线性定常齐次状态方程的解3.1.1线性定常齐次状态方程的解·什么是微分方程的齐次方程?一齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。一所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程x'=Ax一齐次状态方程满足初始状态 x(t)l== x(to)的解,也就是由初始时刻to的初始状态x(to)所引起的无输入强迫项(无外力)时的自由运动
线性定常齐次状态方程的解 3.1.1 线性定常齐次状态方程的解 • 什么是微分方程的齐次方程? – 齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x 是方程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该 方程的解。 – 所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治 方程 x’ =Ax – 齐次状态方程满足初始状态 0 0 ( ) ( ) t t t t x x 的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强 迫项(无外力)时的自由运动
线性定常齐次状态方程的解对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有级数展开法和2种。一拉氏变换法
线性定常齐次状态方程的解 • 对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解 方法有 – 级数展开法和 – 拉氏变换法 2种
级数展开法1.级数展开法·在求解齐次状态方程式之前，首先观察标量常x(t) =ax(t)微分方程，在初始时刻tO=0的解一 该方程中x(t)为标量变量,a为常数。由常微分方程理论知,该方程的解连续可微一因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有x(t) = qo +qt + q2t? +...+qtk +.式中,9k(k=1,2,...)为待定级数展开系数
级数展开法 1. 级数展开法 • 在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常 微分方程 • 在初始时刻t0=0的解。 – 该方程中x(t)为标量变量,a为常数。 • 由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。 – 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有 式中,qk(k=1,2,.)为待定级数展开系数。 x(t) ax(t) x(t) q0 q1 t q2 t 2 qk t k
级数展开法（2/12）一将所设解代入该微分方程,可得qi +2q2t+3q3t? +..+ kqktk-1 +...=a(qo +qt+q2t? +...+qktk +..)一 如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使有相同幂次项的各项系数相等,即可求得9.=9qo21k0k!2令x(t)的解表达式中t=0,可确定o=x(0)一 因此，x(t)的解表达式可写为ax(O)=eax(O)x(t)=1+at+2!k!
级数展开法(2/12) – 将所设解代入该微分方程,可得 – 如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均 成立。 • 因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得 • 令x(t)的解表达式中t=0,可确定 q0=x(0) – 因此, x(t)的解表达式可写为 2 3 ( ) 2 0 1 2 2 1 q1 q2 t q3 t kqk t k a q q t q t qk t k 2 1 0 2 1 0 1 0 , , , 1! 2 2! ! k k k a a a a a q q q q q q q q k k . (0) e (0) ! . 2! ( ) 1 2 2 t x x k a t a x t at k at k
级数展开法（3/12），上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态方程的解一为此,设其解为t的向量幂级数,即x(t)=qo+qit+q2t2+...+qktk+...式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量- 将所设解代入该向量状态方程x'=Ax,可得q1+2q2t+3q3t2 +... +kqktk1+...=A(qo+qit+q2t2 +...+qktk+...)一如果所设解是方程的真实解,则对任意t，上式均成立.因此,使有相同幂次项的各项系数相等,即可求得44AJ92940210Lk-k!k2
级数展开法(3/12) • 上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广 至求解向量状态方程的解。 – 为此,设其解为t的向量幂级数,即 x(t)=q0+q1t+q2t2+.+qkt k+. 式中,qk(k=1,2,.)为待定级数展开系数向量。 – 将所设解代入该向量状态方程x’ =Ax,可得 q1+2q2t+3q3t2 +.+kqkt k- 1+.=A(q0+q1t+q2t2 +.+qkt k+.) – 如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均 成立.因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即 可求得 2 1 0 2 1 0 1 0 , , , 1! 2 2! ! k k k A A A A A k k q q q q q q q q