第3章形的基本算 立强
第3章 图形的基本运算 赵立强
3.1形的几何变换 为了使图形几何变换的形式规范,其矩阵变换适合硬件方式实现,现 在一般都在齐次坐标系中对图形进行几何变换。二维齐次坐标系的定义如 下 二维平面中的一个点P(x,y),在齐次坐标系中可表示成P(wx,wy,wz,w), 其中w是一个不为0的常量;反过来,只要能给定一个点的齐次坐标 P(x,y',w),就能得到这个点的二维直角坐标x=x/w,y=y'/w。在本小节 中w总取常数1(即齐次坐标的“归一化”)。 可以把齐次坐标理解成将二维平面作w的比例变换之后,嵌入到三维空 间里的某个平面中(其中三维空间的z=w=1) ab 0 在齐次坐标系中,几何变换的齐次变换矩阵形式为r=CD0 因此对一个点(x,y)进行几何变换可 L M 1 用变换矩阵方式表示为: 变换后的点=变换前的点变换矩阵[xy1=[xy1·T 写成标量形式为:x=Ax+Cy+L y= Bx t Dy+ M <匚p」
3．1 图形的几何变换 为了使图形几何变换的形式规范，其矩阵变换适合硬件方式实现，现 在一般都在齐次坐标系中对图形进行几何变换。二维齐次坐标系的定义如 下。 二维平面中的一个点P(x,y)，在齐次坐标系中可表示成P(wx,wy,wz,w)， 其中w是一个不为0的常量；反过来，只要能给定一个点的齐次坐标 P(x’,y’,w)，就能得到这个点的二维直角坐标x=x’/w，y=y’/w。在本小节 中w总取常数1(即齐次坐标的“归一化”)。 可以把齐次坐标理解成将二维平面作w的比例变换之后，嵌入到三维空 间里的某个平面中(其中三维空间的z=w=1)。 在齐次坐标系中，几何变换的齐次变换矩阵形式为 因此对一个点(x,y)进行几何变换可 用变换矩阵方式表示为： 变换后的点=变换前的点·变换矩阵 写成标量形式为：
、几何变换常開的齐次变换阵 下面考虑在齐次坐标系中对图形进行平移、比例、反射、旋转和错 切等变换以及相应地变换矩阵。 1.平移变换矩阵 100 如果点进行平移变换,则其矩阵可简化为:T=010 这里L,M为点从坐标系当前位置分别沿x,y轴正向移动的分量。若L, ②M值为正,则实际移动方向与此规定一致;若L,M值为负,则实际移动 方向与此规定相反,见图 Y M>0 L>0 图31点的平移变换效果□
一、几何变换常用的齐次坐标变换矩阵 下面考虑在齐次坐标系中对图形进行平移、比例、反射、旋转和错 切等变换以及相应地变换矩阵。 1．平移变换矩阵 如果点进行平移变换，则其矩阵可简化为： 这里L，M为点从坐标系当前位置分别沿x，y轴正向移动的分量。若L， M值为正，则实际移动方向与此规定一致；若L，M值为负，则实际移动 方向与此规定相反，见图
2.比例变换阵 如果点相对坐标系原点进行比例变换,则其矩阵可简化为: A00 T=0D0 若A=D=1,则为恒等变换 若A=D>1,则图形放大 001 若A=D<1,则图形缩小;若AD,则会引起图形比例变换失真,见图。 B 1 B C O 1234X <匚p」
2．比例变换矩阵 如果点相对坐标系原点进行比例变换，则其矩阵可简化为: 若A=D=1，则为恒等变换； 若A=D>1，则图形放大； 若A=D<1，则图形缩小；若AD，则会引起图形比例变换失真，见图
3.厦射变换矩阵 如果点相对于y轴、X轴或原点进行反射变换,其变换矩阵分别为 100 0-10 001￥轴对称 001 X轴对称 100 对点P进行这三种反 0-10 射变换所产生的效果 001 见图。 原点对称 「<p
3．反射变换矩阵 如果点相对于y轴、X轴或原点进行反射变换，其变换矩阵分别为: 对点P进行这三种反 射变换所产生的效果 见图。 x x y x y y