多元函数积分学练习题 §1二重积分 1.计算二重积分 ao(x)+b以y)db,其中φ是连续函数,a,b为常数 q(x)+(y) 2设一元函数/在上连续,证明[/(5b-o 3.设一元函数∫在上连续,且∫f(x)=A,求∫∫,(x))h 设一元函数∫在[a,b]上连续,证明 ∫1y-x()=1b-10 5.计算下列二重积分 (1)「eddb,其中D是由抛物线y2=x,直线x=0,y=1所围的闭区域 (2)计算i(x-y)b,其中D为直线x=0,y=0和x+y=2所围的闭区 域 (3) yday,其中D是圆x2+y2ax与x2+y2≤y的公共部分(a>0); (4)∫√x2+yadb,其中D是由抛物线x2+y2=1与曲线r=1+s0所围闭 区域中右面的一个; (5)x2+y2+x)tdb,其中D是由椭圆+=1所围的闭区域:
多元函数积分学练习题 §1 二重积分 1．计算二重积分 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x y r dxdy x y a x b y ，其中 是连续函数， a ，b 为常数。 2．设一元函数 f 在 [a, b] 上连续，证明 b a b a f x dx b a f x dx 2 2 ( ) ( ) [ ( )] 。 3．设一元函数 f 在 [0, 1] 上连续，且 f x dx A 1 0 ( ) ，求 1 1 0 ( ) ( ) x dx f x f y dy 。 4．设一元函数 f 在 [a, b] 上连续，证明 b a n y a n b a b t f t dt n dy y x f x dx ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 。 5．计算下列二重积分： （1） D y x e dxdy ，其中 D 是由抛物线 y x 2 ，直线 x 0， y 1 所围的闭区域； （2）计算 D sin(x y) dxdy ，其中 D 为直线 x 0，y 0 和 2 x y 所围的闭区 域； （3） D ydxdy ，其中 D 是圆 x y ax 2 2 与 x y ay 2 2 的公共部分（ a 0 ）； （4） D x y dxdy 2 2 ，其中 D 是由抛物线 1 2 2 x y 与曲线 r 1 cos 所围闭 区域中右面的一个； （5） D (x y x)dxdy 2 2 ，其中 D 是由椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 所围的闭区域；
(6)∫)b,其中D是由直线x+y=1,y=0,x=0所围的闭区域 (7)∫xh,其中D是由抛物线y=x2,y=x2,x=y2,x=ay2所围的 闭区域。 6.设一元函数∫在原点附近可微,且f(0)=0,求极限 ∫f(x2+y)ah 丌t3 7.求曲线(x2+y2)2=a(x3-3y2)所围图形的面积(a>0) 8.求曲面 二=1与平面z=0所围立体的体积(a,b,c>0) §2三重积分 适当交换积分次序,计算。∫。小 2.计算下列三重积分 (1)「(x+y+)dob,其中是由平面x+y+z=1以及三个坐标平面所围 闭区域; (2) ddhd,其中Ω是由z=x2+y2,z=1和z=2所围闭区域 (3)(x+)o,其中Ω是由z=√x2+y2与z=√-x2-y2所围闭区域
（6） D x y e dxdy x y y 2 ( ) ，其中 D 是由直线 x y 1，y 0，x 0 所围的闭区域； （7） D xydxdy ，其中 D 是由抛物线 2 y x ， 2 4 1 y x ， 2 x y ， 2 4 1 x y 所围的 闭区域。 6．设一元函数 f 在原点附近可微，且 f (0) 0 ，求极限 3 2 2 0 2 2 2 ( ) lim t f x y dxdy x y t t 。 7．求曲线 ( ) ( 3 ) 2 2 2 3 2 x y a x xy 所围图形的面积（ a 0 ）。 8．求曲面 1 2 2 2 2 2 c z b y a x 与平面 z 0 所围立体的体积（ a, b, c 0 ）。 §2 三重积分 1．适当交换积分次序，计算 x y dz z z dx dy 0 2 0 1 0 (1 ) sin 。 2．计算下列三重积分： （1） (x y z)dxdydz ，其中 是由平面 x y z 1 以及三个坐标平面所围 闭区域； （2） dxdydz x y e z 2 2 ，其中 是由 2 2 z x y ，z 1 和 z 2 所围闭区域； （3） (x z)dxdydz ，其中 是由 2 2 z x y 与 2 2 z 1 x y 所围闭区域；
(4) x-y-5,aoht,其中Ω是由++=1所围闭区域 (5)⑩(x2+y)dth,其中是由x2+y2=2与二=2所围闭区域 (6)(x2+y2+=2)dob,其中9是2x2 +2与平面z=c所围闭区域 (a,b,c>0); (7) dyde ddd,其中Ω是由x2+y2+z2=1所围闭区域。 3.计算三重积分(x+y+)d,其中9为抛物体22x2+y2与球体 2+y2+2≤3a2的公共部分(a>0 4.计算三重积分 xyzdxdydz 其中g为球体x2+y2+2≤R2在 x2+b2y2+c2 x≥0,y≥0,z≥0的部分(a>0)。 §3重积分的应用 求下列立体的体积 (1)曲面a=x2+y2和2a=a2-x2-y2所围立体(a>0) (2)曲面(x2+y2+2)2=a2(x2+y2)所围立体(a>0) (3)曲面x+y+ 二所围立体(a,b,c>0)。 b 2.求下列曲面的面积
（4） dxdydz c z b y a x 2 2 2 2 2 2 1 ，其中 是由 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 所围闭区域； （5） (x y )dxdydz 2 2 ，其中 是由 x y 2z 2 2 与 z 2 所围闭区域； （6） (x y z )dxdydz 2 2 2 ，其中 是由 2 2 2 2 2 2 b y a x c z 与平面 z c 所围闭区域 （ a, b, c 0 ）； （7） dxdydz x y z dxdydz 2 2 2 ( 2) ，其中 是由 1 2 2 2 x y z 所围闭区域。 3．计算三重积分 x y z dxdydz 2 ( ) ，其中 为抛物体 2 2 2az x y 与球体 2 2 2 2 x y z 3a 的公共部分（ a 0 ）。 4．计算三重积分 2 2 2 2 2 2 a x b y c z xyzdxdydz ，其中 为球体 2 2 2 2 x y z R 在 x 0， y 0， z 0 的部分（ a 0 ）。 §3 重积分的应用 1．求下列立体的体积： （1） 曲面 2 2 az x y 和 2 2 2 2az a x y 所围立体（ a 0 ）； （2） 曲面 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 x y z a x y 所围立体（ a 0 ）； （3） 曲面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 与 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 所围立体（ a,b,c 0 ）。 2．求下列曲面的面积：
(1)求曲面x2+y2=a2被两平面x+z=0,x-=0所截的在x≥0,y≥0部 分的面积(a>0); (2)设一平面曲线的方程为 y=:(x2-2lnx),1≤x≤4, 求该曲线绕y轴旋转一周所得旋转曲面的面积 (3)求曲面x2+y2=2c包含在柱面(x2+y2)2=2a2xy内的那部分面积 (a>0) 3.设一物体所占的区域由曲面c=x2+y2和z=2a-x2+y2所围成(a>0) 其密度为常数1 (1)求该物体的重心 (2)求该物体关于z轴的转动惯量 4求均匀椭球体Ω={(x,y,=) >×y+2S1}关于三个坐标平面的转动惯量。 5.求高为h,顶角为2a的均匀圆锥体对位于它的顶点的质点的引力,这里设圆 锥体的密度为常数p,质点的质量为1。 §4两类曲线积分 1.计算下列第一类曲线积分: (1)jy1b,其中L={(xy)y2=20≤x (2)∫(x+y+=x)ds,其中L为球面x2+y2+=2=d2和平面x+y+ (a>0)的交线;
（1）求曲面 2 2 2 x y a 被两平面 x z 0 ， x z 0 所截的在 x 0， y 0 部 分的面积（ a 0 ）； （2）设一平面曲线的方程为 ( 2ln ) 4 1 2 y x x ，1 x 4， 求该曲线绕 y 轴旋转一周所得旋转曲面的面积； （3） 求曲面 x y 2az 2 2 包含 在 柱面 x y a xy 2 2 2 2 ( ) 2 内的那部 分面 积 （ a 0 ）。 3．设一物体所占的区域由曲面 2 2 az x y 和 2 2 z 2a x y 所围成（ a 0 ）， 其密度为常数 1。 （1） 求该物体的重心； （2） 求该物体关于 z 轴的转动惯量。 4．求均匀椭球体 ( , , ) 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x x y z 关于三个坐标平面的转动惯量。 5．求高为 h ，顶角为 2 的均匀圆锥体对位于它的顶点的质点的引力，这里设圆 锥体的密度为常数 ，质点的质量为 1。 §4 两类曲线积分 1．计算下列第一类曲线积分： （1） L | y | ds ，其中 2 ( , ) 2 , 0 2 p L x y y px x ； （2） L (xy yz zx)ds ，其中 L 为球面 2 2 2 2 x y z a 和平面 2 3a x y z （ a 0 ）的交线；
(3) ds,其中L为曲线x=e'cost,y=e'sint,z=e'上相应于 从0到2的一段弧 (4)「zs,其中L为曲面x2+y2==2和y2=ax(a>0)的交线上自O(0,0,0) 到A(aa,a√2)的一段 2.计算下列第二类曲线积分: 其中L是以A(1,0),B(O,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶点的正 |x|+|y 方形的边界,定向取逆时针方向 (2).8(yh-xd),其中L为双扭线r2=d2s3的右面的一半,定向 取逆时针方向; (3)jo2-=2)+(x2-x2)+(x2-y)k,其中L为球面x2+y2+2=1在第 一卦限部分的边界曲线,自z轴的正方向看为逆时针方向 (4)j0-)+(=-x0+(x-y),其中L为球面x2+y2+2=a2(a>0) 与平面y= tana(0<a<z)的交线,自x轴的正方向看为逆时针方向 3.若悬链线的一段y=e+e(0≤x≤a)上每一点的密度与该点的纵坐 标成反比,且在点(0,a)处的密度等于p,求该曲线段的质量。 4.在力场F(x,y,z)=yzi+xy+xk的作用下,一质点由原点沿直线运动到椭球 面+,+=1上的点M(5,n5),问M在该椭球面的何处时,F所作的功最 大?
（3） L ds x y z 2 2 2 1 ，其中 L 为曲线 x e t t cos ， y e t t sin ， t z e 上相应于 t 从 0 到 2 的一段弧； （4） L zds ，其中 L 为曲面 2 2 2 x y z 和 y ax 2 （ a 0 ）的交线上自 O(0, 0, 0) 到 A(a, a, a 2) 的一段。 2．计算下列第二类曲线积分： （1） L x y dx dy | | | | ，其中 L 是以 A(1, 0) ， B(0, 1) ，C(1, 0) ， D(0, 1) 为顶点的正 方形的边界，定向取逆时针方向； （2） L ydx xdy x y xy ( ) 2 2 ，其中 L 为双扭线 2 2 2 r a cos 的右面的一半，定向 取逆时针方向； （3） L (y z )dx (z x )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 ，其中 L 为球面 1 2 2 2 x y z 在第 一卦限部分的边界曲线，自 z 轴的正方向看为逆时针方向； （4） L (y z)dx (z x)dy (x y)dz ，其中 L 为球面 2 2 2 2 x y z a （ a 0 ） 与平面 y x tan （ 2 0 ）的交线，自 x 轴的正方向看为逆时针方向。 3．若悬链线的一段 a x a x e e a y 2 （ 0 x a ）上每一点的密度与该点的纵坐 标成反比，且在点 (0, a) 处的密度等于 p ，求该曲线段的质量。 4．在力场 F(x, y,z) yzi zxj xyk 的作用下，一质点由原点沿直线运动到椭球 面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 上的点 M(,, ) ，问 M 在该椭球面的何处时， F 所作的功最 大？