《现代控制原理》课程教学资源（PPT课件）Ch3 线性定常连续系统状态方程的解

几类特殊形式的状态转移矩阵(3）约旦块矩阵。当A为特征值为入,的m,xm维约旦块则分块矩阵的矩阵指数函数为tm,-2t m, -1(m, - 2)!(m, - 1)!tm;-3tm;-2N:(m, - 3)!(m, - 2)!0口对上述三种特殊形式矩阵的状态转移矩阵和矩阵指数函数可利用矩阵指数函数的展开式证明

几类特殊形式的状态转移矩阵 (3) 约旦块矩阵。当Ai为特征值为i的mimi维约旦块,则分块矩 阵的矩阵指数函数为              0 0 . 0 1 0 0 . 1 . . . . . ( 3)! ( 2)! 0 1 . ( 2)! ( 1)! 1 . e e 3 2 2 1 t m t m t m t m t t i m i m i m i m A t t i i i i i  i q 对上述三种特殊形式矩阵的状态转移矩阵和矩阵指数函数, 可利用矩阵指数函数的展开式证明

状态转移矩阵的性质2.矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质，由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义，可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(Φ(t)为方阵A的状态转移矩阵)1) Φ(0)=eA0=I

状态转移矩阵的性质 2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质 • 由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的 定义,可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具 有如下性质(Φ(t)为方阵A的状态转移矩阵) 1) Φ(0)=eA0=I

状态转移矩阵的性质2)eA(t+s)=eAteAs ,(Φ(t+s)=Φ(t)Φ(s)6式中和s为两个独立的标量自变量证明 由指数矩阵函数的展开式,有ARA4I + At+I+As2!k!2!k!At2+2ts+s)+..+=I+A(t+$)+(t+s)2!k!A(t+s)e一4(12-)}" =e-4(12-1) =e4(i-12)3)[Φ(t2-t1)]-1=Φ(ti-t2)

状态转移矩阵的性质 2) eA(t+s)=eAteAs ， Φ(t+s)=Φ(t)Φ(s) 式中t和s为两个独立的标量自变量 证明 由指数矩阵函数的展开式,有 3) [Φ(t2-t1)] -1=Φ(t1-t2) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) . ! ( 2 ) . 2! ( ) . ! . 2! . ! . 2! A t s k k k k k k At As t s k A t ts s A I A t s s k A s A t I As k A t A I At                                    e e e   ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 2 1 1 2 e e e A t t  A t t A t t    

状态转移矩阵的性质4)对于nxn阶的方阵A和B,下式仅当AB=BA时才成立e(A+B)t=eAteBtdAl= AeAt =e^" A, Φ(t)= AΦ(t)=Φ(t)A5)dt6)eAteAt[Φ(t)]n=Φ(nt)7) Φ(t2-ti)Φ(ti-to)=Φ(t2-to)

状态转移矩阵的性质 4) 对于nn阶的方阵A和B,下式仅当AB=BA时 才成立 e(A+B)t=eAteBt 5) 6) [Φ(t)] n=Φ(nt) 7) Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0)   τ τ e e A t At  e e e , ( ) ( ) ( ) d d At At At A A t A t t A t       

状态转移矩阵的性质，由状态转移矩阵的意义，有x(t2)=Φ(t2-ti)x(t1)x(to)=Φ(t2-ti)[Φ(ti-to)x(to)]=[Φ(t2-ti)Φ(ti-to)]x(to)图3-2系统的状态转移而x(t2)=Φ(t2-to)x(to)因此，性质(7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状态转移等效为一步状态转移,如图3-2所示

状态转移矩阵的性质 • 由状态转移矩阵的意义,有 x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1) =Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)] =[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0) 而x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0) 因此，性质(7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的 一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状态 转移等效为一步状态转移,如图3-2所示。 图3-2 系统的状态转移