3）单变量（一维）的正态分布密度函数定义为：(x-u)220p(x) :eexp-8<X<8V2元012元0曲线如图示：①u=-1,0=0.5；②u=0，0=1：③u=1,0=2p(t)p(t)p(t)u=-1μ=0μ=1g=10=20=0.5Ix4230x2-2-10x1-2-1021-2-1
3）单变量（一维）的正态分布 密度函数定义为： ( ) = − − = − − − e x x p x x , 2 1 ( ) 2 1 exp 2 1 ( ) 2 2 2 2 曲线如图示： ①μ= -1，σ=0.5 ； ②μ= 0，σ=1 ； ③μ= 1，σ=2
一维正态曲线的性质：曲线在x轴的上方，与x轴不相交。1（2）曲线关于直线x=u对称（3）当x=u时，曲线位于最高点。（4）当x<u时，曲线上升：当x≥u时，曲线下降并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近p(x)（5）μ一定时，曲线0,>02的形状由确定。越2大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散：越小。曲线越“瘦高”。x表示总体的分布越集中。0
一维正态曲线的性质： （2）曲线关于直线 x =μ对称。 （3）当 x =μ时，曲线位于最高点。 （4）当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降.并且当曲 线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。 （1）曲线在 x 轴的上方，与x轴不相交。 （5）μ一定时，曲线 的形状由σ确定。σ越 大，曲线越“矮胖”，表 示总体的分布越分散； σ越小。曲线越“瘦高”。 表示总体的分布越集中。 0 x p(x) 1 2 1 2
4）3g规则0.683,当k=1时Plu-ko≤x≤u+ko)=/0.954,当k=2时当k=3时0.997，p(x)即：绝大部分样本都落在了均值u附近士3g的范围内，1因此正态密度曲线完全可由均值和方差来确定，常简记为：x1p(x)~N(u,o)u-koμμ+ko
= = = − + = 当 时 当 时 当 时 0.997, 3 0.954, 2 0.683, 1 k k k P k x k 4）3σ规则 即：绝大部分样本都落在了 均值μ附近±3σ的范围内， 因此正态密度曲线完全可由 均值和方差来确定，常简记 为： ( ) 2 p(x)～ N , 0 x p(x) − k + k
(x-μu)12gp(x)=exp2元g2元05）多变量（n维）正态随机向量密度函数定义为：(2ayicp ep/-1(x-M)c-(x-m)p(X)=式中. X-[x,.x,]' ; M-[m,...m,]';dioi为协方差矩阵，是对称正定矩阵C=独立元素有n（n+1)/2个ginnC：协方差矩阵C的行列式。多维正态密度函数完全由它的均值M和协方差矩阵C所确定，简记为：p(X)～N(M,C)
( ) 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 1 exp 2 1 ( ) − − = − = − x e x p x 5）多变量（n维）正态随机向量 密度函数定义为： 式中： ； ； T 1 , , n X = x x T 1 , , M = m mn |C|：协方差矩阵C的行列式。 多维正态密度函数完全由它的均值 M 和协方差矩阵C所 确定，简记为：p(X)～N( M , C ) = 2 2 1 2 1 2 11 n nn n C ( ) ( ) ( ) = − − − X M C − X M C X T 1 2 1 2 2 1 exp 2 1 ( ) n p 为协方差矩阵，是对称正定矩阵， 独立元素有 n(n +1) 2 个；
X2P(X)AMX2XX1a(b)以二维正态密度函数为例：等高线（等密度线）投影到xox2面上为椭圆，从原点O到点M的向量为均值M。椭圆的位置：由均值向量M决定：椭圆的形状：由协方差矩阵C决定
以二维正态密度函数为例： 等高线（等密度线）投影到x1ox2面上为椭圆，从原点O到 点M 的向量为均值M。 椭圆的位置：由均值向量M决定； 椭圆的形状：由协方差矩阵C决定。 x1 p(X) x2 O （a） （b） x1 x2 O · M