答案与提示 极限与连续练习题 §1函数 1.(1)(-∞,+∞);(2) (4)|-2, 621-1.23/:(3)(-a-U(,2) 2 2.略。 3.(1)偶函数:(2)奇函数;(3)奇函数;(4)偶函数。 5.提示:f(x+c+c)=-f(x+c) 6.(1)不是;(2);(3)不是:(4)z。 7.(1)有界;(2)有界;(3)无界;(4)无界。 0.x≤0. 0.X≤0 8.f°g(x)= x>0, gof(x) 0, fof(x) 0, g8=+ ≤0, x>0 9.(1)f= g choi,其中g(n)=Va,h(v)=1+e",(x)=2x (2)∫=g°hoi,其中g(u)=hu,h(v)=1+y2,i(x)= arctan x; (3)∫= go hoioj,其中g(n)=n3,h(y)=cosy,m(y)=1+w,f(x)=√x。 10.(1)(x)=2x+2acmx:(2)f(x)=kg21=x (3)f-(x)= ,x∈(0,1:(4)f-(x)= 丌- arcsin d,x∈[-1,0] ∈(0,x2] 11.提示:用数学归纳法 §2数列的极限 1.略
1 答案与提示 极限与连续练习题 §1 函 数 1．（1） (, ) ；（2） k 2 , 2 3 3 π π kπ kπ ；（3） (, 1) (1, 2) （4） , 2 2 2 , 2 2 2, π π π π 。 2．略。 3．（1）偶函数；（2）奇函数；（3）奇函数；（4）偶函数。 4．略。 5．提示： f x c c f x c ( ) ( ) 。 6．（1）不是；（2） 2 ；（3）不是；（4） 3 。 7．（1）有界；（2）有界；（3）无界；（4）无界。 8． 2 , 0, 0, 0, ( ) 2 x x f g x x 2 , 0, 0, 0, ( ) 2 x x g f x x 2 , 0, 0, 0, ( ) 2 x x f f x x , 0. , 0, ( ) 4 4 x x x x g g x 9．（1） f g h i ，其中 g(u) u ， v h(v) 1 e ，i(x) 2x ； （2） f g h i ，其中 g(u) ln u ， 2 h(v) 1 v ，i(x) arctan x ； （3） f g h i j ，其中 3 g(u) u ，h(v) cosv ，i(w) 1 w ， j(x) x 。 10．（1） f (x) 2 2arctan x 1 ；（2） x x f x 1 1 ( ) log 2 1 ； （3） ( ) 2 , (0, 1] 1 2 f x x x x ；（4） , (0, ]. arcsin , [ 1, 0], ( ) 2 1 x x x x f x 11．提示：用数学归纳法。 §2 数列的极限 1．略
2.(1)2;(2)0;(3)+∞;(4)0;(5)-1;(6)1;(7) 4.(1) m x=-1:(2) Iim x =2:(3) lim s,2 5.lima,=3。 6.lim-+=2。 √5 7. lim x 8.提示:记an=1+ 证明2>1:记bn=1+ ,证明 bn bn 9.提示:an n 10.(1)收敛;(2)收敛:(3)发散。 §3函数的极限 略 2.略 3.(1) 2:(2)3:(3)1:(4)2:(5)2:(6):(7)sec2x;(8)e° (9)e2;(10)g3;(11)-;(12)1:(13)-1:(14)1。 4.f(0+0)=1 03?’(1-0)=√2-1,f(1+0)=-1,f(2-0)=2,f(2+0)=2, 5.f(0-0)=-1,f(0+0 0=0 +0|=0,f(x-0)=0, 2 2 ∫(+0)=-1 7 2
2 2．（1）2；（2）0；（3） ；（4）0；（5）1 ；（6）1；（7） 2 1 ；（8） 1 e 。 3． 2 1 。 4．（1） lim 1 n n x ；（2） lim 2 n n x ；（3） 2 1 5 lim n n x 。 5．lim 3 n n a 。 6．lim 2 1 n n n x x 。 7． 2 1 5 lim n n x 。 8．提示：记 n n n a 1 1 ，证明 1 1 n n a a ；记 1 1 1 n n n b ，证明 1 1 n n b b 。 9．提示： k k n a n k n 1 ln 1 1 ln 1 1 1 。 10．（1）收敛；（2）收敛；（3）发散。 §3 函数的极限 1．略。 2．略 3．（1） 2 1 ；（2） 2 3 ；（3）1；（4）2；（5）2；（6） 4 3 ；（7） x 2 sec ；（8） 6 e ； （9） 2 3 e ；（10） 3 1 e ；（11） 2 3 ；（12）1；(13) 1 ；(14) 1。 4． 2 1 f (0 0) ， f (1 0) 2 1， f (1 0) 1， f (2 0) 2， f (2 0) 2 ， 3 2 3 f (3 0) 。 5． f (0 0) 1， f (0 0) 0 ， 0 0 2 f ， 0 0 2 f ， f ( 0) 0 ， f ( 0) 1。 6．0。 7． 4 1
§4连续函数 略 2.(1)x=0,1为无穷间断点; (2)x=1为可去间断点,x=-1为无穷间断点 (3)x=0为可去间断点,x=kx+x(k∈Z)为可去间断点,x=kz(k≠0, 2 k∈Z)为无穷间断点 (4)x=0为振荡间断点; (5)x=k(k∈Z)为可去间断点 (6)x=0为可去间断点。 3.(1);(2)-1;(3)1;(4)27(hn3-1):(5)e (6)ha;(7)1:;(8)e-;(9) 2:(10)ei 4.(1)x2;(2)x;(3)x2:(4)x2。 5.水平渐近线y=1,垂直渐近线x=-2。 6.斜渐近线y=x+1和y=-x-1。 7.垂直渐近线x=-2和x=3,斜渐近线y=x+1 8.提示:f(√x)=f(x) 9.提示:作函数F(x)=f(x+a)-f(x) 0.提是示作函数(=+)0,注2(=0 元函数微分学练习题 §1微分与导数的概念 1.N=0.1时,△S≈2mN≈3.14cm2;N=0.2时,AS≈628cm2。 2.(1) dy=-dx; (2) dy=cos xoxo x+1
3 §4 连续函数 1．略。 2．（1） x 0, 1 为无穷间断点； （2） x 1 为可去间断点， x 1 为无穷间断点； （3） x 0 为可去间断点， 2 x k （ k Z ）为可去间断点， x k （ k 0， k Z ）为无穷间断点； （4） x 0 为振荡间断点； （5） x k （ k Z ）为可去间断点； (6) x 0 为可去间断点。 3．（1） 6 1 ；（2）1 ；（3）1；（4） 27(ln 3 1) ；（5） 2 e ； （6） ln a ；（7）1；（8） 1 e ；（9） 12 25 ；(10) ln 4 1 e 。 4．（1） 2 x ；（2） x ；（3） 2 x ；（4） 2 x 。 5．水平渐近线 y 1 ，垂直渐近线 x 2。 6．斜渐近线 y x 1 和 y x 1。 7．垂直渐近线 x 2 和 x 3 ，斜渐近线 y x 1。 8．提示： f ( x) f (x) 。 9．提示：作函数 F(x) f (x a) f (x)。 10．提示：作函数 ( ) 1 ( ) f x n F x f x ，注意 0 1 0 n k n k F 。 一元函数微分学练习题 §1 微分与导数的概念 1．r 0.1 时， 2 S 2 rr 3.14 cm ； r 0.2 时， 2 S 6.28 cm 。 2．（1） dx x dy 1 1 ；（2） dy cos xdx
2f(a) 3.(1)e();(2)e 4.0 5.f(1)=-h2,f(1)=h2,f在x=1处不可导 6.切线方程y=ex,法线方程y-e)x-1) §2求导运算 (1)'(x)==+3sec2x:(2)f'(x)=sin x+xcosx+(x2+2x)e (3)f(x)=-1 (4) f(x)=2xarctanx+2 arctan x: (5)f(x)=e2[(1-2x)sn4x+4xcos4x] (6)f(x)=-4(1-: (7)f(x) COSx (8)f(x)=5e sin 2x: (9)f'(x)=xeInx+ (10)f(x) 1(x+1)(x+2)(1 (x+4)(x+5)(x+1x+2x+4x+5 11)/(x)=smx 2xIn Snx+ coS. x (12)f(x)=-(cosx) 2 In cos x tan x 2.略 3.a 4.(1)f"(x)=2mx+ (2)f"(x) (1+x2)2 (3)f(x)=e-(4sn2x-3c0s2x):(4)fx)=e3(6x-12x2+4x2) 5.(1)f(x)=(-1)(n (x+1)”(x-1)
4 3．（1） ( ) ( ) f a f a e ；（2） ( ) 2 ( ) f a f a e 。 4．0。 5． f (1) ln 2， f (1) ln 2， f 在 x 1 处不可导。 6．切线方程 y ex ，法线方程 ( 1) 1 x e y e 。 §2 求导运算 1．（1） x x f x 2 3sec 2 ( ) ；（2） x f (x) sin x xcos x (x 2x)e 2 ； （3） 2 3 2 (1 ) 1 ( ) x f x ； （4） f (x) 2x arctan x 2arctan x 2 ； （5） f x e x x x x x ( ) (1 2 )sin 4 4 cos4 2 ； （6） 3 (1 ) 4(1 ) ( ) x x f x ； （7） x f x cos 2 ( ) ； （8） f x e x x ( ) 5 sin 2 ； （9） x f x x e x e x x 1 ( ) ln ； （10） 5 1 4 1 2 1 1 1 ( 4)( 5) ( 1)( 2) 4 1 ( ) 4 x x x x x x x x f x ； （11） x x x x x x x x x x f x x sin sin cos sin 2 ln sin ( ) 2 2 ； （12） 3 2 1 2ln cos tan ( ) cos 2 x x x x f x x x 。 2．略， 3． e a 2 1 。 4．（1） x x f x 2(ln 1) ( ) ； （2） f (x) 2 2 (1 ) 2 x ； （3） f x e x x x ( ) 4sin 2 3cos2 ； （4） 2 2 3 f (x) e 6x 12x 4x x 。 5．（1） n n n n x x f x n ( 1) 1 ( 1) 1 ( ) ( 1) ( 1)! ( ) 1 ；
(2)fo(x)=74"cos4x+;z f(=-1(-x),fo(x) (2n-3)! 2 (4)f(x)=52ecos(2x+nq),其中sm95’cos= 6.(1)f(0)=-3584:(2)f0(x)= 7.f(x)=2"cos2x+ 4 4 +6" cos 6 b=1 2x 9.f(0)=0,f(x)= cos-,x≠0 imf(x)不存在。 x=0 10.提示:用数学归纳法。 §3微分运算 (1) dy=(2x tan 2x+2x sec 2x)dx: (2) dy=-e--(2cos x +sin x)dx (3) dy d x (4)dy ln(1+x2) (1+x2)2 (5)d (6)dy= ax。 2x(1+x) 2.(1)dy dx (2)c f(x) 2√f(x) fo (3)d=4x(x)(xk;(4)=223)。 f2(2x) 3.(1) (2) dy 1-ycos(xy) dh dx 1+xcos(xy) (2) (1-xey)3
5 （2） 2 4 cos 4 2 1 ( ) ( ) n f x x n n ； （3） 2 1 1 2 1 ( ) f x x ， 2 2 1 ( ) (1 ) 2 (2 3)!! ( ) n n n x n f x ，n 2,3, ； （4） ( ) 5 cos(2 ) f ( ) x 2 e x n x n n ，其中 5 2 sin ， 5 1 cos 。 6．（1） (0) 3584 (8) f ； （2） 9 (10) 8! ( ) x f x 。 7． 2 6 cos 6 2 4 cos 4 2 2 cos 2 4 1 ( ) ( ) n x n x n f x x n n n n 。 8． 2 1 a ，b 1。 9． f (0) 0， 0, 0, , 0, 1 cos 1 2 sin ( ) x x x x x f x lim ( ) 0 f x x 不存在。 10．提示：用数学归纳法。 §3 微分运算 1．（1） dy (2x tan 2x 2x sec 2x)dx 2 2 ；（2） dy e x x dx x (2cos sin ) 2 ； （3） dx x x dy 2 3 2 (1 ) ； （4） dx x x dy x x 2 3 2 1 2 2 ln(1 ) ； （5） dx x dy sin 1 ； （6） dx x x dy 2 (1 ) 1 。 2．（1） dx f x f x dy 2 ( ) ( ) ； （2） dx f x f x dy ( ) ( ) ； （3） dy 4xf(x ) f (x )dx 2 2 ； （4） dx f x f x dy 1 (2 ) 2 (2 ) 2 。 3．（1） y x y x dx dy 2 2 ； （2） 1 cos( ) 1 cos( ) x xy y xy dx dy ； 4．（1） 3 2 2 2 (1 ) (2 ) y y y xe e xe dx d y ； （2） 2 3 2 ( 1) x y x y dx d y ；