 Oct． 2012 考虑缺货的供应链联合库存成本分析及收益分配 孙 莹! 鲍新中 王 宁 北京科技大学东凌经济管理学院，北京 100083 !通信作者，E-mail: sunying@ manage． ustb． edu． cn 摘 要 考虑一个供应商和一个需求方构成的联合库存联盟的成本降低问题． 对缺货成本进行了分析，通过建立库存成本分 析模型，求得供应链实施联合库存前后库存成本差额，并将成本降低额视为剩余收益． 然后基于鲁宾斯坦讨价还价模型对剩 余收益进行分配． 通过分析，从理论上证明实施联合库存确实降低了供应链系统成本，获得成本降低额，然后将成本降低额有 效分配． 最后用算例证明该方法的可行性和可操作性． 关键词 库存管理; 供应链管理; 成本降低; 经济订货批量 分类号 F274 Cost analysis and income allocation for jointly managed inventory with out-of￾stock in supply chains SUN Ying!，BAO Xin-zhong，WANG Ning Dongling School of Economics and Management，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China !Corresponding author，E-mail: sunying@ manage． ustb． edu． cn ABSTRACT This paper aims at the cost reduction of the joint inventory as a alliance constituted by a supplier and a retailer． The cost difference of the supply chain before and after implementing the joint inventory is calculated by considering the shortage cost into the inventory cost analysis model． The reduced cost is regarded as the residual income，which is distributed between the supplier and the retailer based on the Rubinstein bargaining model． Theoretical analysis results show that implementing the joint stock system reduces the cost of the supply chain，gets the amount of cost reduction，and allocates effectively the amount of cost reduction between the supplier and the retailer． An example demonstrates the feasibility and maneuverability of this method． KEY WORDS inventory management; supply chain management; cost reduction; economic ordering quantity 收稿日期: 2011--11--23 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 71172169) 库存管理研究的最基本方法是研究经济订货批 量模型，在此基础上派生出定期订货、定量订货及 ABC 库存管理等方法，这些方法的基本目标都是通 过不同的管理方式和管理体制来大幅度地降低库存 额，从而达到降低库存成本、加快资金周转和提高资 金效率的目的． 有多项研究表明，美国在库存上的 投资约占国内生产总值的 13% 左右，而中国在库存 方面的投资则更高，因此加强对库存模式和库存成 本的研究就显得极为重要． Lee 等［1］分别就传统库 存模式和新模式两种情况的库存进行比较，运用关 键分位数作为库存水平的一把尺子测量新库存模式 带来的收益． Wong 等［2］分两种情况建立博弈模型 解决联合库存剩余成本的分摊问题，运用纳什均衡 说明成本的分配政策影响企业的库存水平． Zhou ［3］ 通过采用统一的年定购次数协调供应链，文中根据 需求方数目的大小分为少数需求方和多数需求方两 种情 况 进 行 了 讨 论． Kim、Ghodsypour 和 Ouyang 等［4--6］也都对多供应商条件下的联合库存或集成供 应问题进行了研究． 在国内，程海芳等［7］分析了集 成供应相关问题． 杨华等［8］建立了由大型设备制造 企业下属的各个区域备件代理商构成的多仓库联合 库存优化模型; 研究结果表明，联合库存策略只适用 于需求率低、成本高的维修备件． 宋华明等［9］建立 了同时考虑供需双方成本的联合库存决策模型，运 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2012.10.015

·1206· 北京科技大学学报 第34卷 用最小最大准则分析了模型最优解的存在性；研究 并且不能从整体上分析实施联合库存前后的成本降 结果表明，与供需独立的决策模型比较，联合库存决 低额； 策可以显著地降低供应链成本.罗兵等@考虑了 (2)未能充分考虑联合库存的缺货成本，假定 在单一供应商和订货商条件下，针对订货商面临线 缺货量与时间呈简单的线性关系： 性时变需求，并且仓库在出空期间出现短缺量部分 (3)对于供应链联合库存总成本在各成员之间 拖后的情况，提出了一个包括原材料和产成品的整 分配，未能考虑建立联合库存后的成本收益效应： 体供应商管理库存模型，并进行了最优解的仿真 (4)由于现实因素的复杂性，模型都对现实情 计算. 况作了很多的抽象，特别是对不确定性给库存成本 在联合库存模式下，诸多的联盟参与者需要进 带来的影响经常被忽略。实际上，对各种不确定性 行合作成本或者合作收益的分配.鲍新中等阐 的影响考虑得越周全，建立的模型才能更好地实现 述了第三方物流的联合库存集成供应问题，基于合 供应链库存成本的最优 作博弈理论建立了第三方物流集成供应的成本分摊 模型，并引入了经济订货批量的方法解决了夏普利 供应商 需求方 值法难以赋值的问题.钟磊刚等回则根据影响需 库行 库 求的主要因素来确定联合库存合作各方的利益分配 a 因子，并基于协商定价机制来建立两级供应链的利 供应商 需求方 益分配模型，最后还对不同情况下的重复博弈问题 联合件存 进行了展开讨论.Kattuman等间和Mutuswami (b) 都运用合作博弈的思路解决了联合库存过程中的成 图1从传统供应库存到联合库存模式的转变.(a)一对一传统 本分摊或利益分配问题 供应库存模式：(b)一对一联合库存模式 本文在考虑缺货成本的基础上分析了一对一联 Fig.1 Change from the traditional inventory model to the jointly 合库存相对于传统库存模式的成本节约额，并以该 managed inventory (JMI)model:(a)one-oone traditional inventory model:(b)one-o-one JMI model 成本降低额作为联合库存的收益，运用合作博弈理 论中的纳什讨价还价模型，将该收益在联盟的参与 此外，供应链的柔性问题也应该被考虑到供应 各方之间进行了合理分配，最后的算例证明了联合 链库存控制模型中，只有有效地融合准时制、供应链 库存成本分析和收益分配方法的可行性和有效性. 延迟技术等，供应链库存成本模型才更有实践意义. 1 问题描述 但是，在目前的研究中有一些关于传统库存管理和 联合库存管理模式下的简单成本比较模型，对于缺 从单个企业的物流管理到供应链管理，对库存 货量，应用线性时变需求，实施联合库存管理后产生 管理和库存成本的研究经历了由简单向复杂、由分 的剩余收益，更多地应用纳什均衡和夏普利值法等 散化供应链向集成化供应链发展的过程.在集成化 合作博弈的方法分配.针对以上研究，本文从一个 供应链库存管理环境下，各个供应链成员企业的协 供应商一个需求方构成的一对一联合库存管理出 调与合作是至关重要的.在实际生产中，目前的供 发，对缺货成本分析时，并非简单的假设库存量与时 应链管理联盟很多都是由一个供货商和一个需求方 间以线性变化，而是根据实际情况，考虑库存与时间 组成的.在只存在一个供货商的情况下，由于需求 在不同阶段的关系，建立缺货模型，并应用经济订货 方市场需求的变化，就很有可能缺货，而缺货所产生 批量模型对实施联合库存前后的成本进行比较，求 的缺货成本是不容忽视的.因此在建立库存成本分 得成本降低额，将该成本降低额看作联合库存的收 析模型时，往往要将缺货成本作为一个重要的组成 益，基于鲁宾斯坦讨价还价模型对该收益在合作联 部分来考虑.一个供货商和一个需求方形成的供应 盟各企业之间分配 链联合库存模式如图1所示.组成联合库存联盟实 2 施联合库存管理，可以有效地降低库存水平，并降低 一对一联合库存情况下的缺货成本分析 整个供应链系统的库存成本.但是，当前关于联合 在单供应商和单需求方供应链中，一般在有限 库存成本问题的研究还存在许多不足： 计划期内允许缺货的库存模型中，循环的时间间隔 (1)只是针对每个阶段的库存成本进行分析和 是相同的，并且假设原材料的采购费用为固定值 优化，而针对整个供应链的最优库存成本分析很少， 模型假设：假设由单供应商和单需求方构成的

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 用最小最大准则分析了模型最优解的存在性; 研究 结果表明，与供需独立的决策模型比较，联合库存决 策可以显著地降低供应链成本． 罗兵等［10］考虑了 在单一供应商和订货商条件下，针对订货商面临线 性时变需求，并且仓库在出空期间出现短缺量部分 拖后的情况，提出了一个包括原材料和产成品的整 体供应商管理库存模型，并进行了最优解的仿真 计算． 在联合库存模式下，诸多的联盟参与者需要进 行合作成本或者合作收益的分配． 鲍新中等［11］阐 述了第三方物流的联合库存集成供应问题，基于合 作博弈理论建立了第三方物流集成供应的成本分摊 模型，并引入了经济订货批量的方法解决了夏普利 值法难以赋值的问题． 钟磊刚等［12］则根据影响需 求的主要因素来确定联合库存合作各方的利益分配 因子，并基于协商定价机制来建立两级供应链的利 益分配模型，最后还对不同情况下的重复博弈问题 进行了展开讨论． Kattuman 等［13］ 和 Mutuswami ［14］ 都运用合作博弈的思路解决了联合库存过程中的成 本分摊或利益分配问题． 本文在考虑缺货成本的基础上分析了一对一联 合库存相对于传统库存模式的成本节约额，并以该 成本降低额作为联合库存的收益，运用合作博弈理 论中的纳什讨价还价模型，将该收益在联盟的参与 各方之间进行了合理分配，最后的算例证明了联合 库存成本分析和收益分配方法的可行性和有效性． 1 问题描述 从单个企业的物流管理到供应链管理，对库存 管理和库存成本的研究经历了由简单向复杂、由分 散化供应链向集成化供应链发展的过程． 在集成化 供应链库存管理环境下，各个供应链成员企业的协 调与合作是至关重要的． 在实际生产中，目前的供 应链管理联盟很多都是由一个供货商和一个需求方 组成的． 在只存在一个供货商的情况下，由于需求 方市场需求的变化，就很有可能缺货，而缺货所产生 的缺货成本是不容忽视的． 因此在建立库存成本分 析模型时，往往要将缺货成本作为一个重要的组成 部分来考虑． 一个供货商和一个需求方形成的供应 链联合库存模式如图 1 所示． 组成联合库存联盟实 施联合库存管理，可以有效地降低库存水平，并降低 整个供应链系统的库存成本． 但是，当前关于联合 库存成本问题的研究还存在许多不足: ( 1) 只是针对每个阶段的库存成本进行分析和 优化，而针对整个供应链的最优库存成本分析很少， 并且不能从整体上分析实施联合库存前后的成本降 低额; ( 2) 未能充分考虑联合库存的缺货成本，假定 缺货量与时间呈简单的线性关系; ( 3) 对于供应链联合库存总成本在各成员之间 分配，未能考虑建立联合库存后的成本收益效应; ( 4) 由于现实因素的复杂性，模型都对现实情 况作了很多的抽象，特别是对不确定性给库存成本 带来的影响经常被忽略． 实际上，对各种不确定性 的影响考虑得越周全，建立的模型才能更好地实现 供应链库存成本的最优． 图 1 从传统供应库存到联合库存模式的转变． ( a) 一对一传统 供应库存模式; ( b) 一对一联合库存模式 Fig． 1 Change from the traditional inventory model to the jointly managed inventory ( JMI) model: ( a) one-to-one traditional inventory model; ( b) one-to-one JMI model 此外，供应链的柔性问题也应该被考虑到供应 链库存控制模型中，只有有效地融合准时制、供应链 延迟技术等，供应链库存成本模型才更有实践意义． 但是，在目前的研究中有一些关于传统库存管理和 联合库存管理模式下的简单成本比较模型，对于缺 货量，应用线性时变需求，实施联合库存管理后产生 的剩余收益，更多地应用纳什均衡和夏普利值法等 合作博弈的方法分配． 针对以上研究，本文从一个 供应商一个需求方构成的一对一联合库存管理出 发，对缺货成本分析时，并非简单的假设库存量与时 间以线性变化，而是根据实际情况，考虑库存与时间 在不同阶段的关系，建立缺货模型，并应用经济订货 批量模型对实施联合库存前后的成本进行比较，求 得成本降低额，将该成本降低额看作联合库存的收 益，基于鲁宾斯坦讨价还价模型对该收益在合作联 盟各企业之间分配． 2 一对一联合库存情况下的缺货成本分析 在单供应商和单需求方供应链中，一般在有限 计划期内允许缺货的库存模型中，循环的时间间隔 是相同的，并且假设原材料的采购费用为固定值． 模型假设: 假设由单供应商和单需求方构成的 ·1206·

第10期 孙莹等：考虑缺货的供应链联合库存成本分析及收益分配 ·1207· 联合库存管理中，允许存货短缺，但是在最后一个周 通过积分得 期不允许存货短缺，有限的计划期在开始和结束时 A(b,-a,)=[f(u)du (3) 的存储水平均为零. 模型符号说明：T为有限计划期的总长度：f(t) 所以在时刻a:,]内由于缺货而损失的费用为： 代表t时刻的需求函数，需求函数在计划期D,T刀内 dudp(d.(4) 是连续函数：S(t)表示t时刻商品的存储量；R表示 供应商每年的生产量或生产率；a:表示开始生产地 根据以上分析，本文确定了一对一联合库存缺 时刻，a1=0;b:表示生产结束的时刻：n表示在计划 货成本.在后续研究中，将考虑缺货成本对模型的 期0，T刀内的总补货次数：表示存储量为零的时 影响. 刻；P为缺货时的单位损失，用物品的单位边际贡献 3考虑缺货的一对一联合库存成本分析 表示.根据以上的假设及符号说明，可以画出库存 水平与时间变化的关系图，如图2所示 在建立模型之前，先定义下列符号：。为初始库 存；C为单件产品每年的库存持有成本；C为需求 储 方单件产品每年的库存持有成本：C2为供应商单件 产品每年的库存持有成本；C0为每次处理订单的处 理成本；C,为需求方每次处理订单的处理成本；C2 为供应商每次处理订单的处理成本；C,为库房每年 的租金成本：C,为联合库存条件下单件产品每年的 图2供应商库存水平随时间的变化 库存持有成本；C,为联合库存条件下每次处理订单 Fig.2 Change of the supplier's inventory level with time 的处理成本；C。为联合库存条件下库房的每年租金 成本：R为单位时间客户的商品需求量，即客户的需 a:时刻为第i次循环开始的时刻，且是第i次 生产的开始时刻，因为生产率大于需求率，库存水平 求率；y为需求方的每年需求量；n为全年订货次数； 开始增加，随着需求水平的加大，增加速度逐渐减 Q为每次订货量；C,为缺货费用，即前节所计算的 小；b:时刻生产结束，此时库存水平达到最大，由于 G=pa-4wk 需求库存水平逐渐减小，到：时刻库存水平减少为 零，从而开始发生短缺，直到a:+,时刻才开始生产， 在上述假设条件下，综合考虑以上库存持有成 如此循环往复，直到计划期结束 本、订单处理成本、库房租金和缺货成本，运用经济 由以上的分析可知， 订货批量模型，在计划期t时间内的总库存费用模 S(t)=A-f(t）,a:≤t≤b: 型为 S(t)=-ft）, b,≤t≤z:: (1) C(t,S)= 1 S(t）=-f(t）,a,≤t≤a+1 2R 所以 ()d(R-) A-f(W]du,a:≤t≤b,; 2R a. s0=∫-fw]d, (5) b:≤t≤i 式(5)为一年的总库存费用模型.考虑每次的 s()=[-f(]du. 2:≤t≤a+1 订货批量为0，则有Q=六y=n,1=1,将其代 (2) 入式(5)，得 由关系图及前述分析，可知S(a,)=0,S(a)= C(y)= Ciolo 0,a:≤b:≤z:结合式(2)得 20 s(b)=f CA-(Jdu= p“a-af0d(R-1。)2 i[-fω]du=fu)du 20 +Co。+C, (6)

第 10 期 孙 莹等: 考虑缺货的供应链联合库存成本分析及收益分配 联合库存管理中，允许存货短缺，但是在最后一个周 期不允许存货短缺，有限的计划期在开始和结束时 的存储水平均为零． 模型符号说明: T 为有限计划期的总长度; f( t) 代表 t 时刻的需求函数，需求函数在计划期［0，T］内 是连续函数; S( t) 表示 t 时刻商品的存储量; R 表示 供应商每年的生产量或生产率; ai 表示开始生产地 时刻，a1 = 0; bi 表示生产结束的时刻; n 表示在计划 期［0，T］内的总补货次数; zi 表示存储量为零的时 刻; p 为缺货时的单位损失，用物品的单位边际贡献 表示． 根据以上的假设及符号说明，可以画出库存 水平与时间变化的关系图，如图 2 所示． 图 2 供应商库存水平随时间的变化 Fig． 2 Change of the supplier's inventory level with time ai 时刻为第 i 次循环开始的时刻，且是第 i 次 生产的开始时刻，因为生产率大于需求率，库存水平 开始增加，随着需求水平的加大，增加速度逐渐减 小; bi 时刻生产结束，此时库存水平达到最大，由于 需求库存水平逐渐减小，到 zi 时刻库存水平减少为 零，从而开始发生短缺，直到 ai + 1时刻才开始生产， 如此循环往复，直到计划期结束． 由以上的分析可知， S'( t) = A － f( t) ， ai≤t≤bi ; S'( t) = － f( t) ， bi≤t≤zi ; S'( t) = － f( t) ， zi≤t≤ai + 1 { ． ( 1) 所以 S( t) = ∫ t ai ［A － f( u) ］du， ai ≤ t ≤ bi ; S( t) = ∫ t ai ［－ f( u) ］du， bi ≤ t ≤ zi ; S( t) = ∫ t ai ［－ f( u) ］du， zi ≤ t ≤ ai+1          ． ( 2) 由关系图及前述分析，可知 S( ai ) = 0，S( zi ) = 0，ai≤bi≤zi ． 结合式( 2) 得 S( bi ) = ∫ bi ai ［A － f( u) ］du = ∫ bi zi ［－ f( u) ］du = ∫ zi bi f( u) du． 通过积分得 A( bi － ai ) = ∫ zi bi f( u) du ． ( 3) 所以在时刻［ai，zi ］内由于缺货而损失的费用为: p ∫ ai+1 zi ∫ t zi f( u) dudt = p ∫ ai+1 zi ( t － ai + 1 ) f( t) dt． ( 4) 根据以上分析，本文确定了一对一联合库存缺 货成本． 在后续研究中，将考虑缺货成本对模型的 影响． 3 考虑缺货的一对一联合库存成本分析 在建立模型之前，先定义下列符号: I0 为初始库 存; Ch0为单件产品每年的库存持有成本; Ch1为需求 方单件产品每年的库存持有成本; Ch2为供应商单件 产品每年的库存持有成本; Cs0为每次处理订单的处 理成本; Cs1为需求方每次处理订单的处理成本; Cs2 为供应商每次处理订单的处理成本; Cr 为库房每年 的租金成本; Ch 为联合库存条件下单件产品每年的 库存持有成本; Cs 为联合库存条件下每次处理订单 的处理成本; Cr0为联合库存条件下库房的每年租金 成本; R 为单位时间客户的商品需求量，即客户的需 求率; y 为需求方的每年需求量; n 为全年订货次数; Q 为每次订货量; Cl 为缺货费用，即前节所计算的 Cl = p ∫ ai+1 zi ( t － ai + 1 ) f( t) dt． 在上述假设条件下，综合考虑以上库存持有成 本、订单处理成本、库房租金和缺货成本，运用经济 订货批量模型，在计划期 t 时间内的总库存费用模 型为 C( t，S) = 1 t [ Ch0 I 2 0 2R + p∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt( Rt － I0 ) 2 2R + Cs0 ] + Cr． ( 5) 式( 5) 为一年的总库存费用模型． 考虑每次的 订货批量为 Q，则有 Q = y n ，y = nRt，t = 1 /n，将其代 入式( 5) ，得 C( y) = Ch0 I 2 0 2Q + p∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt( Rt － I0 ) 2 2Q + Cs0 y Q + Cr． ( 6) ·1207·

·1208 北京科技大学学报 第34卷 3.1传统库存模式成本分析 (2)传统供应链中供应商的利润模型.根据需 在传统的单企业自行的库存管理模式下，没有 求方的一次订货量Q,供应商将组织生产和配送. 供应链企业间的合作共享问题，供应商和需求方都 假设供应商的单位产品年存储成本为C2,每次订货 会自设库存，各自进行库存管理.每个企业都会从 的订货准备成本为C2,并假设c(y)为供应商的生 自身利益的角度来进行库存成本最小化的优化，但 产成本函数，它随着y的增大而增大.从而，供应商 是从供应链整体库存成本的角度，各自的成本优化 的利润函数可以表示为 结果并不一定是最优化的.考虑到目前买方市场的 特点，订货策略和订货批量往往是由需求方来决定 Π.（y)=y-cy) 2Q2 的，而供应商往往是订货批量的接受者.因此，为了 使得自身成本的最小化，需求方会采用经济订货批 c(y） (t-a)f0)d山(Q2-2)2 量模型来确定自身的订货策略和库存管理策略，再 2Q2 +C2 Y +C2 此经济订货批量的前提下，供货方再来确定自身的 (10) 生产和库存策略. 需求方的订货量决定了供应商的订货批量，将Q。与 (1)传统供应链中需求方的利润模型为： I。的关系代入式(10)，可以得到 Π.y）=p(y)y-y- Cu+ C品C2 2Q1 Ⅱ.g=w-e)-FlcG+ e(y） (t-a)f(t)di(R-1)2 ChICe (C1+Cm)+ Ca-Ca (11) Y ++C. CuCa 20, (7) 其中，G=(g)“"(-a0d,Ce=e) 其中：y为需求方的年总需求量；P(y)为产品的销售 (t-a)f(t)dt. 价格函数：心为由需求方向供应商采购产品的单位 从而可以得到供应商的最小库存成本： 价格：Q,为由需求方的一次订购批量；11为初始库 C.mn(y）= 存；C1为需求方的单位存储成本；C!为需求方的一 次订购成本 e() (t-a+i)f(t）dt 式(7)对Q,求一阶导数，要使利润最大化，令 C. 其等于零，得出1与Q,之间的关系为1=Q C+o()t-aif0d山 w(y) (t-ai)f(t)dt (a)f(d]Go 41 -,将其代入式(7)， Ch1+w(y） (t-ai)f(t)dt CuC(d 则需求方的最小库存相关成本为 Cac()"(t-ai)fa)d山 C.ia（y）=minC,(y）= Cu+w(y)(t-a)f(t)dt o(y） (t-ai)f(t)dt Ch Ca y+Ca. Ch C C +C2 Cm +w(y) (t-a)f(t）dt (y)(t-a)f(t)diC. Ca (8) (12) 因此，需求方的利润模型可简化为： 综合考虑供应商和需求方的库存成本，传统供 Π.)=p(y)y-wy- 应链模式下的总库存相关成本为 o(y）(t-a+i)fi)d山 D=Cen（y）+Cmm（y）= a+1 √ChCa —F+C w(y） (t-ai)f(t)dt Cu+i()-af)d山 C,+)-af0d 1+ (9)

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 3. 1 传统库存模式成本分析 在传统的单企业自行的库存管理模式下，没有 供应链企业间的合作共享问题，供应商和需求方都 会自设库存，各自进行库存管理． 每个企业都会从 自身利益的角度来进行库存成本最小化的优化，但 是从供应链整体库存成本的角度，各自的成本优化 结果并不一定是最优化的． 考虑到目前买方市场的 特点，订货策略和订货批量往往是由需求方来决定 的，而供应商往往是订货批量的接受者． 因此，为了 使得自身成本的最小化，需求方会采用经济订货批 量模型来确定自身的订货策略和库存管理策略，再 此经济订货批量的前提下，供货方再来确定自身的 生产和库存策略． ( 1) 传统供应链中需求方的利润模型为: ∏c ( y) = p( y) y － wy [ － Ch1 I 2 1 2Q1 + w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt( Rt － I1 ) 2 2Q1 + Cs1 y Q1 + Cr ] ． ( 7) 其中: y 为需求方的年总需求量; p( y) 为产品的销售 价格函数; w 为由需求方向供应商采购产品的单位 价格; Q1 为由需求方的一次订购批量; I1 为初始库 存; Ch1为需求方的单位存储成本; Cs1为需求方的一 次订购成本． 式( 7) 对 Q1 求一阶导数，要使利润最大化，令 其等 于 零，得 出 I1 与 Q1 之 间 的 关 系 为 I1 = Q1 w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt Ch1 + w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt ，将 其 代 入 式 ( 7 ) ， 则需求方的最小库存相关成本为 C1，min ( y) = minC1 ( y) = 槡Ch1Cs1 w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt Ch1 + w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) d 槡 t 槡y + Cr1 ． ( 8) 因此，需求方的利润模型可简化为: ∏c ( y) = p( y) y － wy [ － 槡Ch1Cs1 w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt Ch1 + w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) d 槡 t 槡y + Cr1 ] ． ( 9) ( 2) 传统供应链中供应商的利润模型． 根据需 求方的一次订货量 Q1，供应商将组织生产和配送． 假设供应商的单位产品年存储成本为 Cc2，每次订货 的订货准备成本为 Cs2，并假设 c( y) 为供应商的生 产成本函数，它随着 y 的增大而增大． 从而，供应商 的利润函数可以表示为 ∏s ( y) = wy － c( y) [ － Ch2 I 2 2 2Q2 + c( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt( Q2 － I2 ) 2 2Q2 + Cs2 y Q2 + Cr2 ] ． ( 10) 需求方的订货量决定了供应商的订货批量，将 Qc 与 Ic 的关系代入式( 10) ，可以得到 ∏s ( y) = wy － c( y) － 1 2 A 槡 [ y C2 l1Ch2 Ch1 ( Ch1 + Cl1 ) 2 + Ch1Cl2 ( Ch1 + Cl1 ) 2 + Ch1Cs2 Cl1Cs1 + Cs2 C ] s1 － Cr2 ． ( 11) 其中，Cl1 = w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai + 1 ) f( t) dt，Cl2 = c( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai + 1 ) f( t) dt． 从而可以得到供应商的最小库存成本: Cs，min ( y) = 1 2 槡Ch1Cs1 w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt Ch1 + w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) d 槡 t 槡y { [ · w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) d ] t 2 Ch2 Ch1 [ Ch1 + w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) d ] t 2 + Ch1 c( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) d [ t Ch1 + w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) d ] t 2 + Ch1Cs2 w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dtCs1 + Cs2 Cs1 } + Cr2 ． ( 12) 综合考虑供应商和需求方的库存成本，传统供 应链模式下的总库存相关成本为 D = Cc，min ( y) + Cs，min ( y) = 1 2 槡Ch1Cs1 w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt Ch1 + w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) d 槡 t 槡 [ y 1 + ·1208·

第10期 孙莹等：考虑缺货的供应链联合库存成本分析及收益分配 ·1209· Cn Che ChCR C 模式下的成本节约额： Cu (Cu+C)(CuG) △D=D-DII= (Ca+C2). (13) 3.2基于联合库存成本分析 (t-a)f(t)dt 2Cu Ca 1 在一个供应商和一个需求方的联合库存管理 Cu(m))dt 下，供应商将撤销自身的产品库存，而将库存直接设 N 2 置到需求方的原材料仓库中.这时供应链的费用函 Ci Ck2 Ch Ce +c+Gt+1+|+ 数为 DIM= w)(-a)f)d C(t-a.)f()(b)2 (Ca+Ca)-√CaCa C.y C+w)(-a)f()dt 20 20 Q +C0 (14) Ce)ChC](Ch +Cu) 规模经济指的是给定技术的条件下（指没有技 1+)2Ca+-c17) 术变化），对于某一产品（无论是单一产品还是复合 因为 产品)，如果在某些产量范围内平均成本是下降或 Ch Ce 上升，就认为存在着规模经济或不经济.在供应链 (C1+C)+1+2 联合库存管理下，考虑到规模经济效益的因素，有 1+ CiCke CC (Ch +Cu) Ch≤Chl+C2,C≤Ci+Cn,C,≤Cl+C2 CH (Cu +Cu)Cu Ce (C+G) 为了计算方便，可以将联合库存管理下的成本 并且由于规模经济的存在C+C2>Co,若A≥0， 放大，因为将联合库存成本放大后，成本差额仍大于 B≥0，A≠B则有}4+B)>V压，故 零，与联合库存降低成本的结论不冲突，即不影响后 续计算，所以令C=Ch1+C2,C,=Cu+C,C,= △D=D-DM= Ca +Ca. w(y) (t-ai)f(t)dt 1 同时由于制造商与需求方其库存容量相当，可 以假定Ca=C2=Cr Cu+(am))dr 在采用经济订货批量模式下，同理可得到I与 Q之间的关系： 1+ Cu Ck2 ChI Cp Ch (CM +Cm) (Ga+Cm)+1+ (t-ai)f(t)d p-ai0la (15) (Ca+Ca)-√CC,i G+() (t-a+i)fi)d山 将其代入(14)式，可以得到实施联合库存管理 的供应链最小库存成本为 CC(Ch1+Cm） 1*cCmC,(G+G》 -Co>0.(18) w(y) (t-a)f(t)dt 由式(18)可以看到，联合库存管理模式下的综 DN=√CCa 合库存成本低于传统的供应链模型. Ci+w(y） (t-a）ft)dt V 4基于鲁宾斯坦讨价还价模型的联合库存 ChCI(Ch +Cu) Vy. 1+ +C0 (16) 收益分配 Ca Ch C (Ch +C) 其中，G=() 联合库存管理模式优于传统的供应链库存管理 (t-a+i)f(t)d+c(y） (t- 模式，产生成本节约，可将这部分成本节约额视为剩 a)f(t)dt. 余收益.制造商和需求方作为理性个体，进行联合 3.3实施联合库存前后成本比较 库存管理时，都希望获得更多的剩余收益，那具体应 考虑式(13)的传统供应链成本模型和式(16) 该如何分配才是公平合理的呢？对于一对一联合库 的联合库存条件下的库存成本模型，得到联合库存 存管理模式，只有两个参与者，本文选用Rubinstein

第 10 期 孙 莹等: 考虑缺货的供应链联合库存成本分析及收益分配 C2 l1Ch2 Ch1 ( Ch1 + Cl1 ) 2 + Ch1Cl2 ( Ch1 + Cl1 ) 2 + 1 + Cs2 C ] s1 + ( Cr1 + Cr2 ) ． ( 13) 3. 2 基于联合库存成本分析 在一个供应商和一个需求方的联合库存管理 下，供应商将撤销自身的产品库存，而将库存直接设 置到需求方的原材料仓库中． 这时供应链的费用函 数为 DJMI = Ch I 2 0 2Q + p∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt( Q － I0 ) 2 2Q + Csy Q + Cr0 ． ( 14) 规模经济指的是给定技术的条件下( 指没有技 术变化) ，对于某一产品( 无论是单一产品还是复合 产品) ，如果在某些产量范围内平均成本是下降或 上升，就认为存在着规模经济或不经济． 在供应链 联合库存管理下，考虑到规模经济效益的因素，有 Ch≤Ch1 + Ch2，Cl≤Cl1 + Cl2，Cs≤Cs1 + Cs2 ． 为了计算方便，可以将联合库存管理下的成本 放大，因为将联合库存成本放大后，成本差额仍大于 零，与联合库存降低成本的结论不冲突，即不影响后 续计算，所以令 Ch = Ch1 + Ch2，Cl = Cl1 + Cl2，Cs = Cs1 + Cs2 ． 同时由于制造商与需求方其库存容量相当，可 以假定 Cr1 = Cr2 = Cr． 在采用经济订货批量模式下，同理可得到 I 与 Q 之间的关系: I = [ p ∫ ai+1 zi ( t － ai + 1 ) f( t) d ( t Ch + p ∫ ai+1 zi ( t － ai + 1 ) f( t) dt ] ) Q． ( 15) 将其代入( 14) 式，可以得到实施联合库存管理 的供应链最小库存成本为 DJMI = 槡Ch1Cs1 w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt Ch1 + w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) d 槡 t · 槡 ( y 1 + Cs2 C ) s1 ChCl ( Ch1 + Cl1 ) Ch1Cc2 槡 ( Ch + Cl ) + Cr0 ． ( 16) 其中，Cl = w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai +1 ) f( t) dt + c( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai + 1 ) f( t) dt． 3. 3 实施联合库存前后成本比较 考虑式( 13) 的传统供应链成本模型和式( 16) 的联合库存条件下的库存成本模型，得到联合库存 模式下的成本节约额: ΔD = D － DJMI = 1 2 槡Ch1Cs1 w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt Ch1 + w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) d 槡 t · 槡 [ y 1 + C2 l1Ch2 Ch1 ( Ch1 + Cl1 ) 2 + Ch1Cl2 ( Ch1 + Cl1 ) 2 + 1 + Cs2 C ] s1 + ( Cr1 + Cr2 ) － 槡Ch1Cs1 w( y)∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt Ch1 + w( y)∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) d 槡 t · 槡 ( y 1 + Cs2 C ) s1 ChCl ( Ch1 + Cl1 ) Ch1Cc2 槡 ( Ch + Cl ) － Cr0 ． ( 17) 因为 Ch1Cl2 ( Ch1 + Cl1 ) 2 + 1 + Cs2 Cs1 ＞ 1 + Cs2 Cs1 ， 1 + C2 l1Ch2 Ch1 ( Ch1 + Cl1 ) 2 ＞ ChCl ( Ch1 + Cl1 ) Ch1Cc2 ( Ch + Cl ) ， 并且由于规模经济的存在 Cr1 + Cr2 ＞ Cr0，若 A≥0， B≥0，A≠B，则有 1 2 ( A + B) ＞ 槡AB，故 ΔD = D － DJMI = 1 2 槡Ch1Cs1 w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt Ch1 + w( y) ∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) d 槡 t 槡y [ · 1 + C2 l1Ch2 Ch1 ( Ch1 + Cl1 ) 2 + Ch1Cl2 ( Ch1 + Cl1 ) 2 + 1 + Cs2 C ] s1 + ( Cr1 + Cr2 ) － 槡Ch1Cs1 w( y)∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) dt Ch + w( y)∫ ai+1 zi ( t － ai+1 ) f( t) d 槡 t 槡y ( · 1 + Cs2 C ) s1 ChCl ( Ch1 + Cl1 ) Ch1Cc2 槡 ( Ch + Cl ) － Cr0 ＞ 0． ( 18) 由式( 18) 可以看到，联合库存管理模式下的综 合库存成本低于传统的供应链模型． 4 基于鲁宾斯坦讨价还价模型的联合库存 收益分配 联合库存管理模式优于传统的供应链库存管理 模式，产生成本节约，可将这部分成本节约额视为剩 余收益． 制造商和需求方作为理性个体，进行联合 库存管理时，都希望获得更多的剩余收益，那具体应 该如何分配才是公平合理的呢? 对于一对一联合库 存管理模式，只有两个参与者，本文选用 Rubinstein ·1209·