)它是闭模型结构： (间)它满足公理(QM6) ()它满足公理(QM7) (③)设M是模型范库.则下运等价 ()它是闭模型范畴： (间)它满足公理(M6): (面)它满足公理(M7): 证明注意到(3)是(2)的直接推论. ()模型结构中的公理(AM1)就是闭模型结构中的公理(C3):(Q2)就是(CM4. 模型结构中的公理(3)由引理2.4和引理2.5即得：(M4就是引理2.4(3)和(3)： (QM5)由(CM)和引理2.5即得.从而，闭模型结构是模型结构. (2)()→(：由命题2.3即得. (m)一(：先证(@：Cofb(M)nWeq(M)=l(Fib(M).事实上，模型结构中的提升性 就给出Cofib(M)nWeq(M)EI(Fib(M).反之，由定义知 i(Fib(M))I(Fib(M)n Weq(M)Cofib(M). 剩下只要证(Fb(M)SWeq(MW.设i(Fib(M》.将i:X一y写成i=dyi,显然 Idy∈r(Cofib(M).故由(:WeqM=r(Cofb(M)-lFi(M)即知ie Weq(M). 类似地可证(@.留作习题 ()一()：只要证明(C2,即三个态射类Cofib(M,Fib(M),Weq(M)均对缩回封 闭进一步，由引理2.6只要证弱等价对缩回封闭，而这由引理2.7即得
(i) ߥ4 .(; (ii) ߘv˙n (M6); (iii) ߘv˙n (M7). (3) M ¥ .âÆ. Ke„ d (i) ߥ4 .âÆ; (ii) ߘv˙n (M6); (iii) ߘv˙n (M7). y² 5ø (3) ¥ (2) ÜÌÿ. (1) .(•˙n (M1) “¥4 .(•˙n (CM3)¶(M2) “¥ (CM4). .(•˙n (M3) d⁄n 2.4 ⁄⁄n 2.5 =¶ (M4) “¥⁄n 2.4(3) ⁄ (3’)¶ (M5) d (CM1) ⁄⁄n 2.5 =. l , 4 .(¥ .(. (2) (i) =⇒ (ii): d·K2.3 =. (ii) =⇒ (iii): ky (d): Cofib(M) ∩ Weq(M) = l(Fib(M)). Ø¢˛, .(•J,5 “â— Cofib(M) ∩ Weq(M) ⊆ l(Fib(M)). áÉ, d½¬ l(Fib(M)) ⊆ l(Fib(M) ∩ Weq(M)) (a) = Cofib(M). êeêáy l(Fib(M)) ⊆ Weq(M). i ∈ l(Fib(M)). Ú i : X −→ Y § i = IdY i, w, IdY ∈ r(Cofib(M)). d (c): Weq(M) = r(Cofib(M)) · l(Fib(M)) = i ∈ Weq(M). aq/åy (e). 3äSK. (iii) =⇒ (i): êáy² (CM2), =náa Cofib(M), Fib(M), Weq(M) ˛È†£µ 4.?ò⁄, d⁄n 2.6 êáyf dȆ£µ4, ˘d⁄n 2.7=. 16
S3Abel范畴上相容的闭模型结构与Hovey三元组 Abe范畴上相容的闭模型结构己被M.Hovey(H)描述；A.Beligiannis和I.Reiten BR,Chapter VII可也得到类似的结果.本节我们要介绍关于Abel范畴上相容的闭模型结构 与Hoey三元组之间的一一对应. s3.1Abel范畴的余挠对 定义3.1(S)设A为Ab阳范畴.称A中的一对对象类(C,F)为余挠对，如果 C=F(={X∈A|Et'(X,月=)， F=c (=(YEAIExt'(C.Y)=0)) 定义3.2设A是Abel范畴，C是对象类，X∈A. (①)如果存在短正合列 0-→F-→C元X-→0 其中C∈C,F∈C山：，则称π是X的特殊右C-逼近. 它具有右C-逼近的性质：任意态射f:C”→X,其中C'∈C,均可通过r分解，即存在 g:C→C使得f=g.即，特殊右C逼近是满态射且核属于C山的右C通近 (1)如果存在短正合列 0-→X,C-→F-→0 其中C∈C,F∈上C,则称。是X的特殊左C-通近.它具有左C通近的性质：任意态射 f:X→C,其中C∈C',均可通过。分解，即存在9：C→C使得∫=go.即，特殊左C-逼 近是单态射且余核属于+C的左C通近. 定义3.3Abl范畴A的余挠对(C,F)称为完备的，如果任意对象X都有特殊右C逼近，也 都有特殊左下逼近，即存在短正合列 0-→F→C→X-→0,0→X-→F'→C-→0， 其中C,C∈C,FF∈F. 例3.4设R是环，P和分别是投射模和内射模的作成的类.则(P,RMo)和(R-Mod,) 均是R-Mod的完备余挠对. 命题3.51 on7.1.7 设(C,F)是Ab阳l范骑A的余挠对.设A有足够多投射 对豪且有足够多内射对象则余挠对的完各性定义中的两个条件是等价的。即，任意对象都有 特殊右C-逼近当且仪当任意对筹都有特殊左下-通近
§3 Abel âÆ˛ÉN4 .(Ü Hovey n| Abel âÆ˛ÉN4 .(Æ M. Hovey ([H2]) £„; A. Beligiannis ⁄ I. Reiten [BR, Chapter VIII] èaq(J. !·Çá0 'u Abel âÆ˛ÉN4 .( Ü Hovey n|ÉmòòÈA. §3.1 Abel âÆ{LÈ ½¬ 3.1 ([S]) A è Abel âÆ. ° A •òÈÈña (C, F) è{LÈ, XJ C = ⊥1F (= {X ∈ A | Ext1 (X, F) = 0}), F = C ⊥1 (= {Y ∈ A | Ext1 (C, Y ) = 0}). ½¬ 3.2 A ¥ Abel âÆ, C ¥Èña, X ∈ A. (1) XJ3·‹ 0 −→ F −→ C π−→ X −→ 0 Ÿ• C ∈ C, F ∈ C⊥1 , K° π ¥ X Aœm C-%C. ߉km C-%C5ü: ?ø f : C 0 → X, Ÿ• C 0 ∈ C, ˛åœL π ©), =3 g : C 0 → C ¶ f = πg. =ßAœm C-%C¥˜Öÿ·u C ⊥1 m C-%C. (1’) XJ3·‹ 0 −→ X σ−→ C −→ F −→ 0 Ÿ• C ∈ C, F ∈ ⊥1 C, K° σ ¥ X AœÜ C-%C. ߉kÜ C-%C5ü: ?ø f : X → C 0 , Ÿ• C ∈ C0 , ˛åœL σ ©), =3 g : C 0 → C ¶ f = gσ. =ßAœÜ C-% C¥¸Ö{ÿ·u ⊥1 C Ü C-%C. ½¬ 3.3 Abel âÆ A {LÈ (C, F) °è, XJ?øÈñ X —kAœm C-%C, è —kAœÜ F-%C, = 3·‹ 0 −→ F −→ C −→ X −→ 0, 0 −→ X −→ F 0 −→ C 0 −→ 0, Ÿ• C, C0 ∈ C, F, F0 ∈ F. ~ 3.4 R ¥Ç, P ⁄ I ©O¥› ⁄S ä§a. K (P, R-Mod) ⁄ (R-Mod, I) ˛¥ R-Mod {LÈ. ·K 3.5 ([EJ, Proposition 7.1.7]) (C, F) ¥ Abel âÆ A {LÈ. A kv ı› ÈñÖkv ıSÈñ. K{LÈ5½¬•¸á^ᥠd. =, ?øÈñ—k Aœm C-%CÖ=?øÈñ—kAœÜ F-%C. 17
证明假设余挠对的完备性定义中的第一个条件满足.要证第二个条件也满足。对任意对象 X∈A,因为A有足够多内射对象，故有正合列0-→X-→I-→L-→0，其中I是内射对 象，特别地，I∈万.由题设有正合列0-一→F-→C-→L-→0，其中C∈C,F∈F.考虑拉 回 则F'∈下.于是第二行就给出所需的正合列 53.2相容的闭模型结构 定义3.6(H2)Abel范畴上的一个闭模型结构(Cofb(4),Fib(4),IWeq(A)称为和容的 (compatible),如果它具有如下性质： (1)每个余纤维都是单态射：每个纤维都是满态射： (2)Fib(A)-{满态射∫1Kr∫是纤维对象}： (3)Fib(A)nWeq(A)={满态射f|Kerf是平凡纤维对象} 注记3.7()相容的闭模型结构在文献中常称为阿贝尔模型结构(abelian model structure). (2)下述引理3.8表明相容的闭模型结构是自对偶的：即，Abl范畴A上的闭模型结 构(Cofib(A).Fib(4),Weq(A)是相容的当且仅当它具有如下性质： ()每个余纤维都是单态射：每个纤维都是满态射： (②)Cofib(A)={单态射f|Cokerf是余纤维对象}： (3)Cofib(A)nWeq(A)={单态射f1 Cokerf是平凡余纤维对象
y² b{LÈ5½¬•1òá^á˜v. áy1á^áè˜v. È?øÈñ X ∈ A, œè A kv ıSÈñ, k‹ 0 −→ X −→ I −→ L −→ 0, Ÿ• I ¥SÈ ñ, AO/, I ∈ F. dKk‹ 0 −→ F −→ C −→ L −→ 0, Ÿ• C ∈ C, F ∈ F. ƒ. £ 0 0 F F 0 /X /F 0 / C / 0 0 /X /I /L / 0 0 0 K F 0 ∈ F. u¥11“â—§I‹. §3.2 ÉN4 .( ½¬ 3.6 ( [H2]) Abel âÆ˛òá4 .( (Cofib(A), Fib(A),Weq(A)) °è ÉN (compatible), XJ߉kXe5üµ (1) zá{në—¥¸; zánë—¥˜; (2) Fib(A) = {˜ f | Ker f ¥nëÈñ}¶ (3) Fib(A) ∩ Weq(A) = {˜ f | Ker f ¥²ÖnëÈñ}. 5P 3.7 (1) ÉN4 .(3©z•~°èC .( (abelian model structure). (2) e„⁄n 3.8 L²ÉN4 .(¥gÈÛ: =ß Abel âÆ A ˛4 .( (Cofib(A), Fib(A),Weq(A)) ¥ÉNÖ=߉kXe5üµ (1) zá{në—¥¸; zánë—¥˜; (2’) Cofib(A) = {¸ f | Coker f ¥{nëÈñ}¶ (3’) Cofib(A) ∩ Weq(A) = {¸ f | Coker f ¥²Ö{nëÈñ}. 18
设(Coib(A),Fib(A),Weq(A)是Abe范畴A上的相容的闭模型结构.令 C={余纤维对象}={X∈A0-→X是余纤维) F=纤维对象}={X∈A|X-→0是纤维) W={平凡对象}={X∈A10-→X是弱等价)={X∈A1X-→0是弱等价) 写引理3.8设(Cob(4),Fib(A).Weq(4)是Ab阳l范畴A上的闭模型结构，共中每个余纤维 都是单态射，年个纤维都是满态射.则 (I)Fib(A)={满态射f|Kerf是纤维对象}当且仅当Cofib(A)nWeq(A)={单态射fI Cokerf是平凡余纤维对象. (I)Fib(A)neq(A)={满态射f丨Krf是平凡纤维对象}当且仅当Cofib(A)= {单态射f Cokerf是余纤维对象. 证明我们仅证()的“仅当”部分：类似地可证(1)的“仅当”部分.剩下的()和(的 “当”部分，利用对偶性即得. 设Fib(A)={(满态射fㄧKerf-一0是纤维.我们要证Coib(A)nWeg()= {单态射fI0-→Cokerf是平凡余纤维).设f是平凡余纤维.由题设知f是单态射. 设0-→A二B Cokerf-→0是相应的正合列.则 是推出方块.因f是平凡余纤维，故0-→Cokerf也是平凡余纤维 反之，设f是单态射且0-号C。krf是平凡余纤难.要证f是平凡余纤维.因为闭模型结 构的平凡余纤维恰是对任意纤维均有左提升性质的态射，故只要证明：对任意纤维:X一一Y 和任意交换图 A 均存在s:B-一X使得上下两个三角均交换即可. 设0-→K→X巴Y-→0和0-→AB三C=Cokerf-→0是正合列.得到 9
(Cofib(A), Fib(A),Weq(A)) ¥ Abel âÆA ˛ÉN4 .(. -: C = {{nëÈñ} = {X ∈ A | 0 −→ X ¥{në} F = {nëÈñ} = {X ∈ A | X −→ 0 ¥në} W = {²ÖÈñ} = {X ∈ A | 0 −→ X ¥f d} = {X ∈ A | X −→ 0 ¥f d}. ⁄n 3.8 (Cofib(A), Fib(A),Weq(A)) ¥ Abel âÆ A ˛4 .(ߟ•zá{në —¥¸ß zánë—¥˜. K (1) Fib(A) = {˜ f | Ker f ¥nëÈñ} Ö= Cofib(A)∩Weq(A) = {¸ f | Coker f ¥²Ö{nëÈñ}. (10 ) Fib(A) ∩ Weq(A) = {˜ f | Ker f ¥²ÖnëÈñ} Ö= Cofib(A) = {¸ f | Coker f ¥{nëÈñ}. y² ·Ç=y (1) “=” ‹©; aq/åy (10 ) “ =” ‹©. êe (1) ⁄ (10 ) “” ‹©, |^ÈÛ5=. Fib(A) = {˜ f | Ker f −→ 0 ¥në}. ·Çáy Cofib(A) ∩ Weq(A) = {¸ f | 0 −→ Coker f ¥²Ö{në}. f ¥²Ö{në. dK f ¥¸. 0 −→ A f −→ B g −→ Coker f −→ 0 ¥ÉA‹. K A / f 0 B g /Coker f ¥Ì—ê¨. œ f ¥²Ö{në, 0 −→ Coker f 襲Ö{në. áÉ, f ¥¸Ö 0 −→ Coker f ¥²Ö{në. áy f ¥²Ö{në. œè4 .( ²Ö{nëT¥È?ønë˛kÜJ,5ü, êáy²µÈ?ønë p : X −→ Y ⁄?øÜ„ A a / f X p B b / s > Y ˛3 s : B −→ X ¶˛e¸án˛Ü=å. 0 −→ K −→ X p −→ Y −→ 0 ⁄ 0 −→ A f −→ B π−→ C = Coker f −→ 0 ¥‹. 19
如下正合列交换图 Hom(B,K)→Hom(B,X)→Hom(B,Y) Hom (A,K)- -Hom(A,X). Hom(A.Y) Hom(C,X)→Hom(C,Y)→Ext'(C,K)→Ext'(C,X)→Ext'(C,Y) 我们言Ex(C,K)=0.事实上，设有短正合列 0-→KL9C-→0. 0 和提升性可知存在t使得t=Ic,故上述短正合列可裂.这就证明了断言. 注意到a∈Hom(A,X),经p.变为pm=bj∈Hom(A,Y),进而变成Ext(C,Y)中的0. 但Ext'(C,)=0,故a变成Et(C,X)中的0.从而存在：B-→X使得sf-a.因 (p-)f=m-b时=0，故n-b通过T分解，即存在h:C-→y使得ns-b=h.因为 m(C.x) om(C,Y)是满射，故存在H:C-→X使得h=.令 hm:B 「X.则s时=-N对==a,s=g-hN)=m+)-Mm=m+b-i=点即上 下两个三角交换.这就完成了证明： 引理3.9设(Coib(4),Fib(A),Weq(4)是Abel范畴A上的一个相容的闭模型结构.则 (C,FnW)和(CnW,均是完备的余挠对. 证明只证(CnW,F)是完备的余挠对.类似可证(C,FnW)是完备的余挠对. 首先证明Ext'(C,K)=0,YC∈Cnw,KeF.设有短正合列 0-→KX巴C-→0 因为K是纤维对象，由定义3.6中第2条知p是纤维.因为C是平凡余纤维对象，放0-→C 是平凡余纤维，由交换图
Xe‹Ü„ Hom(B, K) / Hom(B, X) / f ∗ Hom(B, Y ) f ∗ Hom(A, K) / Hom(A, X) p∗ / Hom(A, Y ) Hom(C, X) /Hom(C, Y ) /Ext1 (C, K) /Ext1 (C, X) /Ext1 (C, Y ) ·Ç‰Û Ext1 (C, K) = 0. Ø¢˛, k·‹ 0 −→ K i −→ L q −→ C −→ 0. œè p ¥nëßdb K ¥nëÈñ, = K −→ 0 ¥në.l , db q ¥në. q db 0 −→ C ¥²Ö{në. œd, dÜ„ 0 / L q C t ? C ⁄J,5å3 t ¶ qt = IdC . ˛„·‹å. ˘“y² ‰Û. 5ø a ∈ Hom(A, X), ² p∗ Cè pa = bf ∈ Hom(A, Y ), ? C§ Ext1 (C, Y ) • 0. Ext1 (C, K) = 0, a C§ Ext1 (C, X) • 0. l 3 s 0 : B −→ X ¶ s 0f = a. œ (ps0 − b)f = pa − bf = 0, ps0 − b œL π ©), =3 h : C −→ Y ¶ ps0 − b = hπ. œè Hom(C, X) −→ Hom(C, Y ) ¥˜, 3 h 0 : C −→ X ¶ h = ph0 . - s = s 0 − h 0π : B −→ X. K sf = s 0f − h 0πf = s 0f = a, ps = p(s 0 − h 0π) = (hπ + b) − ph0π = hπ + b − hπ = b. =˛ e¸ánÜ. ˘“§ y². ⁄n 3.9 (Cofib(A), Fib(A),Weq(A)) ¥ Abel âÆ A ˛òáÉN4 .(. K (C, F ∩ W) ⁄ (C ∩ W, F) ˛¥{LÈ. y² êy (C ∩ W, F) ¥{LÈ. aqåy (C, F ∩ W) ¥{LÈ. ƒky² Ext1 (C, K) = 0, ∀ C ∈ C ∩ W, K ∈ F. k·‹ 0 −→ K i −→ X p −→ C −→ 0. œè K ¥nëÈñ, d½¬3.6•12^ p ¥në. œè C ¥²Ö{nëÈñ, 0 −→ C ¥²Ö{në. dÜ„ 0 /X p C π > C 20