复旦大学：《高等数学》课程练习题（线性代数）_答案与提示

答案与提示 矩阵与行列式练习题 §1向量与矩阵 (1)4B=211,B4=(12不成立 22 (2)(AB)=110,AB7= 不成立 (012 2.-3 3. dau d2 a nal 141 d d 1a1 d d 2a d d d 5.(1)AD 2a a2a da DA da, d2a da d, anI dn da (2)提示:利用(1)的结论,并比较AD和DA的各元素 6.提示:(1),(2,(3),(4)按定义直接验证:(5)A=(4+4)+(4-4)。 a= 8.提示:直接验证 3m-13-13n-1 3n-313 I,n为数 2nA,n为奇数 000 11.000 12.0ab,a,b,c为任意常数。 00 13.提示:直接验证。 14.提示:(1)利用矩阵乘法的定义计算t(AB)和tr(B1);(2)利用(1)的结

1 答案与提示 矩阵与行列式练习题 §1 向量与矩阵 1．（1）            2 0 2 2 1 1 1 1 0 AB ，          1 2 2 1 BA 。不成立； （2）            0 1 2 1 1 0 1 2 2 ( ) T AB ，          1 2 2 1 T T A B 。不成立。 2． 3。 3． x  1。 4．         0 0 0 0 。 5．（1）                n n n n n n n n n d a d a d a d a d a d a d a d a d a       1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 AD ，                n n n n n n n n n d a d a d a d a d a d a d a d a d a       1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 DA ； （2）提示：利用（1）的结论，并比较 AD 和 DA 的各元素。 6．提示：（1），（2），（3），（4）按定义直接验证；（5） ( ) 2 1 ( ) 2 1 T T A  A A  A A 。 7．a  0。 8．提示：直接验证。 9．                    1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 n n n n n n n n n 。 10．       2 , . 2 , , 1 为奇数 为偶数 n n n n n A I A 11．           0 0 0 0 0 0 0 0 0 。 12．           a a b a b c 0 0 0 ，a ，b ，c 为任意常数。 13．提示：直接验证。 14．提示：（1）利用矩阵乘法的定义计算 tr(AB) 和 tr(BA) ；（2）利用（1）的结

论 15.提示:利用乘法分配律直接验证 16.提示:参见例1.1.15 §2行列式 1.(1)-7:(2)-3(x2-1x2-4);(3)b2(b2-4a2);(4)(1-a+a2)1-a3)。 2.3 sina cosa 0Y cos a cos B cosy 3.提示:原行列式可表为 sin B cos B0 sina sin B siny sy0人0 0 0 4.1 5.0 6.a2(a-2")。 1 8.±1。 9.提示:将一些列的适当倍数加到后面的列 n(n-1) 0.(1)a-a"2;(2)(-1)2"n-;(3)1+∑a (4)n+1;(5)(-2 er(fT (6)x(x2-a12)(x3-a23)…(xn-an1n);(7)(a2-b2)”。 12.有n-1个根:x1=0,x2=1,…,xn1=n-2 13.提示:将各列加到第一列,再将第一行的(-1)倍数加到下面各行 14.提示:将第一行的适当倍数加到下面各行 15.提示:用数学归纳法。 16.提示:对下式取行列式 A A A 0 17.提示:从第i行提取公因子a"(i=1,2,…,n+1),再利用 Vandermonde行列 式的结论。 2

2 论。 15．提示：利用乘法分配律直接验证。 16．提示：参见例 1.1.15。 §2 行列式 1．（1） 7 ；（2） 3( 1)( 4) 2 2  x  x  ；（3） ( 4 ) 2 2 2 b b  a ；（4） (1 )(1 ) 2 3  a  a  a 。 2．3。 3．提示：原行列式可表为                     0 0 0 sin sin sin cos cos cos sin cos 0 sin cos 0 sin cos 0             。 4．1。 5．0。 6． ( 2 ) 2 n a a  。 7． 2 1 。 8．1。 9．提示：将一些列的适当倍数加到后面的列。 10．（1） 2  n n a a ；（2） 2 1 ( 1) 2 1 ( 1)     n n n n n ；（3）   n i ai 1 1 ； （4） n 1 ；（5）                                              n i i n i i n i i n a a n a 1 1 2 1 1 4 1 2 （ 2） 1 ； （6） ( )( ) ( ) 1 2 12 3 23 n an 1, n x x a x a x      ；（7） n (a b ) 2 2  。 11．1， 1，2， 2。 12．有 n 1 个根： x1  0 ， x2 1，…， xn1  n  2。 13．提示：将各列加到第一列，再将第一行的（1 ）倍数加到下面各行。 14．提示：将第一行的适当倍数加到下面各行。 15．提示：用数学归纳法。 16．提示：对下式取行列式：                                                 n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a A A A A A A A A A                  1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1,1 1,2 1, 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 | | | | 0 0 1 A A 。 17．提示：从第 i 行提取公因子 n i a （ i 1, 2,  , n 1 ），再利用 Vandermonde 行列 式的结论

18.提示:从最后一行开始依次减去前面一行,并利用C-C=C1。之后按 第一列展开,再重复前面的步骤。 19.-5 §3逆阵 200 12-3 500 1.(1)|-11-1;(2) (3) 0-23 0-1 2.A A|中所有元素的代数余子式之和为 3. 1 1 2 4 -104 5.A1=2(4+n),(4+n-1 A,(A+4D)=(3n-A) 6 201 030 0 101 1000 8 100 210 9.提示:利用(A4-)=I 10.提示:利用矩阵运算规则直接验证 11.提示:利用A=A|A-

3 18．提示：从最后一行开始依次减去前面一行，并利用 k n k n k Cn C C 1 1 1      。之后按 第一列展开，再重复前面的步骤。 19． 5。 20．n!。 §3 逆 阵 1.（1）               0 2 3 1 1 1 1 2 3 ；（2）                     1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 ；（3）                  3 1 3 1 3 2 3 1 0 0 0 0 2 5 0 0 1 2 0 0 。 2．                      1 1 1 1 1 1 1 A 1   ，| A| 中所有元素的代数余子式之和为 1。 3．           3 3 3 2 1 1 1 1 4 3 1 。 4．              10 4 10 4 2 1 。 5． ( ) 6 1 1 n A  A I  ， A I A 6 1 ( ) 1    ， (3 ) 6 1 ( 4 ) 1 A I  I  A  n 。 6．           1 0 2 0 3 0 2 0 1 。 7．           1 0 1 0 1 1 1 1 0 4 1 。 8．                  0 1 2 1 1 2 1 0 2 1 0 0 1 0 0 0 。 9．提示：利用 AA  I  T ( ) 1 。 10．提示：利用矩阵运算规则直接验证。 11．提示：利用 * 1 | |  A  A A

2 12 0600 030-1 14.-1 15.提示:(1)A2=Dn-(2-aaa;(2)用反证法及(1)的结论 16.C4 17.提示:题目的假设就是 18.(1)提示:利用例1.3.15(2)的方法 (2)|A=(-1)"n(1-n) )(ya-n-∑a-{∑a 19 2 0 0 a+ 21.提示:方程组的系数行列式为(a2-b2)”,其解为x=a+b=1,2,…,2n)。 线性方程组练习题 §1向量的线性关系 1.(1)线性无关;(2)线性相关。 2.当a=5且b=12时线性相关,其他情形线性无关 3.(1)当t=5时,线性相关;(2)1≠5时,线性无关;(3)能。a3=-a1+2a2 4.(1)当t=0或t=-10,线性相关;(2)当t≠0且t≠-10时,线性无关 5.lm≠1 6.当m为偶数时,线性相关;当m为奇数时,线性无关。 7.能 8.(1)能;(2)不能 9.k≠0且k≠-3。 10.提示:略 11.提示:利用线性相关定义的线性表达式,再左乘A 12.提示:按定义推知 13.提示:必要性由定义和 Cramer法则导出。充分性通过e1,e2,…en可以被

4 12． 3 2 2 1  n 。 13．               0 3 0 1 6 0 6 0 0 6 0 0 6 0 0 0 。 14．1。 15．提示：（1） T T A I n (2 α α)αα 2    ；（2）用反证法及（1）的结论。 16． T CA 。 17．提示：题目的假设就是                              a a a   1 1 1 A 。 18．（1）提示：利用例 1.3.15（2）的方法； （2） | | ( 1) n!(1 n) n A    ； （3）                            2 1 1 2 ( 1) (1 ) 1 n i i n i i n n a a 。 19． x1  0 ， x2  2， x3  0， x4  0。 20． 4 ( 1) 2   a b 。 21．提示：方程组的系数行列式为 n (a b ) 2 2  ，其解为 a b xi   1 （ i 1, 2,  , 2n ）。 线性方程组练习题 §1 向量的线性关系 1．（1）线性无关；（2）线性相关。 2．当 a  5 且 b 12 时线性相关，其他情形线性无关。 3．（1）当 t  5 时，线性相关；（2） t  5 时，线性无关；（3）能。 a3  a1  2a2。 4．（1）当 t  0 或 t  10 ，线性相关；（2）当 t  0 且 t  10 时，线性无关。 5．lm  1。 6．当 m 为偶数时，线性相关；当 m 为奇数时，线性无关。 7．能。 8．（1）能；（2）不能。 9．k  0 且 k  3。 10．提示：略。 11．提示：利用线性相关定义的线性表达式，再左乘 A 。 12．提示：按定义推知。 13．提示：必要性由定义和 Cramer 法则导出。充分性通过 n e , e , , e 1 2  可以被

a1,a2,…,an线性表示推出。 14.提示:对等式中的系数是否有为零进行讨论。 15.提示:充分性由 Cramer法则导出;必要性利用第13题的结论。 16.提示:记A的行向量为a1,a2,…,an,C的行向量为c1,c2,…,Cn,则由 AB=C得Ba1=c1(i=12,…,m)。若λ1a1+2a2+…+nan=0,则可得 λBa1+Ba2+…+λnBan=0,即λ1c1+A2c2+…+1nCn=0 由此得A1=2= 17.提示:用数学归纳法 18.提示:按定义写出线性组合为0的表达式,再左乘A,证明每个系数为0。 a1a 12 19.提示:记A=(a,a2,…,a),则4=/a3aan2…aan a'a a'a §2秩 1.(1)3;(2)2;(3)an≠0时,秩为n;a,=0时,秩为n-1。 2.3 3.(1)线性相关;(2)线性无关。 4.秩为4;a1,a2,a4,a3是一个极大无关组 5.当a=0或a=-10时,a1,a2,a3,a4线性相关 当a=0时,a1是一个极大无关组,此时a2=2a1,a3=3a1,a4=4a1 当a=-10时,a2,a3,a是一个极大无关组,此时a1=-a2-a3-a4 6.提示:考虑极大无关组 7.不等价。 9 b≠ 10.提示:由(a1,a2,…,an)=(,b2…,bn)D可得 m=rank(a1a2,…,an)≤rank(,b2…,bn)。 11.提示:n=mank(1-A-B)≤rank(-A)+rank(B),以及从A2=A得 rank(I-A)+rank(A)≤n 12.提示:利用定理2.2.5的(6)。 13.提示:由ABA=B-可推知(I-AB)I+AB)=O。 14.提示:利用定理2.2.5的(4)和(6)。 16.提示:(1)充分性易知。必要性:设rank(A)=n。通过行初等变换,即存 在可逆矩阵P,使得PA=\B其中B1为n阶可逆矩阵。此时

5 a a an , , , 1 2  线性表示推出。 14．提示：对等式中的系数是否有为零进行讨论。 15．提示：充分性由 Cramer 法则导出；必要性利用第 13 题的结论。 16．提示：记 A 的行向量为 a a am , , , 1 2  ，C 的行向量为 m c , c , , c 1 2  ，则由 AB  C 得 T i T i T B a  c （ i 1,2,  ,m ）。若 1a1  2 a2   m am  0 ，则可得 B a  B a   B a  0 T m T m T T T T 1 1 2 2   ，即 c  c   c  0 T m m T T 1 1 2 2   。 由此得 1  2   m  0。 17．提示：用数学归纳法。 18．提示：按定义写出线性组合为 0 的表达式，再左乘 A ，证明每个系数为 0。 19．提示：记 ( , , , ) A  a1 a2  an ，则                n T n T n T n n T T T n T T T T a a a a a a a a a a a a a a a a a a A A        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 。 §2 秩 1．（1）3；（2）2；（3） an  0 时，秩为 n ； an  0 时，秩为 n 1。 2．3。 3．（1）线性相关；（2）线性无关。 4．秩为 4； 1 a ， 2 a ， 4 a ， 5 a 是一个极大无关组。 5．当 a  0 或 a  10 时， 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 线性相关。 当 a  0 时， 1 a 是一个极大无关组，此时 a2  2a1，a3  3a1，a4  4a1。 当 a  10 时， 2 a ， 3 a ， 4 a 是一个极大无关组，此时 a1  a2  a3  a4 。 6．提示：考虑极大无关组。 7．不等价。 8．a 1。 9． 2 1 a  b  。 10．提示：由   a a am , , , 1 2    b b bm , , ,  1 2  D 可得 m  rank a1 , a2 ,  , am   rank   b b bm , , , 1 2  。 11．提示： n  rank( I  A B )  rank (I  A)  rank( B )，以及从 A  A 2 得 rank (I  A)  rank( A )  n。 12．提示：利用定理 2.2.5 的（6）。 13．提示：由 1 ABA  B 可推知 (I  AB)(I  AB)  O。 14．提示：利用定理 2.2.5 的（4）和（6）。 15. 1。 16．提示：（1）充分性易知。必要性：设 rank( A )  n 。通过行初等变换，即存 在可逆矩阵 P1 ，使得          2 1 1 B B P A ，其中 B1 为 n 阶可逆矩阵。此时