第5章 谓词逻辑的等值和推理演 算 谓词逻辑研究的对象是重要的逻辑规律，普遍 有效式是最重要的逻辑规律，而等值式、推理 式都是普遍有效的谓词公式，因此等值和推理 演算就成了谓词逻辑的基本内容，同命题逻辑 相比，由于量词谓词的引入，使谓词演算有着 广泛的应用.特别是计算机科学、人工智能等 领域，是把谓词逻辑当作表示知识、实现推理 的有力工具来看待的. 这章的讨论，主要是以语义的观点进行的非形 式的描述，而严格的形式化的讨论见第6章所 建立的公理系统
第5章 谓词逻辑的等值和推理演 算 n 谓词逻辑研究的对象是重要的逻辑规律，普遍 有效式是最重要的逻辑规律，而等值式、推理 式都是普遍有效的谓词公式，因此等值和推理 演算就成了谓词逻辑的基本内容，同命题逻辑 相比，由于量词谓词的引入，使谓词演算有着 广泛的应用．特别是计算机科学、人工智能等 领域，是把谓词逻辑当作表示知识、实现推理 的有力工具来看待的． n 这章的讨论，主要是以语义的观点进行的非形 式的描述，而严格的形式化的讨论见第6章所 建立的公理系统．
5.1否定型等值式 若给定了两个谓词公式A,B,说A和B是 等值的，如果在公式A,B的任一解释下， A和B都有相同的真值 等价的说法是A,B等值当且仅当A→B是 普遍有效的公式，A和B等值.就记作A=B 或A一B
5．1 否定型等值式 n 若给定了两个谓词公式A，B，说A和B是 等值的，如果在公式A，B的任一解释下， A和B都有相同的真值． n 等价的说法是A，B等值当且仅当A↔B是 普遍有效的公式,A和B等值．就记作A＝B 或AB
5.1.1 由命题公式移植来的等值式 若将命题公式的等值式，直接以谓词公式代入命题变项便可 得谓词等值式.由 -p=pP→q=pVq,(p∧q)Vr=(pVr)∧(qVr) 可得 一-P(X)=P(X) 一(X)P(X)=(X)P(X) P(x)-Q(x)=-P(x)VQ(x) (Vx)P(x)x)Q(x)=-(Vx)P(x)Vx)Q(x) (P(x)AQ(x))VR(x)=(P(x)VR(x))A(Q(x)VR(x)) ((Vx)P(x)AQ(y))V(z)R(z)=((Vx)P(x)V(z)R(z))A(Q(y)V (3z)R(Z)
5．1．1 由命题公式移植来的等值式 n 若将命题公式的等值式，直接以谓词公式代入命题变项便可 得谓词等值式．由 ﹁﹁p＝p,p→q=﹁p∨q, (p∧q)∨r=(p∨r)∧(q∨r) 可得 ﹁﹁P(x)＝P(x) ﹁﹁(x)P(x)＝(x)P(x) P(x)→Q(x)＝﹁P(x)∨Q(x) (x)P(x)→(x)Q(x)＝﹁ (x)P(x)∨(x)Q(x) (P(x)∧Q(x))∨R(x)=(P(x)∨R(x))∧(Q(x)∨R(x)) ((x)P(x)∧Q(y))∨(z)R(z)=((x)P(x)∨(z)R(z))∧(Q(y)∨ (z)R(z))
5.1.2否定型等值式 一(X)P(X)=(3x)P(X) 一(3x)P(X)=(x)一P(x) ■形式上看这对公式，是说否定词”一”可越过 量词深入到量词的辖域内，但要把所越过的量 词V转换为]，彐转换为V
5．1．2 否定型等值式 ﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) ﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) n 形式上看这对公式，是说否定词” ﹁ ”可越过 量词深入到量词的辖域内，但要把所越过的量 词转换为，转换为
(1)从语义上说明 一(x)P(X)语义上表示的是，并非所有的x都具有性质 P.这相当于，有一个不具有性质P,这正是 (臼x)一P(X)的含义.从而由语义分析知一(X)P(X) 与（妇x)一P(X)表示的是同一命题，自然有 一(X)P(X)=(3x)-P(X) (x)P(x)=一(3x)-P(X) 类似的有一(3x)P(X)=(x)一P(X) (3xX)P(X)=一(X)-P(X)
(1)从语义上说明 ﹁(x)P(x)语义上表示的是，并非所有的x都具有性质 P．这相当于，有一个x不具有性质P，这正是 (x)﹁P(x)的含义．从而由语义分析知﹁(x)P(x) 与(x)﹁P(x)表示的是同一命题，自然有 ﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) (x)P(x)=﹁ (x)﹁P(x) 类似的有﹁(x)P(x)=(x)﹁P(x) (x)P(x)=﹁(x)﹁P(x)