B PA B、I (2)的证明类似 17.提示:由定理2.2.6,存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得 A= (L,O) 00 §3线性方程组 (1)c(,-2,1,0.,0)3+c2(1-2,0,1,0)3+c3(5,-6,0,0,1),c1,c2,c3是任 意常数 (2)(L2,-1,-2.0)2+c1(0,-20,14,-26,1)y,c1是任意常数 (3)无解。 2.当a=1或b=1时有非零解 (1)当a=1时,通解为:b=1时,x=c1+c0:b≠1时,x=c1 0 0 其中c1,c2为任意常数 (2)当b=1时,通解为:a=1时,x=c1+c20:a≠1时,x=cl0 其中c1,c2为任意常数 4.通解:x=(2,10,0)+c(13,1,0)+c(20.0.-1y;满足x2=x2的解 x=(10.,1)+c1(3,1-2)或x=(-1,10,3)+c2(-3,3,1,4)(c1,c2为任意 常数 5.当k≠9时,通解为x=c2+c26(c,c2为任意常数)。 k 当k=9时,若rank(4)=2,则通解为x=c2(c1为任意常数);若rank(4)=1,则 通解为x=c1|+c0(c1,c2为任意常数) 0 6.(1)a=0或a=2 (2)a=0时通解为c(-2,10)(c为任意常数);a=2时通解为c(-1,1)(c 为任意常数)。 6
6 O I P A I B B I I n m n m n n 1 1 1 2 。 （2）的证明类似。 17．提示：由定理 2.2.6，存在 m 阶可逆矩阵 P 和 n 阶可逆矩阵 Q ，使得 A I OQ O I Q P O O I O P , r r r 。 §3 线性方程组 1．（1） T c (1, 2,1, 0, 0) 1 T c (1, 2, 0,1, 0) 2 T c (5, 6, 0, 0, 1) 3 ， 1 c ， 2 c ， 3 c 是任 意常数。 （2） T (1, 2, 1, 2, 0) T c (0, 20,14, 26,11) 1 ， 1 c 是任意常数。 （3）无解。 2．当 a 1 或 b 1 时有非零解。 （1）当 a 1 时，通解为： b 1 时， 1 0 1 0 1 1 1 2 x c c ； b 1 时， 0 1 1 1 x c ， 其中 1 c ， 2 c 为任意常数。 （2）当 b 1 时，通解为： a 1 时， 1 0 1 0 1 1 1 2 x c c ； a 1 时， 1 0 1 1 x c ， 其中 1 c ， 2 c 为任意常数。 3．a 2。 4．通解： T T T x 2,1, 0, 0 c1 1, 3,1, 0 c2 1, 0, 0, 1 ；满足 2 2 2 1 x x 的解： T T x 1,1, 0,1 c1 3, 3,1, 2 或 T T x 1,1, 0, 3 c2 3, 3,1, 4 （ 1 c ， 2 c 为任意 常数）。 5．当 k 9 时，通解为 k c c 6 3 3 2 1 1 2 x （ 1 c ， 2 c 为任意常数）。 当 k 9 时，若 rank (A) 2 ，则通解为 3 2 1 1 x c （ 1 c 为任意常数）；若 rank (A) 1 ，则 通解为 1 0 0 1 1 2 a c a b x c c （ 1 c ， 2 c 为任意常数）。 6．（1） a 0 或 a 2 ； （2） a 0 时通解为 T c 2, 1, 0 （ c 为任意常数）； a 2 时通解为 T c 1, 1, 1 （ c 为任意常数）
7.(1)当λ≠-2且λ≠1时,方程组有唯一解。 (2)当=-2时,方程组无解。 (3)当λ=1时,方程组有无穷多解。通解为 x=(-2,0.0)+c1(-1,1,0)y+c(-1,0,n)y,c1,c2为任意常数。 8.(1)当a≠1时(b可为任意常数),方程组有唯一解 b-a+2 a-2b-3 x4=0。 (2)当a=1,b=-1时,方程组有无穷多解。通解为 x=(-110,0y+c(02-2,1,0)y+c2(02-2,0,1),c1,c2为任意常数 (3)当a=1,b≠-1时,方程组无解。 9.x=(00-y+c(121)y(c1为任意常数 10.(1)略 (2)A=2,H=-3;通解:x=(2,-3,0,0)+c1(-2,1,1,0)y+c2(4,-5,0,1)(c1 c2为任意常数) 11.(1)当a≠0时有唯一解x=(x1,x2,…,x),且x1 n+1)a (2)当a=0时有无穷多解,通解为x=(0,1…,0)2+c(1,0,…,0)(c是任意常 数) 12.(1)b≠2时,b不能由a1,a2,a3线性表示; (2)b=2时,b能由a1,a2,a3线性表示。此时,当a≠1时,b=-m1+2a1; 当a=1时,b=-(2c+1)a1+(c+2)a2+ca2(c为任意常数) 13.(1)当a≠1时(B可为任意常数),b能由a1,a2,a3,a4唯一线性表示 (2)当a=1,B≠-1时,b不能由a1,a2,a3,a4线性表示; (3)当a=1,B=-1时,b能由a1,a2,a3,a4线性表示,但表达式不唯 其一般表示为b=(-1+c1+c2a1+(1-2c1-2c2ka2+ca3+c2a4(c1,c2为任意常 数) 14.(1)(I)的基础解系(0,0,1,0),(-1,1,0,1)2;(Ⅱ)的基础解系(0,1,1,0)2, (-1,-1,0,1)y (2)c(-1,1,2,1)(c为任意常数)。 15.(1)a=1或a=2 (2)当a=1时,公共解为c(-1,0,1)(c为任意常数);当a=2时,公共解为 0,1,-1) 16.(1)x=c1(5,-3,1,0)y+c2(-3,2,0,1)(c1,c2为任意常数) (2)α=-1时有非零公共解。全部公共解为x=c1a1+c2a2(c1,c2为任意常数)。 17.(1)x=(-2,-4,-5,0)+c1(1,12,1)(c1为任意常数) (2)m=2,n=4,t=6 18.(1)提示:利用 Vandermonde行列式的结论 (2)通解:x=(0.,k2,0)+c1(-k2,0,1)(c1为任意常数)。 7
7 7．（1）当 2 且 1 时，方程组有唯一解。 （2）当 2 时，方程组无解。 （3）当 1 时，方程组有无穷多解。通解为 T T T x 2, 0, 0 c1 1,1, 0 c2 1, 0,1 ， 1 c ， 2 c 为任意常数。 8．（1）当 a 1 时（ b 可为任意常数），方程组有唯一解 1 2 1 a b a x ， 1 2 3 2 a a b x ， 1 1 3 a b x ， x4 0。 （2）当 a 1，b 1 时，方程组有无穷多解。通解为 T T T x 1,1, 0, 0 c1 1, 2,1, 0 c2 1, 2, 0,1 ， 1 c ， 2 c 为任意常数。 （3）当 a 1，b 1 时，方程组无解。 9． T T 0, 0, c (1, 2, 1) 2 1 1 x （ 1 c 为任意常数）。 10．（1）略； （2） 2， 3 ；通解： T T T (2, 3, 0, 0) c ( 2,1,1, 0) c (4, 5, 0,1) x 1 2 （ 1 c ， 2 c 为任意常数）。 11．（1）当 a 0 时有唯一解 T n (x , x , , x ) x 1 2 ，且 n a n x ( 1) 1 ； （2）当 a 0 时有无穷多解，通解为 T T x (0,1, , 0) c(1, 0, , 0) （ c 是任意常 数）。 12．（1） b 2 时， b 不能由 1 a ， 2 a ， 3 a 线性表示； （2） b 2 时， b 能由 1 a ， 2 a ， 3 a 线性表示。此时，当 a 1 时，b a1 2a2 ； 当 a 1 时， 1 2 3 b (2c 1)a (c 2)a ca （ c 为任意常数）。 13．（1）当 1 时（ 可为任意常数）， b 能由 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 唯一线性表示； （2）当 1， 1 时， b 不能由 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 线性表示； （3）当 1， 1 时， b 能由 1 a ， 2 a ， 3 a ， 4 a 线性表示，但表达式不唯一。 其一般表示为 b 1 c1 c2 a1 1 2 1 2 2 a2 c c 1a3 c 2a4 c （ 1 c ， 2 c 为任意常 数）。 14．（1）（I）的基础解系 T (0, 0, 1, 0) ， T (1,1, 0,1) ；（II）的基础解系 T (0,1,1, 0) ， T (1, 1, 0,1) ； （2） T c(1,1, 2, 1) （ c 为任意常数）。 15.（1） a 1 或 a 2 ； （2）当 a 1 时，公共解为 T c(1, 0, 1) （ c 为任意常数）；当 a 2 时，公共解为 T (0,1, 1) 。 16．（1） T T c (5, 3,1, 0) c ( 3, 2, 0,1) x 1 2 （ 1 c ， 2 c 为任意常数）； （2） 1 时有非零公共解。全部公共解为 x 1α1 2α2 c c （ 1 c ， 2 c 为任意常数）。 17．（1） T T ( 2, 4, 5, 0) c (1,1, 2,1) x 1 （ 1 c 为任意常数）； （2） m 2，n 4，t 6。 18．（1）提示：利用 Vandermonde 行列式的结论。 （2）通解： T T (0, k , 0) c ( k , 0,1) 2 1 2 x （ 1 c 为任意常数）