级数展开法（4/12）一若初始时刻to=0,初始状态x(O)=Xo,则可确定qo=x(O)=Xo一 因此，状态x(t)的解可写为I+At+x(t)=C2!k!该方程右边括号里的展开式是nXn维矩阵函数由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所以称为矩阵指数函数，且记为Y个eAt=I+At++2!k!
级数展开法(4/12) – 若初始时刻t0=0,初始状态x(0)=x0,则可确定 q0=x(0)=x0 – 因此, 状态x(t)的解可写为 该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数。 • 由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所 以称为矩阵指数函数,且记为 2 2 0 ( ) . . 2! ! k A A k t I At t t k x x . ! . 2! 2 2 k k At t k A t A e I At
级数展开法（5/12）一利用矩阵指数函数符号，齐次状态方程的解可写为：x(t)=eAtxo
级数展开法(5/12) – 利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写 为： x(t)=eAtx0
拉氏变换法（1/12）2.拉氏变换法·若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数，定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方程的解。 对该齐次状态方程x'=Ax,设初始时刻to=0且初始状态x(t)=Xo,对方程两边取拉氏变换可得
拉氏变换法(1/12) 2．拉氏变换法 • 若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量 函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数 的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数 的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉 氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状态方 程的解。 • 对该齐次状态方程x’ =Ax,设初始时刻t0=0 且初始状态x(t)=x0,对方程两边取拉氏变换, 可得 sX(s)-x0=AX(s) – 于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换 为 X(s)=(sI-A) -1x0
拉氏变换法（2/12）一对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为x(t)=L-1[(sI-A)-1]xo一 下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A)-1]主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推广至矩阵函数中。对标量函数，我们有a(s-a)" _ 1+ +0Sa?t?akreat = 1+ at +. = L-(s - a)-li2!k!
拉氏变换法(2/12) – 对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为 x(t)=L-1[(sI-A) -1]x0 – 下面讨论如何求解拉氏反变换L-1[(sI-A) -1]。 • 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推 广至矩阵函数中。 • 对标量函数,我们有 2 1 1 2 3 2 2 1 1 1 ( ) . . 1 . . [( ) ] 2! ! k k k k at a a a s a s s s s a t a t at L s a k e
拉氏变换法（3/12）一将上述关系式推广到矩阵函数则有Ak-1A2A(sI - A)-1SUsSSAktkA't?At=/+ At+2!k!其中eAt称为时间的矩阵指数函数，并有AA?Ak-L-'[(sI - A)-'] = L-1AktkA?t?= I + At +k!2!=eAt
拉氏变换法(3/12) – 将上述关系式推广到矩阵函数则有 . ! . 2! ( ) . . 2 2 1 3 2 2 1 k A t A t I At s A s A s A s I sI A k k At k k e 其中e At称为时间t的矩阵指数函数，并有 At k k k k k A t A t I At s A s A s A s I L sI A L e . ! . 2! [( ) ] . . 2 2 1 3 2 2 1 1 1