按条件3,上式后两项为0。又由(18)逐项微分可知 S2k-(x+0)-S(-)(x2-0)=(2k-1c (i=1, 综合(1.15)--(1.18),即得 (-)f(x)s)(x) ∑(x|sa(x-0 S(2k-)(x,+ =(-1)(2k-1)∑c1f(x,) 定理证毕。 推论1若在定理4的条件外,再设f(x)于x1,…,x处皆为0,则 推论2设样条结点由(1.13)给出,S(x)为由(1.10)给出的自然样条函数(n>1) 且设f(x)∈C"{ab(x)于每个区间(x,x)内连续 (=0,…N)(x0=a,xN+1=b),则 f(x)S(x)dr=(-1)"(2n-1)∑cf(x) 若还有f(x1)=0(i=0,…,N),则 fm(x)S(n(x)dx=0 证明因为S(x)∈N2n1(x1,x2…x),从而S(x)∈on1(x1,x2…,x)且 S("(x)=0,x≤x1和x≥x 对于自然样条函数插值的存在、唯一·性,有下面的定理: 定理5设1≤n≤N,则对任意给定的y1,y2…,yN,存在唯一的自然样条函数 S(x)∈N2n1(x1,x2,…,xN),使得
按条件 3，上式后两项为 0。又由（1.8）逐项微分可知 ( 1,2, , ) . ( 0) ( 0) (2 1)! (2 1) (2 1) i N S x S x k c i i k i k = + − − = − − − （1.18） 综合（1.15）---（1.18），即得 ( 1) (2 1)! ( ) . ( ) ( 0) ( 0) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 (2 1) (2 1) 1 ' (2 1) ( ) ( ) = = − − − − = − − = − − + = − N i i i k N i i k i k i b a k k b a k k k c f x f x S x S x f x S x dx f x S x dx 定理证毕。 推论 1 若在定理 4 的条件外，再设 N f (x) x , , x 于 1 处皆为 0，则 = b a k k f (x)S (x)dx 0 . ( ) ( ) 推论 2 设样条结点由（1.13）给出，S(x)为由（1.10）给出的自然样条函数（n>1）, 且 设 ( ) , , ( ) 1 ( ) f x C a b f x n− n 于每个区间 ( , ) i i+1 x x 内连续 ( 0, , ) ( , ) i = N x0 = a xN+1 = b ，则 ( ) ( ) ( 1) (2 1)! ( ) . 1 ( ) ( ) = = − − b a N i i i n n n f x S x dx n c f x 若还有 f (x ) 0 (i 0, ,N) i = = ，则 ( ) ( ) 0 . ( ) ( ) = b a n n f x S x dx 证明 因为 ( ) ( , , , ) 2n 1 1 2 N S x N x x x − ，从而 ( ) ( , , , ) 1 1 2 ( ) n N n S x x x x − 且 N n S x = x x 和x x 1 ( ) ( ) 0 , 对于自然样条函数插值的存在、唯一性，有下面的定理： 定理 5 设 1 n N ，则对任意给定的 N y , y , , y 1 2 ，存在唯一的自然样条函数 ( ) ( , , , ) 2n 1 1 2 N S x N x x x − ，使得
证明由定理3,为证本定理,只须证明线性方程组 (x)+∑c(x1-x1)2=y,(=1…N), (k=0,…,N) 对任意给定的y,y2,…y皆有唯一解。由线性代数理论,只须证明与(1.20)相应 的齐次线性方程只有零解即可。设 S0(x)∈N2n-1( 且满足 即设S(x)相应表达式(见(112))系数满足与(1.20)相对应的齐次方程。考虑 (So)=CISs(fDr 其中[a满足(13)式。于推论2中,取f(x)=S(x)=S(x),并利用(1.21)可知 (S)=C[(对)=0 于是 0(x)≡0(a≤x≤b) 由此可知S(x)是一个次数不超过n-1的多项式。 又由(1.21),S0(x)竟然于N(≥m)个互异点处为0,是故 S0(x)=0 定理证毕。 定理5从理论上指明了自然样条函数插值的存在唯一性。这不仅有重大的理论意 义,而且在实际计算中有一定的知道意义。 下面介绍自然样条函数插值的所谓最光滑性质,它是首先由J。C。 Holladay于
S(x) y ( j 1,2, ,N) . = j = （1.19） 证明 由定理 3，为证本定理，只须证明线性方程组 0 ( 0, , ) ( ) ( ) ( 1, , ) , 1 1 2 1 1 c x k N p x c x x y j N N i k i i j N i n n j i j i = = + − = = = = − − （1.20） 对任意给定的 N y , y , , y 1 2 皆有唯一解。由线性代数理论，只须证明与（1.20）相应 的齐次线性方程只有零解即可。设 ( ) ( , , , ) 0 2n 1 1 2 N S x N x x x − 且满足 ( ) 0 ( 1, , ) , S0 x j = j = N （1.21） 即设 ( ) 0 S x 相应表达式（见（1.12））系数满足与（1.20）相对应的齐次方程。考虑 ( ) ( ) , 2 ( ) 0 = 0 b a n S S x dx 其中 a,b 满足（1.13）式。于推论 2 中，取 ( ) ( ) ( ) 0 f x = S x = S x ，并利用（1.21）可知 ( ) ( ) 0 , 2 ( ) 0 = 0 = b a n S S x dx 于是 ( ) 0 ( ) . ( ) S0 x a x b n 由此可知 ( ) 0 S x 是一个次数不超过 n-1 的多项式。 又由（1.21）， ( ) 0 S x 竟然于 N( n) 个互异点处为 0，是故 ( ) 0 . S 0 x 定理证毕。 定理 5 从理论上指明了自然样条函数插值的存在唯一性。这不仅有重大的理论意 义，而且在实际计算中有一定的知道意义。 下面介绍自然样条函数插值的所谓最光滑性质，它是首先由 J。C。Holladay 于
957年给出的 定理 设1≤n≤N,且a≤x1≤x2 ≤b.又设 S0(x)∈N2n-1(x1 x)是满足插值条件 (1.22) 的自然样条函数,则对任何满足(122)的函数f(x)∈Cb] f(,) 必有 rs(x)∫[(对 (1.23) 且等号仅当f(x)=S(x)时才成立。 证明根据自然样条函数的定义, (x)=0,x≤x1或x≥x 为证(1.23),只须证明 ∫s(x)ds(对)t 显然 rm(idr ∫s"(x)+ er s(n( om (x)-stn(x)fd 对上述右端第三个积分作分部积分,得 2(--∑∫s"m(x/(x)-s(x 按自然样条函数的定义,S(mn(x)于每个区间(x,xm)内为常数,而按插值条件, ∫(x)-S(x)又在该区间的两端x与x+处为0。所以上述积分为0,即
1957 年给出的。 定 理 6 设 1 n N ， 且 . a x1 x2 xN b 又 设 ( ) ( , , , ) 0 2n 1 1 2 N S x N x x x − 是满足插值条件 S(x ) y ( j 1, , N) j = j = （1.22） 的自然样条函数，则对任何满足（1.22）的函数 f x C a b n ( ) , ： f (x ) y ( j 1, , N) j = j = 必有 ( ) ( ) . 2 ( ) 2 ( ) b a n b a n S x f x dx （1.23） 且等号仅当 f (x) S(x) 时才成立。 证明 根据自然样条函数的定义， N n S x = x x 或x x 1 ( ) ( ) 0 , 为证（1.23），只须证明 N N x x n x x n S x dx f x dx 1 1 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 显然 2 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) − = + − + N N N N x x n n n x x n n x x n x x n S x f x S x dx S x dx f x S x dx f x dx 对上述右端第三个积分作分部积分，得 − = − + − − − 1 1 1 (2 1) ' ' 1 2( 1) ( ) ( ) ( ) N j x x n n S x f x S x dx j j 按自然样条函数的定义， ( ) (2 1) S x n− 于每个区间 ( , ) j j+1 x x 内为常数，而按插值条件， f (x) − S(x) 又在该区间的两端 j j+1 x 与x 处为 0。所以上述积分为 0，即
∫[o()d=∫"ps"(对)+[/(x)-S"(x (124) 从而不等式(1.23)成立。 最后,若设(1.23)中的等号成立,则(1.24)可知 从而∫(x)-S(x)∈Pn-1为一n-1次多项式。又由f(x)及S(x)所满足的插值条件,这个 n-1次多项式于N(n)个互异点处为0,于是其必恒为0,即f(x)=S(x)定理6证毕。 若于定理6中取n=2,则(1.23)成为 rs(对)∫(对 (1.25) 我们知道,一个函数当其一阶导数较小时,其二阶导数与其曲率值是很接近的 y≈=y/(1+y 而曲率小,在几何上理解为“平滑”当然是很自然的,因此常称自然样条函插值是最 光滑曲线插值。 下面给出在理论和应用中都十分有用的 Peano定理 设L表示对任意f(x)∈C[b]定义的线性算子 L()=∑rf(x)dx), (126) 其中H(x)是有界变差函数 定理7( Peano)设对一切n次多项式p(x)∈P,均有L(p)=0,则对所有 f(x)∈C[a,b],L()恒可表现为 L()=∑o)k(oMt (1.27)
( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) = + − N N N x x n n x x n x x n f x dx S x dx f x S x dx （1.24） 从而不等式（1.23）成立。 最后，若设（1.23）中的等号成立，则（1.24）可知 ( ) ( ) 0 ( ). 1 ( ) ( ) N n n f x − S x x x x 从而 1 ( ) ( ) − Pn− f x S x 为一 n-1 次多项式。又由 f (x)及S(x) 所满足的插值条件，这个 n-1 次多项式于 N( n) 个互异点处为 0，于是其必恒为 0，即 f (x) S(x) . 定理 6 证毕。 若于定理 6 中取 n=2，则（1.23）成为 ( ) ( ) . 2 2 b a b a S x f x dx ‘’ ‘’ （1.25） 我们知道，一个函数当其一阶导数较小时，其二阶导数与其曲率值是很接近的 (1 ) . 3 2 2 '' '' ' y = y + y 而曲率小，在几何上理解为“平滑”当然是很自然的，因此常称自然样条函插值是最 光滑曲线插值。 下面给出在理论和应用中都十分有用的 Peano 定理。 设 L 表示对任意 f x C a b n ( ) , 定义的线性算子 ( ) ( ) ( ) , ( ) = = n r o b a r r L f f x d x （1.26） 其中 (x) r 是有界变差函数。 定理 7（Peano） 设对一切 n 次多项式 Pn p(x) ，均有 L( p) = 0 ，则对所有 f x C a b n ( ) , +1 ， L( f ) 恒可表现为 ( ) ( ) ( ) , ( 1) = + = n r o b a n L f f t K t dt （1.27）
其中, K(1)=L(x-) Lx-)1]表示视其中(x-D为x的函数而被L作用后得到的结果 证明按带余项的 Taylor公式 f(x) fo(a(x-a)' ∫rmox-°bt,(1 因为 几Cr=0x=d=广r-0x=0 又根据L(p)=0,P(x)∈Pn,若以L作用于(1.28)等式两边,可得到 分4f()x-Dd LO=- 按定理假设条件,上述积分可以换序而成为 L()=(o0.(x-m 定理证毕。 函数K()=n4(x-0]称为泛函L的Pem0核。 推论3除定理7的假设外,若核K()于{a,b不变号,则对一切f(x)∈C"{b 均有 (n+1) L(O)= (x)(a≤5≤b) (1.29) 事实上,对(1.27)右端应用第一积分中值定理,则有 L()=f(),k(t (1.30) 特别地,若对于上式中取∫(x)=x,可知 L(x”)=(n+1)K() 将之代入(1.30)即得(1.29)
其中， ( ) , ! 1 ( ) n x L x t n K t = − + n x L x t − + ( ) 表示视其中 n x t − + ( ) 为 x 的函数而被 L 作用后得到的结果。 证明 按带余项的 Taylor 公式 ( )( ) , ! 1 ! ( )( ) ( ) ( 1) 0 ( ) + − − = + = x a n n n r r r f t x t dt r n f a x a f x （1.28） 因为 ( )( ) . ! 1 ( )( ) ! 1 ( 1) ( 1) + + + − = − b a n n x a n n f t x t dt n f t x t dt n 又根据 L( p) = 0 ， Pn p(x) ，若以 L 作用于（1.28）等式两边，可得到 ( )( ) . ! 1 ( ) ( 1) + + = − b a n n L f t x t dt n L f 按定理假设条件，上述积分可以换序而成为 ( ) ( ) . ! 1 ( ) ( 1) + + = − b a n x n f t L x t dt n L f 定理证毕。 函数 n x L x t n K t = − + ( ) ! 1 ( ) 称为泛函 L 的 Peano 核。 推论 3 除定理 7 的假设外，若核 K(t)于a ,b 不变号，则对一切 f x C a b n ( ) , +1 ， 均有 ( ) ( ) . ( 1)! ( ) ( ) 1 ( 1) L x a b n f L f n n + = + + （1.29） 事实上，对（1.27）右端应用第一积分中值定理，则有 ( ) ( ) ( ) . ( 1) + = b a n L f f K t dt （1.30） 特别地，若对于上式中取 1 ( ) + = n f x x ，可知 = + + b a n L(x ) (n 1)! K(t)dt 1 将之代入（1.30）即得（1.29）