下面讨论样条函数的插值问题:给定点列 51<52<…<5N+n+1 (1.31) 试问对于任意给定的一组实数y1,y2,…,y+m,是否存在唯一的一个n次样条函 数S(x)∈Sn(x1,x2,…,x)使得 S(5)=y,(=1,2,…,N+n+1) 定理8对于k>0,行列式 (51-x1)+(51-x2)+…(51-xn) k5计=(-(3- (5n-x1)(5m-x2)+…(5m-xn) (1.33) 必须且只须下述不等式均满足 k1<x1<5;(=1,2,…N) (1.34) 证明对k进行归纳。当k=1时,按截断多项式的定义和行列式的运算规律即 可知(1.33)和(134)的等价性 今假定定理8对行列式k-x,)已经建立,而来证明对k4x)也成立。 这必须用到恒等式 ks-x)=「…∫K5-n)k4一x)1…d ast1<t2<…<y (135) 显然为使5-x)川为正的,当且仅当与具正测度的}空间区域内 k5-1)4-x,)同取正值才可能。而由归纳法假定,为使这两行列式是正的, 仅当下式成立: lj 5,G=1,2,,N)
下面讨论样条函数的插值问题：给定点列 1 2 N+n+1， （1.31） 试问对于任意给定的一组实数 1 2 1 , , , N+n+ y y y ，是否存在唯一的一个 n 次样条函 数 ( ) ( , , , ) n 1 2 N S x S x x x ,使得 S( ) = y ( j = 1,2, , N + n +1) j j （1.32） 定理 8 对于 k 0 ，行列式 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 − − − − − − − − − − = + + + + + + + + + + k m m k m k m k m k k k m k k k i j x x x x x x x x x x ， （1.33） 必须且只须下述不等式均满足： ( 1,2, , ) . i−k−1 xi i i = N （1.34） 证明 对 k 进行归纳。当 k=1 时，按截断多项式的定义和行列式的运算规律即 可知（1.33）和（1.34）的等价性。 今假定定理 8 对行列式 k i j x − + ( ) 已经建立，而来证明对 k i j x − + ( ) 也成立。 这必须用到恒等式 ( ) ( ) ( ) . 1 1 1 0 1 2 N k q j a t t t i p k i x j t t x dt dt N − + − + = − + − （1.35） 显然为使 k i j x − + ( ) 为正的，当且仅当与具正测度的 t r 空间区域内 0 1 ( ) , ( ) − − + − + k i p q j t t x 同取正值才可能。而由归纳法假定，为使这两行列式是正的， 仅当下式成立： ( 1,2 , , ) , ( 1,2 , , ) , 1 x t j N t j N j k j j j j j = = − −
即 由归纳法即知定理8成立。 定理8是一条十分有用的定理。利用它,就不难解决一般样条函数的插值问题 32)了 定理9对任意给定的y1,y2…,yn,插值问题(1.32)均有解,必须且只须 (1.36) 并且在这种情况下(1.32)的解还是唯一的。 由定理8并注意在区间[1,En]内,S(x)可表示为 a(x-5) 此处5<52<…<5m<51且5mA=x。因为插值问题(32)是一个线性代数方程 组,它对任意句}都有唯一解,必须且只须其相应系数行列式不等于0。于是由定理 8可知,为使对任意给定的一组y,y2…ym,插值问题(1.32)均有解,必须且 只须(134)形不等式成立。再由5n+41=x等关系式,可知此时必须且只须(136) 成立。定理9得证。 定理9从理论上完全解决了n次样条函数的插值问题解的存在性与唯一性问题。 无论在理论或实际应用上,它都有重要的指导意义。 推论4给定插值结点51<2<…<5m,考虑具有N个样条结点的n=mN-1次 样条函数,其N个样条结点取自点2…,5m1之内。则对任何一组y,y2…,ym,插值 问题(1.32)皆有唯一解。 事实上,在上述推论的前提下,条件(1.36)是自然满足的
即 ( 1 ,2 , , ) . j−k−1 x j j j = N 由归纳法即知定理 8 成立。 定理 8 是一条十分有用的定理。利用它，就不难解决一般样条函数的插值问题 （1.32）了。 定理 9 对任意给定的 1 2 1 , , , N+n+ y y y ，插值问题（1.32）均有解，必须且只须 ( 1,2, , ) . i xi i+n+1 i = N （1.36） 并且在这种情况下（1.32）的解还是唯一的。 由定理 8 并注意在区间 1 1 , n+N+ 内，S(x)可表示为 + + = − + 1 1 ( ) n N j n j j a x ， 此处 n n j j = x 1 2 +1 1且 + +1 。因为插值问题（1.32）是一个线性代数方程 组，它对任意 y j 都有唯一解，必须且只须其相应系数行列式不等于 0。于是由定理 8 可知，为使对任意给定的一组 1 2 1 , , , N+n+ y y y ，插值问题（1.32）均有解，必须且 只须（1.34）形不等式成立。再由 n j j = x + +1 等关系式，可知此时必须且只须（1.36） 成立。定理 9 得证。 定理 9 从理论上完全解决了 n 次样条函数的插值问题解的存在性与唯一性问题。 无论在理论或实际应用上，它都有重要的指导意义。 推论 4 给定插值结点 , 1 2 m 考虑具有 N 个样条结点的 n=m-N-1 次 样条函数，其 N 个样条结点取自 2 1 , , m− 之内。则对任何一组 , , , , 1 2 m y y y 插值 问题（1.32）皆有唯一解。 事实上，在上述推论的前提下，条件（1.36）是自然满足的
§2.B一样条及其性质 设…<x2<x1<x0<x1<…<x (2.1) x,→>±∞(U→土∞),n为整数。 定义Mn(x)=Mn(x,x2x1…,x) 视其中ⅹ为参数,把Mn(xy)作为y的函数,考虑其于y=x0,x1,…,x处的n阶差商 M,(x)=M,(x; xo, x,,,xn) M,(x)=M,r xo, x,,, xn) n(x-x) =a(x,) 其中o(x)=(x-x0)…(x1-xn) 显然Mn(x)是一个以x,…,x为结点的n-1次样条函数。并且按截断多项式的定 义,当x>xn时,M(x)≡0;又当x<x时,(2.3)式右端中的截断号“+”可以去掉, 而使Mn(x)是一个n1次多项式的n阶差商。于是由差商的性质可知,此时也有 Mn(x)≡0。总之 Mn(x)=0,当xg[x0,x 由 Peano定理,若f(x)∈C",则 f(x0x…;x)=M(x,x…x)(x (2.5) 特别地,若取∫(x)=x",则可由上式推知 Mn(x,x,x1,…,xn)x=1 (26) 定理10Mm(x)(U=0,…,n-2)于(x0,xn)内恰有U个不同的零点。特别的, 有 Mn(x)>0,当xg(x0,xn) 因而于区间(xn1,xn)内,M(x)>0。从而可以找到三个点x<x<xn,使Mn(x)于
§ 2. B—样条及其性质 设 x−2 x−1 x0 x1 x （2.1） → ( → ) x ，n 为整数。 定义 ( ) ( ; , , , ) n n 0 1 n M x = M x x x x （2.2） 视其中 x 为参数，把 M (x; y) n 作为 y 的函数，考虑其于 n y x , x , , x = 0 1 处的 n 阶差商 ( ) ( ; , , , ) n n 0 1 n M x = M x x x x ： , ( ) ( ) ( ) ( ; , , , ) 0 ' 1 0 1 = − − + = = n n n n n x n x x M x M x x x x （2.3） 其中 ( ) ( ) ( ) . 0 1 n x = x − x x − x 显然 M (x) n 是一个以 n x , , x 0 为结点的 n-1 次样条函数。并且按截断多项式的定 义，当 n x x 时， Mn (x) 0 ；又当 0 x x 时，（2.3）式右端中的截断号“+”可以去掉， 而使 M (x) n 是一个 n-1 次多项式的 n 阶差商。于是由差商的性质可知，此时也有 Mn (x) 0 。总之 ( ) 0 , , . n 0 n M x 当x x x （2.4） 由 Peano 定理，若 n f (x)C ，则 ( ; , , , ) ( ) . ! 1 ( , , , ) ( ) 0 1 0 1 0 M x x x x f x dx n f x x x n x x n n n n = （2.5） 特别地，若取 n f (x) = x ，则可由上式推知 ( ; , , , ) 1 . 0 1 = − M x x x x dx n n （2.6） 定理 10 ( ) ( 0, , 2) ( ) M n x = n − 于 ( , ) 0 n x x 内恰有 个不同的零点。特别的， 有 ( ) 0 , ( , ) . n 0 n M x 当x x x 因而于区间 ( , ) n 1 n x x − 内， Mn (x) 0 。从而可以找到三个点 n x x x * 0 ，使 M (x) n 于
其上的符号依次为0,+,0;由中值定理,又可以找到四个点x<x<x2<xn,使Mn(x) 于其上的符号依次为0,+,-,0(变号一次);……最后,我们可以找到n+1个点 x<x1<x2<…<xm<xn,使Mn(2(x)于其上的符号依次为0,+,-,+,-,…,0(变 号n-2次)。另一方面,由(2.3)式 Mnn2(x)=(-1)2n∑ @(x 是一条以x=xx,…x为顶点横坐标的折线。该折线在两端点处y=0。而且 Mm=2(x,)(U=1,…,n-1)不等于0且交错。从而M=2(x)恰好于(x0,xn)内有n2个 单根 因为M(x)于(x0,xn)内至少有U个互异的根,若它的根多于n个(重数计算在 内),则按Role定理可知M-2(x,)的根多于n2个(包括重数)。但这是不可能的, 定理证毕。 由(23)给出的Mn(x)称为B—样条函数。 对于等距离结点情况, Schoenberg(1946)还给出了B—样条函数的差分表达式 对于以1为步长的等距离结点情况,他给出 M(= 2 (2.7) S x l)! 其中δ″表示n阶中心差分。 Mn(x)的显示表达式为
其上的符号依次为 0 ,+ ,0 ；由中值定理，又可以找到四个点 n x x x x * 2 * 0 1 ，使 ( ) ' M x n 于其上的符号依次为 0 ,+ ,− ,0 （变号一次）；……最后，我们可以找到 n+1 个点 n x x1 x2 xn−1 x 0 ，使 ( ) ( 2) M x n n − 于其上的符号依次为 0 ,+ ,− ,+ ,− , ,0 （变 号 n-2 次）。另一方面，由（2.3）式 = − − − + = − n n n n x x x M x n 0 ' ( 2) 2 ( ) ( ) ( ) ( 1) ! 是一条以 n x x , x , , x = 0 1 为顶点横坐标的折线。该折线在两端点处 y=0。而且 ( ) ( 1, , 1) ( 2) = − − M x n n n 不等于 0 且交错。从而 ( ) ( 2) M x n n − 恰好于 ( , ) 0 n x x 内有 n-2 个 单根。 因为 ( ) ( ) M x n 于 ( , ) 0 n x x 内至少有 个互异的根，若它的根多于 n 个（重数计算在 内），则按 Rolle 定理可知 ( ) ( 2) M x n n − 的根多于 n-2 个（包括重数）。但这是不可能的， 定理证毕。 由（2.3）给出的 M (x) n 称为 B—样条函数。 对于等距离结点情况，Schoenberg(1946)还给出了 B—样条函数的差分表达式。 对于以 1 为步长的等距离结点情况，他给出 , ( 1)! 1 2sin( 2) 2 1 ( ) n n iux n n x n e du u u M x + − − = = （2.7） 其中 n 表示 n 阶中心差分。 M (x) n 的显示表达式为