《工程振动分析与控制》研究生课程教学资源（课件讲稿）Analysis and Control for Engineering Vibration

共200页工程振动分析与控制一电子讲义精简版无阻尼自由振动固有频率计算图V定义法：列出微分方程直接求解弹簧原长位置Rmx+kx=0O静平衡位置L静变形法：根据静变形求解mg =kas静平衡位置处：kg则有：0Vam若能知道静变形几，，则用该式计算是较为方便的！仅供课程学习使用！无阻尼自由振动口能量法对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能T和势能U之和保持不变，即：T +U = const或：1(+0)-030

30 mx kx  0 n k m   s 静平衡位置处： mg  k  n s k g m   则有：   若能知道静变形 ，则用该式计算是较为方便的!  s 0 m  s x 静平衡位置 弹簧原长位置 k  固有频率计算  定义法：列出微分方程直接求解  静变形法：根据静变形求解 无阻尼自由振动  能量法 对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以利用能量守恒原理建 立自由振动的微分方程，或直接求出系统的固有频率。 无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势能 U 之和保持不变，即： T U  const   T U  0 dt d 或： 无阻尼自由振动 工程振动分析与控制—电子讲义精简版 共200页 仅供课程学习使用！

共200页工程振动分析与控制一电子讲义精简版无阻尼自由振动口能量法单自由度弹簧质量系统弹簧原长位置1mx?动能：T =2静平衡位置m1势能：U=kx 2k2d(T+U)=0能量守恒：通大dt(mx + kx)x = 0mx+ kx = 0仅供课程学习使用！无阻尼自由振动静平衡位置【例】倒立摆7摆球质量m刚性杆质量忽略k/2k/2V每个弹簧的刚度k/2【求】：倒立摆作微幅振动时的固有频率【解】：交通大学1103 =ml2g2动能T=2n势能U = 2 ×(→x)(a0) - mgl (1- cos 0)- 1(ka *- mgl )0331

31 单自由度弹簧质量系统 动能： 2 2 1 T  m x 势能：   T U  0 dt d (mx kx) x  0 mx  kx  0 2 2 1 U  kx 0 m  s x 静平衡位置 弹簧原长位置 k 能量守恒： 无阻尼自由振动  能量法 【例】倒立摆 摆球质量 m 刚性杆质量忽略 每个弹簧的刚度 k 2 【求】：倒立摆作微幅振动时的固有频率 静平衡位置  l m a k/2 k/2 【解】： 动能 2 2 2 2 1 2 1    ml  T  I  势能      1 cos  2 1 2 1 2 2         U   k a mgl 2 2 ( ) 2 1  ka  mgl  无阻尼自由振动 工程振动分析与控制—电子讲义精简版 共200页 仅供课程学习使用！

共200页工程振动分析与控制一电子讲义精简版无阻尼自由振动静平衡位置【例】倒立摆d能量守恒：(T +U)= 0k/2k/2AdtWml2 +(ka?- mgl )0 = 0运动微分方程：重力项ka?-mgl固有频率：On=ml2如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置,那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项！仅供课程学习使用！无阻尼自由振动口等效质量与等效刚度>定义等效刚度：1使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度，记为K等效质量：1使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量，记为M。32

32 2 2 ml ka mgl n      T U  0 dt 能量守恒： d 运动微分方程： ( ) 0 2 2 ml   ka  mgl    固有频率： 重力项 如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平 衡位置上，方程中就不会出现重力项! 无阻尼自由振动 【例】倒立摆 静平衡位置  l m a k/2 k/2 等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力， 叫做系统在这个坐标上的等效刚度，记为 等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力， 叫做系统在这个坐标上的等效质量，记为  等效质量与等效刚度 Ke Me  定义 无阻尼自由振动 工程振动分析与控制—电子讲义精简版 共200页 仅供课程学习使用！

工程振动分析与控制一电子讲义精简版共200页无阻尼自由振动口等效质量与等效刚度>能量法动能：T=M.21势能：U-K.x2选定坐标必须为同一个坐标根据等效质量和等效刚度，还可求解系统的无阻尼固有频率：该方法称为等效质量与等效刚度法。仅供课程学习使用！无阻尼自由振动【例】刚性杆-弹簧-质量系统设杆AB的质量忽略不计【求】：系统的固有频率【解】:设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P，分别对质量块和刚性杆进行受力分析可得：质量块力平衡：P=k,(l-a)k,k,b?K=Pk,a2+k,b3k,(1-ao)a=k,b2g刚性杆绕支点力矩平衡：易知系统在x坐标上的等效质量：M=mk,k,b2m(ka+k,b)33

33 动能： 2 2 1 T M xe   势能： 2 2 1 U K x  e 选定坐标 必须为同一个坐标 e n e K M    能量法 根据等效质量和等效刚度，还可求解系统的无阻尼固有频率： 该方法称为等效质量与等效刚度法。 无阻尼自由振动  等效质量与等效刚度 【例】 刚性杆-弹簧-质量系统 设杆AB的质量忽略不计 【求】：系统的固有频率 【解】： 设使系统在 x 坐标上产生单位位移需要施加力 P，分别对质量 块和刚性杆进行受力分析可得： x P m 质量块力平衡： (1 ) P  k 1  a  刚性杆绕支点力矩平衡：   2 1 2 k (1  a ) a  k b 2 2 2 1 2 1 2 k a k b k k b K e P    易知系统在x坐标上的等效质量： M e  m ( ) 2 2 2 1 2 1 2 m k a k b k k b M K e e n     无阻尼自由振动 工程振动分析与控制—电子讲义精简版 共200页 仅供课程学习使用！

工程振动分析与控制一电子讲义精简版共200页练习题如图，均质刚性杆AB的质量为m，A端弹簧的刚度为k。并问铰链支座C放在何处时系统的固有频率最高？nln=1/32ACn=1/2T777n=3/4n=2/3仅供课程学习使用！练习题求图所示三种摆做微振动的固有频率（须考虑杆的自重，质量为m）。Oa卡fTk/2k/2k/2k/2COmm(b)(c)(a)ka+gl(m+=m)ka2-gl(m+=m,)g(m+=ms)00P(m+I'(m+m3m)=m)3m)34

34 如图，均质刚性杆AB的质量为m，A端弹簧的刚度为k。并问铰链支座C放在何处时系统 的固有频率最高？ n=1/3 n=1/2 n=3/4 n=2/3 A B C D 练习题 求图所示三种摆做微振动的固有频率（须考虑杆的自重，质量为mb）。 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 3 b n b ka gl m m l m m      2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 3 b n b ka gl m m l m m      1 ( ) 2 1 ( ) 3 b n b g m m l m m     练习题 工程振动分析与控制—电子讲义精简版 共200页 仅供课程学习使用！