列出差值表,并与相应临界值比较 27.2** 124* 2 178** 3.0 14.8* 与 Duncan法同样,最长的对角线使用k=2的两个临界值,即9.87和13.59比较 大于前者加“*”,大于后者再加一个“*”;右上次长对角线用k=3,即临界值1201 和1576;最后一条用k=4,即13.32和17.08比较。最终结果与前两种方法仍相同, 但x3与x的差124已接近临界值12.01 比较三种方法,当k=2时临界值均相同,当k2时临界值依次增大;但对本例题来说, 这种增大还不足以影响最终结果 42多因素方差分析 上一节我们讨论了最简单的方差分析—一单因素方差分析的原理与方法。在实际工作 中,问题常常比较复杂,要求我们同时考虑两种甚至更多因素,以及这些因素共同作用的影 响。此时单因素方差分析就无能为力了,需采用两因素或更多因素方差分析。进行多因素方 差分析从理论上说并无任何困难,但随着因素数的增加,普通方差分析的复杂性迅速增加, 这种复杂性不仅表现在分析计算的繁复,更表现在所需实验次数呈现出几何级数的增加上。 这样一来,当因素数增加到三个或三个以上时,其工作量之大常常是令人望而生畏。因此三 或三因素以上方差分析较少用到;当确实需要考虑这样多因素时,我们常常转而采用一些特 殊的方差分析方法,例如正交实验设计方法,有关内容我们将在第九章中介绍。由于以上原 因,本节内容将主要集中在讨论两因素方差分析上 模型类型及交互作用概念 与单因素方差分析相比,交互作用是多因素方差分析中新的概念之一。当一个因素的效 应明显地依赖于其他因素的水平时,我们称这些因素间有交互效应。例如,由于人的体质不 同,药物的疗效也可能会有不同:不同的地施用同样的肥料,增产效果也有不同,等等。交 互效应的有无可用一些直观方法粗略估计,例如可用图形来估计: A2 A3 (a)无交互效应 (b)有交互效应 图41交互效应示意图 图中每条曲线代表B因素的一个水平。若各曲线平行或近似平行,可认为无交互效应 否则为有交互效应。以上只是一种直观的判断,在多因素方差分析的过程中,我们对交互作 用的有无也可进行统计检验。具体原理与方法我们将在下文中详细介绍 多因素方差分析可按照不同标准分成不同类别,而不同类别需要采用不同的分析方法。 因此在进行多因素方差分析之前必须正确判断问题所属类型,否则就可能采用错误的分析方 法 按因素类型进行分类,多因素方差分析可分为固定模型,随机模型及混合模型三类。这
列出差值表，并与相应临界值比较： 4 3 2 1 2 3 27.2** 17.8** 14.8** 12.4* 3.0 9.4 与 Duncan 法同样，最长的对角线使用 k=2 的两个临界值，即 9.87 和 13.59 比较， 大于前者加“*”，大于后者再加一个“*”；右上次长对角线用 k=3，即临界值 12.01 和 15.76；最后一条用 k=4，即 13.32 和 17.08 比较。最终结果与前两种方法仍相同， 但 3. x 与 1. x 的差 12.4 已接近临界值 12.01。 比较三种方法，当 k=2 时临界值均相同，当 k>2 时临界值依次增大；但对本例题来说， 这种增大还不足以影响最终结果。 §4.2 多因素方差分析 上一节我们讨论了最简单的方差分析——单因素方差分析的原理与方法。在实际工作 中，问题常常比较复杂，要求我们同时考虑两种甚至更多因素，以及这些因素共同作用的影 响。此时单因素方差分析就无能为力了，需采用两因素或更多因素方差分析。进行多因素方 差分析从理论上说并无任何困难，但随着因素数的增加，普通方差分析的复杂性迅速增加， 这种复杂性不仅表现在分析计算的繁复，更表现在所需实验次数呈现出几何级数的增加上。 这样一来，当因素数增加到三个或三个以上时，其工作量之大常常是令人望而生畏。因此三 或三因素以上方差分析较少用到；当确实需要考虑这样多因素时，我们常常转而采用一些特 殊的方差分析方法，例如正交实验设计方法，有关内容我们将在第九章中介绍。由于以上原 因，本节内容将主要集中在讨论两因素方差分析上。 一、模型类型及交互作用概念。 与单因素方差分析相比，交互作用是多因素方差分析中新的概念之一。当一个因素的效 应明显地依赖于其他因素的水平时，我们称这些因素间有交互效应。例如，由于人的体质不 同，药物的疗效也可能会有不同；不同的地施用同样的肥料，增产效果也有不同，等等。交 互效应的有无可用一些直观方法粗略估计，例如可用图形来估计： (a) 无交互效应 (b) 有交互效应 图 4.1 交互效应示意图 图中每条曲线代表 B 因素的一个水平。若各曲线平行或近似平行，可认为无交互效应， 否则为有交互效应。以上只是一种直观的判断，在多因素方差分析的过程中，我们对交互作 用的有无也可进行统计检验。具体原理与方法我们将在下文中详细介绍。 多因素方差分析可按照不同标准分成不同类别，而不同类别需要采用不同的分析方法。 因此在进行多因素方差分析之前必须正确判断问题所属类型，否则就可能采用错误的分析方 法。 按因素类型进行分类，多因素方差分析可分为固定模型，随机模型及混合模型三类。这 B1 B2 B3 A1 A2 A3 B1 B2 B3 A1 A2 A3
几类模型的计算公式基本相同,但其数学模型,假设,统计量,结果的解释等方面均有相当 大的差异,我们将在下文中详细介绍,使用时应注意根据实际情况选用适当的模型 按实验设计分类,多因素方差分析可分为交叉分组和系统分组两大类。这两类计算公式 也有些差别,下面我们以两因素方差分析为例,介绍它们试验设计方面的不同点 交叉分组:实验中,A因素的每个水平都会和B因素的每个水平相遇,因此A,B的地位是 完全对称的。这是最常见的实验设计方法。 系统分组:先按A因素的a个水平分为a组,在每一组内再按B的水平细分。一般A因素 不同水平的组内B因素的水平可取不同值。例如研究PH值对酶活性的影响,不同的酶可 能有不同的最适PH值,因此应对每种酶设置PH值偏高、合适、偏低三个水平,而不同 的酶(因素A的不同水平)PH值(因素B)的水平可能是不相同的 从上面的介绍看出这两种方法适用于不同的问题,必须在实验设计阶段选取适当的方 法,才能取得正确的结果。它们的计算方法和公式都是不同的。使用时应加以注意。下面我 们具体介绍各种类型的分析方法 两因素交叉分组方差分析 1.固定效应模型。首先考虑有重复的情况。线性统计模型为: X=μ+a1+阝1+(αβ)+Ek,i=1,2,……a,j=1,2,……b;k=1,2,……1 其中:μ:总平均值;a:A因素i水平主效应;B:B因素j水平主效应; (aB):A因素i水平与B因素j水平的交互效应;E:随机误差。 对固定效应模型,应有 ∑x-=0,∑1,=0.a11=∑(aDn=0.5m~MmOa) 零假设为 H3:(aB);=0,i=1,2,……a,j1,2,……b 备择假设为 H:上述各参数中至少有一个不为0。(这实际上是三个备择假设。) 方差分析的基本思想仍是总变差分解 ∑ )2=bn∑(x1-x.)2 t an k=1 l x,+X.)2+ ∑∑∑(x-) 即 SST SSA SSB Ss 自由度:abn-1a-1b-1(a-1)(b-1)ab(n-1) 均方数学期望分别为: E(MSA)=E(-4)=a2+ E(MSB)=E( ∑B
几类模型的计算公式基本相同，但其数学模型，假设，统计量，结果的解释等方面均有相当 大的差异，我们将在下文中详细介绍，使用时应注意根据实际情况选用适当的模型。 按实验设计分类，多因素方差分析可分为交叉分组和系统分组两大类。这两类计算公式 也有些差别，下面我们以两因素方差分析为例，介绍它们试验设计方面的不同点。 交叉分组：实验中，A 因素的每个水平都会和 B 因素的每个水平相遇，因此 A，B 的地位是 完全对称的。这是最常见的实验设计方法。 系统分组：先按 A 因素的 a 个水平分为 a 组，在每一组内再按 B 的水平细分。一般 A 因素 不同水平的组内 B 因素的水平可取不同值。例如研究 PH 值对酶活性的影响，不同的酶可 能有不同的最适 PH 值，因此应对每种酶设置 PH 值偏高、合适、偏低三个水平，而不同 的酶(因素 A 的不同水平) PH 值(因素 B)的水平可能是不相同的。 从上面的介绍看出这两种方法适用于不同的问题，必须在实验设计阶段选取适当的方 法，才能取得正确的结果。它们的计算方法和公式都是不同的。使用时应加以注意。下面我 们具体介绍各种类型的分析方法。 二、两因素交叉分组方差分析 1. 固定效应模型。首先考虑有重复的情况。线性统计模型为： xijk=+i+j+()ij+ijk, i=1, 2, ……a, j=1, 2, ……b; k=1, 2, ……n 其中：：总平均值；i：A 因素 i 水平主效应；j：B 因素 j 水平主效应； ()ij：A 因素 i 水平与 B 因素 j 水平的交互效应；ijk：随机误差。 对固定效应模型，应有： = = a i i 1 0 , = = b j j 1 0, = = = = a i b j ij ij 1 1 () () 0, ~ (0, ) 2 ijk NID 零假设为: H01: i =0, i=1, 2, ……a H02:βj=0, j=1, 2, ……b H03:()ij=0, i=1, 2, ……a, j=1, 2, ……b 备择假设为: HA: 上述各参数中至少有一个不为 0。(这实际上是三个备择假设。) 方差分析的基本思想仍是总变差分解： = = = = = = = = = = + − − + + − − = − + − a i b j n k ijk i j a i b j i j i j a i b j n k a i b j ijk i j n x x x x x x x x bn x x an x x 1 1 1 2 1 1 2 . .. . . 1 1 1 1 1 2 . . 2 .. 2 ( ...) ( ) ( ...) ( ...) ( ...) 即： SST = SSA + SSB + SSAB + SSe 自由度：abn-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1) ab(n-1) 均方数学期望分别为： − = = + − = a i i A A a bn a SS E MS E 1 2 2 1 ) 1 ( ) ( − = = + − = b j j B B b an b SS E MS E 1 2 2 1 ) 1 ( ) (
E(MSB)=E (a-1)b-1) (a-1)b-1)m E(MS)=E(°,)=a b(n-1) 上述MSA,MSB的均方期望中均不含有交互作用项,这是因为对固定模型来说,交互作用 满足 (a=∑(aB) 这说明观测值x只要对i或j中的一个下标求和或求平均,就可以保证交叉项为0。 由于MSA b (x-x), MS b 公式中的ⅹ均为平均数,因此上述条件实际保证了在它们的均方期望中不会含有交互作用 项。这样,检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中,分母全部采用MS即可。 检验Ho1,Ho2,H3的统计量分别为: FA MSe (4.17) M S FAB MSe (4.19) 从前述的各均方期望可知,只有当各Ho成立时,上述三个分子才是G2的无偏估计量 此时各统计量均服从F分布;若某个H不成立,则相应的分子将有偏大的趋势,从而使对 应的统计量也有偏大的趋势,因此可用F分布上单尾分位数进行检验 各效应的估计值为 A=x a B=x (aB)i=Xy 其中i=1,2……a,j=1,2,……b 实际计算公式为
− − = = = + − − = a i b j ij AB AB a b n a b SS E MS E 1 1 2 2 ( ) ( 1)( 1) ) ( 1)( 1) ( ) ( 2 ) ( 1) ( ) ( = − = ab n SS E MS E e e 上述 MSA，MSB 的均方期望中均不含有交互作用项，这是因为对固定模型来说，交互作用 满足： = = = = a i b j ij ij 1 1 () () 0 这说明观测值 x 只要对 i 或 j 中的一个下标求和或求平均，就可以保证交叉项为 0。 由于 = − − = a i A i x x a bn MS 1 2 ... ( ) 1 ， = − − = b j B j x x b an MS 1 2 ( ) 1 公式中的 x 均为平均数，因此上述条件实际保证了在它们的均方期望中不会含有交互作用 项。这样，检验两个主效应及一个交互效应的下述三个统计量中，分母全部采用 MSe即可。 检验 H01，H02，H03 的统计量分别为： , e A A MS MS F = （4.17） e B B MS MS F = , (4.18) e AB AB MS MS F = (4.19) 从前述的各均方期望可知，只有当各 H0 成立时，上述三个分子才是 2 的无偏估计量， 此时各统计量均服从 F 分布；若某个 H0 不成立，则相应的分子将有偏大的趋势，从而使对 应的统计量也有偏大的趋势，因此可用 F 分布上单尾分位数进行检验。 各效应的估计值为： .. ... ˆ ˆ ... a x x x i = i − = ... ˆ . . x x j = j − ) ... ˆ ( . .. . . x x x x i j = ij − i − j + 其中 i=1, 2 ……a, j=1, 2, ……b。 实际计算公式为： = = = = − a i b j n k T ijk abn x SS x 1 1 1 2 2 ... (4.20)
(4.23) abn SSB= SSsr-SS,-SSa, SS=SS,-SssT 或计算:SS AU]: SSP= SS,-SS,-SS,-SS 若使用带统计功能的计算器,可按以下步骤计算: 计算,,x,排列如下表: X x 表中最下一行是各列的平均,最右一列是各行的平均。 2°把所有原始数据放在一起,计算样本方差S2,则SS1=(abn-1)s2 3°用上表中x,计算样本方差S动,则Ss=n(ab-1)S 4°用上表中x计算样本方差S2,则S5=bn(a-1)S2 5°用上表中可计算样本方差S,则S8=an(b1)S3 (4.28) SSAB= SSST- SSa-S (4.30) 完成上述计算后,则可列出以下的方差分析表 变差来源 平方和自由度 统计量F 主效应A 主效应B 交互效应AB 误差
= = − a i A i abn x x bn SS 1 2 2 ... .. 1 (4.21) = = − b j B j abn x x an SS 1 2 2 ... . . 1 (4.22) = = = − a i b j ST ij abn x x n SS 1 1 2 2 ... . 1 (4.23) SS AB = SSST − SS A − SSB SSe = SST − SSST , 或计算： = = = = = = − a i b j n k a i b j e ijk ij x n SS x 1 1 1 1 1 2 . 2 1 ， (4.24) 则： SS AB = SST − SS A − SSB − SSe 若使用带统计功能的计算器，可按以下步骤计算： 1°计算 . .. . . , , ij i j x x x 排列如下表： j i 1 2 ……… b i.. x 1 2 a ij. x .. 1.. a x x . j. x .1. x .2. x ……… .b. x 表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均。 2°把所有原始数据放在一起，计算样本方差 S 2，则 SST =(abn-1)S2 (4.25) 3°用上表中 i j. x 计算样本方差 2 xij S ，则 SSST = n(ab-1) 2 xij S (4.26) 4°用上表中 i x 计算样本方差 2 xi S ，则 SSA = bn(a-1) 2 xi S (4.27) 5°用上表中 j x 计算样本方差 2 Sx. j ，则 SSB = an(b-1) 2 Sx. j (4.28) 6°SSe = SST - SSST, (4.29) SSAB = SSST - SSA - SSB (4.30) 完成上述计算后，则可列出以下的方差分析表： 变差来源 平方和 自由度 均方 统计量 F 主效应 A 主效应 B 交互效应 AB 误差 总和