《现代控制原理》课程教学资源（PPT课件）Ch3 线性定常连续系统状态方程的解

拉氏变换法因此,基于上述(sI-A)-1的拉氏反变换,该齐次方程的解为x(t)=L-1[(sI-A)-1]x。 = eAt Xo一上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法求解结果一致。一若初始时刻to≠0,对上述齐次状态方程的解作坐标变换,则可得解的另一种表述形式： x(t)=e4(-lo)x()口状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始状态x(to)从初始时刻t.到时刻t系统运动状态的转移,其转移特性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数eA(t-to)和初始状态x(to)所决定

拉氏变换法 • 因此,基于上述(sI-A) -1的拉氏反变换,该齐次 方程的解为 x(t)=L-1[(sI-A) -1]x0 = eAt x0 – 上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法 求解结果一致。 – 若初始时刻t00,对上述齐次状态方程的解作坐 标变换,则可得解的另一种表述形式: 0 ( ) 0 ( ) e ( ) A t t t t  x  x q 状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始 状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特 性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数 和初始状态x(t0) 所决定。 ( ) 0 e A tt

拉氏变换法为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续系统的状态转移矩阵如下：Φ(t)=eAt一因此,有如下关系式Φ(t-t.) = e A(t-o)x(t)=Φ(t)xo=Φ(t-to)x(to)一由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解系统状态转移矩阵有如下关系Φ(t)=L-1[(sI-A)-1]

拉氏变换法 • 为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的 线性定常连续系统的状态转移矩阵如下: (t)=eAt – 因此,有如下关系式 x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0) – 由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解, 系统状态转移矩阵有如下关系 (t)=L-1[(sI-A) -1] ( ) 0 0 ( ) e A t t t-t   

拉氏变换法x口齐次状态方程的解描述了线性定x(t)=(t)xo常连续系统的自由运动。Xo由解的表达式可以看出,系统1自由运动的轨线是由从初始时(t)刻的初始状态到时刻的状态0的转移刻划的,如图3-1所示。图3-1状态转移特性x(ox(t))t1x@(ti -0)@(tz -t))

拉氏变换法 q 齐次状态方程的解描述了线性定 常连续系统的自由运动。 Ø 由解的表达式可以看出,系统 自由运动的轨线是由从初始时 刻的初始状态到t时刻的状态 的转移刻划的,如图3-1所示。 0 t x x0 1 x(t)=(t)x0 (t) x(0) ( ) 1 x t ( 0)  t1  ( ) 2 x t ( ) 2 1  t  t t x1 x2 0 1 t 2 t 图3-1 状态转移特性

拉氏变换法当初始状态给定以后，系统的状态转移特性就完全由状态转移矩阵所决定。√所以，状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键

拉氏变换法 Ø 当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状 态转移矩阵所决定。 ü 所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。 Ø 可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键

一例3-1拉氏变换法例3-1 试求如下状态方程在初始状态x。下的解01x'2-2-3口解(1)首先求出矩阵指数函数eAt,其计算过程为sI - Al = s? + 3s + 2 =(s + 1)(s + 2)s+3 1(sI - A)- _ adj(sI - A)-2sI - Al(s + 1)(s + 2)S2111s+2s+2s+1s+12212s+2s+2s+1s+1

拉氏变换法—例3-1 • 例3-1 试求如下状态方程在初始状态x0下 的解 2 1 3 2 ( 1)( 2) adj( ) 1 3 1 ( ) ( 1)( 2) 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 sI A s s s s sI A s sI A sI A s s s s s s s s s s s                                                 q 解 (1) 首先求出矩阵指数函数e At ,其计算过程为 0 0 1 1 2 3 2                 x x x