存在不确定性干扰的生产计划——库存控制过程最优化

第i8卷3瑙打1ssn1001053x.196.8北08京科技大学学报 Vol.18 199%年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Fb.199% 存在不确定性干扰的生产计划 库存控制过程最优化 高学东武森 北京科技大学管理学院，北京100083 摘要给出了在存在不确定性干扰的情况下，生产计划一库存控制过程最优化的动态提法.在 此基础上提出了一个在线克服不确定性干扰寻求最优控制的实用算法， 关键词生产计划一库存控制，不确定性干扰，最优化 中图分类号F270.7 多阶段生产计划一库存控制过程的优化问题属动态管理过程优化问题.迄今为止对这个 问题的数学模型描述可分为两种：(1)静态的数学规划模型；(2)假定干扰因素具有某种统计 特性（比如服从正态分布），利用概率论的方法对其进行研究).上述两种描述方法在处理不确 定性干扰问题上的弱点是：或者完全不考虑干扰因素的影响，或者对不确定性干扰因素做不 合理的数学假设.在实际的管理过程中，干扰因素带有很大的不确定性，使得无法用常规的结 构化方法来处理这些因素的影响，本文模拟人处理不确定性十扰的思路，提出了一个动态的 计算方法，来求解存在不确定性干扰因素的生产计划一库存控制优化问题.由这个思路在 文献3]中成功地解决了一类存在不确定性干扰系统的反馈最优化控制问题. 1不存在干扰情况下的生产计划一库存控制优化问题 研究多阶段多产品生产计划一库存控制过程问题.在资源库存量、产品生产量的约束 下，寻求总收益最大，其线性规划模型如下： f-2在c·mw z=Z-2a,X+4 i=1,2.…、m;k=1,2,…,s =1 Z=Z i=1,2.….m (1) 0≤x≤f j=1.2,….n;k=↓2.…，s 0≤Z≤d i=1.2,…,m;k=2,3,…,s+1 其中，s一计划周期阶段数目；n一产品数日；m一资源数目；d-第k阶段对第i种资 源的仓库存贮上限i=L,2,…,m;k=2.3.…s+1:g,一第k阶段第i种资源的移动量（如 果>0，则表明运到仓库；如果q<0,表明从仓库运出)i=1,2,…,m;k=1.2,,sZ-第 i种资源仓库初期库存量i=1,2,…,m;a,一生产单位第j种产品所需第i种资源的数量i=1, 1995-07-15收稿第·作者男33岁副教授博士

第 卷 增 刊 望肠 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 。 曲 期 存在不 确定性 干扰 的生 产计划 — 库存控制过程最优化 高学东 武森 北 京科技大学 管理 学 院 ， 北 京 侧洲〕 摘要 给 出 了在存在 不确 定性 干扰 的情 况下 ， 生 产计划 一 库存 控 制 过 程 最 优 化 的 动态 提 法 在 此 基 础上 提 出 了一 个在 线克服 不 确定性 干扰寻 求最优控制的实用 算法 关键词 生 产计 划 一 库存控制 ， 不 确定性 干 扰 ， 最优化 中图分类号 多 阶段 生产计 划 一 库存控制 过程 的优化 问题属动态管理过 程 优 化 问题 迄 今 为止 对这 个 问题 的数学模 型描述 可 分 为两种 静态 的数学规划模型川 假定干扰 因素具有某 种 统计 特性 比 如服 从正 态分 布 ， 利 用 概率论 的方法 对其进行研究 “ 上 述 两种描述方 法 在处理 不确 定 性 干扰 问题 上 的弱点是 或者 完全不 考虑 干 扰 因 素 的影 响 ， 或 者 对不 确 定 性 干 扰 因 素做 不 合理 的数学假设 在 实际 的管理 过程 中 ， 干扰 因素带有很大 的不 确定性 ， 使 得 无 法 用 常规 的结 构 化方 法 来处理 这些 因素 的影 响 本 文模拟 人 处 理 不 确 定 性 十 扰 的 思 路 ， 提 出 了 一 个 动 态 的 计算方 法 ， 来 求解存在 不 确 定 性 干 扰 因 素 的生 产 计 划 一 库存 控 制 优 化 问 题 由 这 个 思 路 在 文 献 中成 功地解 决 了一类存在 不 确定性 干扰系统的反 馈最 优 化控制 问题 不存在干扰情况 下 的生产计划一 库存控 制优化 问题 研 究 多 阶段 多产 品生 产 计 划一 库 存 控 制 过 程 问题 在 资 源 库 存 量 、 产 品 生 产 量 的 约 束 下 ， 寻求总 收 益 最 大 ， 其 线 性 规 划 模 型 如 下 门 一凰善酬 一 凡 刁 十 ’ 一 刁 一 冬 “ 讨 “ ， 一 ， ， 尸 毛 毛 万 人 刁 毛 才 · … ， … ， 爪 二 一 · … 其 中 ， 、 一 计 划 周 期 阶段 数 目 一 产 品 数 目 。 一 资 源 数 目 衅一 第 阶 段 对 第 种 资 源 的仓库存贮上 限 ， ， … ， 。 ， ， … ， 、 】 斌 一 第 阶段 第 种 资 源 的 移 动 量 如 果 才 ， 则 表 明运 到 仓库 如果 试 ， 表 明从 仓库运 出 ， ， … ， 。 人 ， ， … ， 、 刁一 第 种 资源 仓库初 期库存 量 ， ， … ， 。 一 生 产单位第 种 产 品 所 需 第 种 资源 的数量 二 ， 卯 一 一 收稿 第 作 者 男 岁 副教 授 博 士 DOI ：10．13374／j ．issn1001—053x．1996．s1．008

Vol.18 高学东等：存在不确定性干扰的生产计划一库存控制过程最优化 ·31· 2,…,m;j=1,2,…,n;C-生产单位第j种产品的收益j=1,2,…,n;-第k阶段第j种产品 的生产量上限j=12,…,m;k=12,…,3,变量为：-第k阶段第j种产品的计划生产量j=1,2, …,;k=1,2,…,SZ-第k阶段初第i种资源仓库中的数量i=1,2,…,n;k=2,3,…,s+1. 2存在不确定性干扰情况下的生产计划一库存控制优化问题 2.1模型 在存在不确定性干扰的情况下，模型化为： p=22CX·mx k--1 Z+1=Z-2a,+q+w时i=1,2m:k=1,2,.s Z=Z i=1,2,…,m (2) 0≤x≤f j=1,2,….n;k=1,2,…,s 0≤Z≤d i=1,2,…,m;k=2,3,…,s+1 其中w-第k阶段不确定性干扰引起的库存变化量i=1,2,…,m;k=1,2,…,3 取仓库作为控制对象，用库存量描述系统状态，生产计划量为控制变量，引人矩阵及向量： B=(-api=1,2,….m;j=1,2,…,n,C=(C:j=1,2,…,ny q(t)=(gii=1,2,…,m)yi=1,2.,s,w(t)=(w,i=1,2,…,myt=1,2.…,s d(t,=(d,i=l,2,,m)/t=2,3.…,s+1,Z(t)=(Z,i=1,2,…,m)yt=0,1,…,s+1 f)=(f,j=1,2,…,n八t=1,2,…,s,u(t)=(x,j=1.2,…,n)t=1.2,…,s 则上述问题化为如下控制问题： F=∑C'u0)→max Z(t+1)=Z)+Bu()+q(t)+w(t)t=1.2.…,s;Z(1)=Z(0) 0≤Z)≤d(t)t=2.3.…,s+1 (3) 0≤u(t)≤ft)t=1,2,…,s 对于模型(3)，因为(t)t=1,2.…,s为不确定量，因此该模型无法直接求解. 2.2存在不确定性干扰情况下生产计划一库存控制最优化的动态提法 将问题(3)嵌入下列问题： )Ca()-max Zt+1)=Z)+Bu(t)+q(01=k,k+1,…,s;Z(k)=Zk) 0≤Z(t)≤d(t)t=k+1,k+2,…、s+1 (4) 0≤u(t)≤ft)1=k,k+l1,、s 其中Z(1)=AOZk)k=2,3,…,S通过对实际系统当前状态的测量得到.对任一固定的k, 解决问题(4)得uK),k+I),,S. 定义对某一在线的生产计划一库存控制过程，对任一阶段k,在线求解问题(4).序列 (I),u2),…,us,称为问题(3)在所受干扰下的在线最优控制

高学 东等 存在不 确定性 干扰 的生 产计划 一 库存 控制过程最优化 · · ， “ ‘ ， 一 ， ， 一 ” 一 生产单位第 种产 品 的收益 一 ， ， … ， 。 广一 第 阶段第 种产品 的生产量 上 限 ， 一 ” ， 一 ， 变量为 对 一 第 阶段第 种产品的计划生产量 么 … ， 代 二 ， ， … ， 孔 一 第 阶段初第 种 资源仓库 中的数量 ， ， … ， 峨 ， ， … ， 、 十 存在不确定性干 扰情况下 的生产计划 一 库存控制优化 问题 模型 在存在 不 确定性 干扰 的情 况下 ， 模 型 化为 八 “ 一凰善以 一 才 ’ 才一 艺 ，对 、 卜 洲 刁 蕊 对毛 关 人 毛 才 蕊尹 ， ， … ， ， 胡 ， … ， ， ， … ， ， ， … ， 其 中 耐 一 第 阶段 不确 定性 干 扰 引起 的库存变化量 ， ， … ， ， ， … ， 取仓库作 为控制 对象 ， 用库存量 描述 系统状态 ， 生产计 划量 为控制变量 ， 引人矩阵及向量 一 ， ， ， … ， ， ， … ， ， 砚 ， ， … ， ‘ 叮 ， ， ， ’ “ ， ’ ， ， … ， ， ， ， ， … ， 。 ‘ ， ， … ， ‘ ， ， ， ， … ， ’ ， ， … ， ， ， ， ， … ， ‘ ， ， … ， 、 天 ‘ ， ， ， … ， ‘ ， ， … ， ， 一 衬 ， ， ， … ， ‘ 一 ， ， … ， 则 上 述 问题 化 为 如 下 控 制 问题 艺 ‘ ‘ 一 叮 簇 蕊 ， ， … ， 毛 。 毛 ， ， … ， ， ‘ ’ · ， 对 于 模 型 ， 因 为 、， ， ， … ， 为不 确 定 量 ， 因 此 该 模 型 无 法 直 接 求 解 存 在 不 确 定 性 干 扰 情 况 下 生 产 计 划 一 库 存控 制 最 优 化 的 动 态 提 法 将 问题 嵌 入 下 列 问题 。 一 艺 ’ 。 一 「 十 ‘ 一 ‘ 毛 ‘ 毛 “ ‘ 贬 簇 簇 ， ， … ， ， ， 二 ’ ， 其 中 二 ， ，… ， ￡ 通 过 对实际系 统 当前 状 态 的 测 量 得 到 对任 一 固 定 的 ， 解决 问题 得 堆， ， 。 堆，、 ， … ， 。 ’ 眯， 定 义 对某 一 在 线 的生 产 计划 一 库 存 控 制过 程 ， 对任 一 阶段 ， 在 线 求 解 问 题 序 列 。 ” ’ ， 。 ， ， … ， 。 乍， ， 称 为 问题 在所受 干扰下 的在线最优 控制

·32. 北京科技大学学报 1996年 从以上分析可知，当前控制问题的解考虑了前一阶段不确定性干扰因素的影响，其方法是 通过后一阶段最优控制问题的初始状态来处理前一阶段的不确定性干扰.这样，求解存在不 确定性干扰的管理过程优化问题，就转化成求解多个不存在干扰的优化问题. 2.3算法步骤 据上述最优控制的定义及思路，生产计划一库存控制问题在存在不确定性干扰的情况 下转化为解决连续出现的静态优化问题(4).据此思想给出算法步骤如下：stp1.赋初值 k=1,Z(1)=Z0少step2.求问题(4)的最优生产量k),w(k+1),…,u(s),在 u(k)及不确定性干扰作用下得下阶段期初库存量Z(k+I)(通过实际测量得到方stp3. 取Z(k+1)=Z(k+l);step4.若k=s,转stcp5,否则k=k+L,转step2;step5.取°(k)= wk)k=1,2,,5.w为问题(3)的最优控制，相应最优目标函数值F=∑C0 2.4数值例子 以在6个月内用2种资源生产4种产品的管理过程为例，给出上述存在不确定性干扰的生 产计划一库存控制问题的求解过程.相应于问题(3)，具体参数为 3455\ 资源消耗矩阵 /-3-4-5-5 2211P 即B= （-2-2-1-1上收益向量C=(90.60,150,100y 期初库存量Z0)=(60.40.即Z(1)=Z0)=(60.40;资源仓车移动量4(1)=(80.40)'，q(2)= (70,30),9(3)=(90.40)',4(4)=(230.100)',q(5)=(130.50)',q4(6)=(25,80):资源库存量上限 d2)=(90.90),d3)=(100,100)',d(4)=(70,10),d5)=(120.30)',d6)=(150,60)',d7)=(25. 22)；生产量上限1)=(10,30,20.10)'、2)=(14.30.15.20)、3)=(11,40,20.40)、f4)=(30,20. 10,40),5)=(15,30,10.20),f6)=(20.30.10.30)'. k=1:求得"(1)=(10,15,10.0)、(2)=(14.4,1.0)，u(3)=(11,11,4.0y.u4)=(30 15,5.0),u(5)=(15,10.3.0,u"6)=(20.12.5.0,0:Z2)=(0.20y.Z3)=(7.13y,Z4)=(0,5y, Z(5)=(55,10),Z6)=(85,7),Z(7=(0.22)'. 问题(3)在不存在干扰情况下的最优控制为w"(),“(2),,"(6),相应总收益F= 165000.最优库存状态为Z(2).Z(3),…,Z(7),其变化轨迹见图1、图2中实线. 一无1找桥况·-为找情况) 山，40 十 30 2.30) 一无干扰情况 一有干扰情况 (7,22) 206 20m41050 A 10 -1371 0 4.分之5060) 23 4 6 图1资源1库存量变化 图2资源2库存量变化 由于不确定性十扰的影响，下阶段期初库存量不是Z`(2),而是实测得到的☑2)=(50,30以. k=2:求得4(2)=(14.7.10,0)'、u(3)=(11,13.0,0)、w(4)=(30,10,50)u(5) =(15,10,5.0、6)=(20,12.5.3.0)；测得Z(3)=(40.10)'. k=3:求得4(3)=(11.5.8.0)，4(4)=(30,20,10,0)，u(⑤)=(15,10.0,0)

· · 北 京 科 技 大 学 学 报 望入 年 从 以 上 分 析可 知 ， 当前控制 问题 的解 考虑 了前一 阶段 不确定性 干扰 因素的影 响 ， 其方法是 通 过后 一 阶段 最 优控 制 问题 的初始状态来处 理 前 一 阶段 的 不 确 定 性 干 扰 这 样 ， 求 解 存 在 不 确定性 干扰 的管理 过 程 优化 问题 ， 就转化成求解 多个不存在 干扰 的优 化 问题 算法步骤 据 上 述最 优 控制 的定 义 及 思 路 ， 生 产 计 划一 库 存 控 制 问题 在 存 在 不 确 定 性 干 扰 的情 况 下 转化 为解 决连续 出现 的静态优 化 问题 据 此 思 想 给 出 算 法 步 骤 如 下 赋 初 值 ， 求 问 题 的 最 优 生 产 量 “ 人， ， 双 ‘ 衣， ， … ， “ 左， ， 在 ‘ 及 不 确 定 性 干 扰 作 用 下 得 下 阶 段 期 初 库 存 量 通 过 实 际 测 量 得 到 取 若 ， 转 否 则 ， 转 取 。 ，味 一 ， ， … ， 、 。 为 问题 的 最 优控 制 ， 相 应 最 优 目标 函 数值 厂 一 艺 数值例子 以 在 个 月 内用 种 资源 生 产 种产 品 的管理过程 为例 ， 给 出上 述 存 在 不 确 定 性 干 扰 的生 产 计划一 库存 控 制 问题 的求解过 程 相 应 于 问题 ， 具体参数为 资源 ‘肖耗 矩 阵 一 一 一 一 期 初 库存 量 ， ‘ ， 即 ， ‘ ， 仔 ， ‘ ， 心 ， ‘ 一 、 、 ， · 一 一 少收 益 间 量 一 ， “ ， ‘ ， ‘ ‘ 资源 仓库移动量 守 ， ‘ ， 仔 勺乙气 一 ‘了、、 一 幼日曰卜 ， ‘ ， 守 ，， ， ‘ ， ，乏 资源库存量 上 限 ’ ， ， ， ’ 二 ， ‘ ， ， ‘ ， 生 产量 上 限 一 ， ， ， ’ ， ‘ ， ， ， ， ‘ ， ， ， ‘ ， ， 式 ， ， ‘ ， ， ， ‘ ， 月 ， ， 一。 ， ‘ 一 求 得 ’ ‘，， ， ， ， ‘ ， 。 ’ ‘” 产 ， ’ ， 。 ’ ‘” ， ， ， ’ ， ’ “ ， ‘ ， “ ” 一 ， ， ， ’ ， 。 ’ “ 戈 ， ， ， ‘ ’ ， ’ ， ’ ， ’ ， 欢 ， ‘ ， ， ‘ ， ， ‘ ， ’ ， ‘ 问 题 在 不 存 在 干 扰 情 况 下 的最 优 控 制 为 ’ ， ， … ， ’ ， 相应总收益 最 优 库存状态 为 ’ ， 才 ， … ， ， 其 变化轨迹 见 图 、 图 中实线 —无二 干扰情况 一 有 十抗情 况 】 — 苟 ‘ 吕 口 界 ‘ 图 资源 库存量变化 图 资源 库存量变化 由于 不 确 定 性 于扰 的影 响 ， 下 阶段 期 初 库存 量 不 是 ‘ ， 而是 实测 得 到 的双 一 ， ‘ 二 求得 “ ’ ‘ ， ， ， ， ‘ ， 。 “ ， ， ， ， ， “ “ ， ， ， ， ， “ ” ， ， ， ‘ ， 。 ’ 一 求得 ， ， 。 ’ ‘，， ‘ 测得 ， ’ ， ， “ ’ ‘ ， ， ， ， ‘ ， “ ’ ‘，， ， ， ， ‘

Vol.18 高学东等：存在不确定性干扰的生产计划一库存控制过程最优 33 u(6)=(20.5.5,7,0):测得Z(4)=(40,10)' k=4:求得u9(4)=(30,10,6,0),u(5)=(1520,4,0),u(6)=(20,5,8,0);测得 2(5)=(41,0). k=5:求得u9(5)=(15,10,0,0),u9(6)=(20,6.5,5,0；测得Z6)=(74,0. k=6:求得u6(6)=(20,8.5.1,0) 从而对于问题(3)，在不确定性干扰影响下最优解为u°，u1)=(10,15,10,0以，u(2)=(14, 7,10,0),u3)=(11,5,8,0)',u4)=(30,10,6,0)',u5)=(15,10,0,0),46=(20.8.5.1.0y,相 应F=176800.库存量变化如图1、图2，收益变化见图3. 实际上，我们假定了在最后一个阶段上无 20r 800) 干扰，即w(S=0.这个假设在实际生产过程中 —一无干扰情况 的情况是：若生产阶段为$，一般要在前s一1个 16=二有干忧情况 6151209 5131700 阶段寻求最大收益，而在最后一个阶段做设备 12 00- 9500)3 9 检修或生产调整，即最后一个阶段的生产一般 (6,11500) 不做优化考虑，只需安全正常生产即可， 2.33000: 4.72000 (3.49500 在本例中，在第6阶段若按不存在干扰模 4 型求得的最优解生产，则第1种原料消耗量为 r Z6)+4(6)-Z(7)=85+25-0=110;而由于不 图3收益图线 确定性干扰的作用使Z,(6)=74.故第6阶段可用库存量为Z(6)+q,(6)=74+25=99,已不能保 证按不存在干扰模型求得的最优生产量来进行.从这个意义上讲，本文的方法更符合实 际情况， 参考文献 1克鲁舍夫斯基AB.经济数学模型方法手册.北京：清华大学出版社，1986 2布赖森AE,何毓琦.应用最优控制.北京：国防工业出版社，1982 Dynamic Method for Solving Process Control Problem of Productive Planning and Material Inventory under the Influence of Indefinite Disturbance Gao Xuedong Wu Sen School of Management Science.USTB.Beijing 100083.PRC ABSTRACT A dynamic formulation is presented for solving optimal process control problem of productive planning and material inventory under the influence of indefi- nite disturbance.Based on the formaulaiton,a practical algorithm is provided.A nu- merical example is given. KEY WORDS productive planning and material inventory control,indefinite dis- turbance,optimazation

高学 东等 存在 不 确定性 干扰 的生 产计划 一 库存控制过程最优 · · “ 气， ， ， ， ‘ 测得 ， ‘ 天 求得 。 ’ ， ， ‘ ， “ ’ ， ， ， ‘ ， “ ‘ ， ， ， 几 测 得 ， ‘ 求得 “ ’ ‘匀 ， ， ， ‘ ， “ ’ ‘匀 ， ， 刀 ‘ 测 得 ， ‘ 求 得 。 ， ， ， ， ‘ 从而 对于 问题 ， 在不确定性 干 扰 影 响 下 最 优 解 为 “ ” ， ” ， ， ， ’ ， “ “ ， ， ， ‘ ， “ ， ， ， ‘ ， ’ ， ， ， ‘ ， “ ， ， ， ‘ ， “ ， ， ， ‘ ， 相 应 “ 库存量 变化如 图 、 图 ， 收益 变化见 图 实 际上 ， 我们假 定 了 在 最 后 一 个 阶段 上 无 甘‘ ‘ 吸 干扰 ， 即 这 个 假 设 在 实 际 生 产 过 程 中 的情 况是 若 生产 阶段 为 、 ， 一般要 在 前 一 个 阶段 寻 求最 大 收益 ， 而 在 最 后 一 个 阶段 做 设 备 检修 或生 产调 整 ， 即最后 一 个 阶段 的 生 产 一 般 不做 优 化考虑 ， 只 需 安全 正 常生 产 即可 在 本例 中 ， 在第 阶段若按不存在 干扰模 型求 得 的最 优解 生 产 ， 则第 种 原料 消耗量 为 城 一 了 一 而 由于 不 图 收 益 图 线 确 定 性 干 扰 的 作 用 使 二 ， 故第 阶段 可 用库存量 为 ， ， 已 不 能保 证 按 不 存 在 干 扰 模 型 求 得 的最 优 生 产 量 来 进 行 从 这 个 意 义 上 讲 ， 本 文 的 方 法 更 符 合 实 际情况 参考文献 克鲁舍夫斯基 经 济数学 模型 方法 手册 北 京 清华大学 出版社 ， 布 赖森 ， 何毓琦 应用 最 优控制 北 京 国 防工 业 出版社 ， 而 川 加 少 “ 及月 优 ， ， 瓦旧 ， ， 渊 ， 以 万 ， ， 以服