《现代控制原理》课程教学资源（PPT课件）Ch3 线性定常连续系统状态方程的解

状态转移矩阵的性质例3-2求如下系统的状态转移矩阵的逆矩阵。0x=23 解：对于该系统,在例3-1已求得状态转移矩阵为2e-1 -e-21e-i -e-2tΦ(t) =eAt-e-' +2e-21-2e-' +2e-21 由于Φ-1(-t)=Φ(t),所以求得状态转移矩阵的逆矩阵为2e'-e21e'-e21Φ-'(t)=Φ(-t) =-2e' +2e21-e'+2e21

状态转移矩阵的性质 • 例3-2 求如下系统的状态转移矩阵的逆矩阵。 • 解： 对于该系统,在例3-1已求得状态转移矩 阵为 • 由于Φ-1(-t)=Φ(t),所以求得状态转移矩阵的 逆矩阵为 x x        2 3 0 1                        t t t t t t t t At t e 2 2 2 2 2e 2e e 2e 2e e e e ( )                 t t t t t t t t t t 2 2 2 2 1 2e 2e e 2e 2e e e e ( ) (- )

非齐次状态方程的解3.1.3非齐次状态方程的解当线性定常连续系统具有输入作用时，其状态方程为如下非齐次状态方程：x'=Ax+Bu该状态方程在初始状态x(t)l=t。 = x(to)下的解,也就是由初始状态x(t)和输入作用u(t)所引起的系统状态的运动轨迹

非齐次状态方程的解 3.1.3 非齐次状态方程的解 • 当线性定常连续系统具有输入作用时,其状态 方程为如下非齐次状态方程: x’ =Ax+Bu 该状态方程在初始状态 0 0 ( ) ( ) t t t t  x  x 下的解, Ø 也就是由初始状态x(t0)和输入作用u(t)所引起的系统状态 的运动轨迹

非齐次状态方程的解下面用两种求解常微分方程的方法一直接求解法一拉氏变换法讨论非齐次状态方程的解,以及解表达式的意义一月输出方程的解

非齐次状态方程的解 • 下面用两种求解常微分方程的方法 – 直接求解法 – 拉氏变换法 讨论非齐次状态方程的解,以及 – 解表达式的意义 – 输出方程的解

直接求解法1.直接求解法·将状态方程x'=Ax+Bu移项,可得x'-Ax=Bu将上式两边左乘以e-At,则有e-At[x'-Ax]=e-AtBu即d(e-Atx)/dt=e-AtBuT是[-Arx()kr-fe-A Bu(r)ds·在区间[to,t]内对上式积分,则有

直接求解法 1. 直接求解法 • 将状态方程x’ =Ax+Bu移项,可得 x’-Ax=Bu 将上式两边左乘以e-At ,则有 e-At[x’-Ax]=e-AtBu 即 d(e-Atx)/dt=e-AtBu • 在区间[t0,t]内对上式积分,则有        t t A t t A B 0 0 e ( ) d e ( )d d d        x u

直接求解法即" e-At Bu(t)dte-Atx(t) -e-Ato x(to) = [因此[" eA(t-t) Bu(t)dtx(t) = e 4(t-to)x(to) + [上式便是非齐次状态方程的解。口当to=0时,解x(t)又可记为A(t-t) Bu(t)dtx(t) = eAtxo

直接求解法 即      t t A t t A t t t B 0 0 ( ) e ( ) e ( )d ( ) 0 ( )    x x u 上式便是非齐次状态方程的解。 q 当t0=0时,解x(t)又可记为       t t At At A t t B 0 0 e ( ) e ( 0 ) e ( )d  x x u     t At A t t B 0 ( ) 0 ( ) e e ( )d  x x u 因此