《工程振动分析与控制》研究生课程教学资源（课件讲稿）Analysis and Control for Engineering Vibration

共200页工程振动分析与控制一电子讲义精简版简谐振动基本性质【性质2】频率比为有理数时，合成为周期振动，频率比为无理数时，合成为非周期振动【证明】：0=mm，n为互质整数（频率比为有理数），n02m2元，2元=nT=mT,=nT合成振动的周期0102x(t+ T) = x,(t+ T)+ x2(t + T)= x(t+mT.)+ x2(t+ nT,)= x,(t)+ x2(t) = x(t)仅供课程学习使用！简谐振动基本性质【性质3】频率和振幅相近的两个简谐振动合成为拍振【证明】：假设频率和振幅相近的两个简谐振动分别为：x(t)= A, sin(0,t+β)x(t)=A, sin(0t+p)合成振动为：()=x;(0)+() -4+[i(0) +9)+ i(0:++9,)]4_[im(0, +0)-sin(0:+0)]可忽略由于A2，（令2-,=2，为微小量）x(1) -(4+ + 4, )cos(c +_2 sin( 021+) -(0+ +02++ Pi + P2= Asin25

25 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , ( 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 x t x t x t x t T x t T x t T x t mT x t nT m n T mT nT m n n m                       为互质整数 频率比为有理数）。 【性质2】频率比为有理数时，合成为周期振动，频率比为无理数时，合成为非周期振动 【证明】： 合成振动的周期 简谐振动基本性质 【性质3】频率和振幅相近的两个简谐振动合成为拍振 假设频率和振幅相近的两个简谐振动分别为： ( ) sin( ) 1  1 1  1 x t A t ( ) sin( ) 2  2 2 2 x t A t 合成振动为：     sin( ) sin( ) 2 sin( ) sin( ) 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2                     t t A A t t A A x t x t x t 由于 A1  A2 , 1   2 (令 2 -1  2 ，  为微小量）                                2 2 sin 2 2 sin 2 ( ) cos 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2           x t A A t t A t 可忽略 简谐振动基本性质 【证明】： 工程振动分析与控制—电子讲义精简版 共200页 仅供课程学习使用！

共200页工程振动分析与控制一电子讲义精简版简谐振动基本性质【性质3】频率和振幅相近的两个简谐振动合成为拍振0+09+02x(0)=(4 +A,)cos(a+9=9)sn@+02/+9+92S4元合成振动是振幅4沿余弦包络线+（4,+4.）cos（st+=变化，周期为01+02的周期振动，这种特殊的振动现象称为拍振。（拍振的周期为）CT7NAANAAC14元0.+0仅供课程学习使练习题已知某振动x(t)=cos4+10sin4.5t为周期振动，其周期为5元4.5元4元3元26

26                                2 2 sin 2 2 sin 2 ( ) cos 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2           x t A A t t A t 合成振动是振幅A沿余弦包络线             2 cos 1 2 1 2   A A  t 变化，周期为 1 2 4     的周期振动，这种特殊的振动现象称为拍振。（拍振的周期为  ）  简谐振动基本性质 【性质3】频率和振幅相近的两个简谐振动合成为拍振 已知某振动x(t)=cos4t+10sin4.5t为周期振动，其周期为： 5 4.5 4 3 A B C D 练习题 工程振动分析与控制—电子讲义精简版 共200页 仅供课程学习使用！

工程振动分析与控制一电子讲义精简版共200页练习题已知某振动x(t)=20cos1.1t+4sin9.9t为周期振动，其周期为：9元99元2元20元/11仅供课程学习使用！练习题两个频率相同的简谐振动的合成仍然是频率的简谐振动。若以复数形式表示的两个简谐振动分别为6el10.5*l和8e10.5m1+x/2)），那么它们合成振动的幅值为初相角为。若第一个简谐振动的角频率变为7.5元，则二者实部部分可以合成为周期振动，周期为S.相同，10，tg(4/3),4/327

27 已知某振动x(t)=20cos1.1t+4sin9.9t为周期振动，其周期为： 9 99 2 20/11 A B C D 练习题 两个频率相同的简谐振动的合成仍然是频率_的简谐振动。若以复数形式表示的两个 简谐振动分别为 j10.5 6e  t 和 j(10.5 /2) 8e   t  ，那么它们合成振动的幅值为 ，初相角 为 。若第一个简谐振动的角频率变为 7.5，则二者实部部分可以合成为周期振动，周 期为 s。 相同，10， -1 tg 4/3 （ ）, 4/3 练习题 工程振动分析与控制—电子讲义精简版 共200页 仅供课程学习使用！

工程振动分析与控制一电子讲义精简版共200页PART02单自由度系统的自由振动·无阻尼自由振动·有阻尼自由振动西学文道大学仅供课程学习使用！无阻尼自由振动口运动微分方程令x为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，元为静变形。mx+kx=0自由振动微分方程：mg =ka静平衡位置处：弹簧原长位置K元弹簧原长位置静平衡位置m静平衡位置I仁28

28 PART 02 单自由度系统的自由振动 • 无阻尼自由振动 • 有阻尼自由振动 s 静平衡位置处： mg  k 自由振动微分方程 ： mx kx  0 0 m  s x 静平衡位置 弹簧原长位置 k  s 0 x 静平衡位置 弹簧原长位置 m k 令 x 为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点， 为 静变形。  s  运动微分方程 无阻尼自由振动 工程振动分析与控制—电子讲义精简版 共200页 仅供课程学习使用！

共200页工程振动分析与控制一电子讲义精简版无阻尼自由振动口自由振动响应mx+kx=0自由振动微分方程：k令：称为无阻尼固有角频率（rad/s)0=Vm则有：x+0,x=0通解：x(t) = c, cos(o,t)+ c, sin( 0nt)= Asin( o,t +p)式中:Ci，C2为任意常数（待定系数），由初始条件决定β= tg-1A=Vc?+c,?振幅：初相角：C2仅供课程学习使用！无阻尼自由振动口自由振动响应零时刻的初始条件：x(0) = xox(0) = x。零初始条件下的自由振动：x(t)= X cos(0,t)+ sin(0,1) = Asin(0, +0)0-1Xonp = tgXo无阻尼的质量弹黄系统受到初始扰动后，其自由动是以の为振动频率的简谐振动，并且永无休止！29

29 自由振动微分方程 ： mx kx  0 令 ： m k  n  0 2 则有 ： xn x  通解 ： ( ) cos( ) sin( ) 1 2 x t c t c t  n  n 1 2 c c , 为任意常数（待定系数），由初始条件决定  Asin( t ) n 2 2 2 1 A  c  c 1 1 2 tg c c   振幅 ： 初相角 ：  称为无阻尼固有角频率（rad/s) 式中：  自由振动响应 无阻尼自由振动 零时刻的初始条件： 0 x (0 )  x 0 x ( 0 )  x 2 2 0 0 n x A x           0 1 0 tg x x n      ( ) cos( ) sin( ) 0 0 t x x t x t n n n       零初始条件下的自由振动：  Asin( t ) n 无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动频率的简谐振动， 并且永无休止! n 无阻尼自由振动  自由振动响应 工程振动分析与控制—电子讲义精简版 共200页 仅供课程学习使用！