1、估算地毯花边的宽。 地毯花边的宽x(m),满足方程(8-2x)(5-2x)=18 也就是:2x2-13x+11=0 你能求出x吗? (1)x可能小于0吗?说说你的理由:x不可能小于0,因为x表示地毯的宽度 (2)x可能大于4吗?可能大于2.5吗?为什么? x不可能大于4,也不可能大于2.5,xx4时,5-2x<0,x>2.5时,5-2x<0. (3)完成下表 0.5 从左至右分别11,4.75,0,-4,-7,-9 (4)你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴交流。 地毯花边1米,另,因8-2x比5-2x多3,将18分解为6×3,8-2x=6,x=1 2、例题讲枳 例:梯子底端滑动的距离x(m)满足(x+6)2+72=103 也就是x2+12x-15=0 (1)你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? (2)x的整数部分是几?十分位是几? x2+12x-15 所以1<x<1.5 进一步计算 十十 所以1.1<x<1.2 因此x的整数部分是1,十分位是1 注意:(1)估算的精度不适过高。(2)计算时提倡使用计算器 、巩固练习: 1、判断下列方程是否为一元二次方程,如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项: (1)2x2+3x+5 (2)(x+5)(x+2)=x2+3x+1 (3)(2x-1)(3x+5)=-5 (4)(3x+1)(x-2)=-5x 2、把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 3、关于x的方程(k-3)x2+2x-1=0,当k时,是一元二次方程 4、试找出五个连续整数,使前三个数的平方和等于后两个数的平方和: 如果设五个连续整数中的第一个数为x,那么后面四个数依次可表示为 根据题意可得方程: 5、判断下列方程哪些是一元二次方程 (1)4x2-5x-1=x (2)9x2-5=0 (3)-+x-5=3
1、估算地毯花边的宽。 地毯花边的宽 x(m)，满足方程 (8―2x)(5―2x)=18 也就是：2x2―13x+11=0 你能求出 x 吗？ （1）x 可能小于 0 吗？说说你的理由；x 不可能小于 0，因为 x 表示地毯的宽度。 （2）x 可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？为什么？ x 不可能大于 4，也不可能大于 2.5, x>4 时，5―2x<0 , x>2.5 时， 5―2x<0. （3）完成下表 x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 2x2―13x+11 从左至右分别 11，4.75，0，―4，―7，―9 （4）你知道地毯花边的宽 x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。 地毯花边 1 米，另，因 8―2x 比 5―2x 多 3，将 18 分解为 6×3，8―2x=6，x=1 2、例题讲析： 例：梯子底端滑动的距离 x（m）满足(x+6)2 +72 =102 也就是 x 2 +12x―15=0 （1）你能猜出滑动距离 x(m)的大致范围吗？ （2）x 的整数部分是几？十分位是几？ x 0 0.5 1 1.5 2 x 2 +12x―15 -15 -8.75 -2 5.25 13 所以 1<x<1.5 进一步计算 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x 2 +12x―15 -0.59 0.84 2.29 3.76 所以 1.1<x<1.2 因此 x 的整数部分是 1,十分位是 1 注意：（1）估算的精度不适过高。（2）计算时提倡使用计算器。 三、巩固练习： 1、判断下列方程是否为一元二次方程，如果是说明二次项及二次项系数、一次项及一次项系数和常数项： （1）2x2 +3x+5 （2）（x+5）（x+2）=x 2 +3x+1 （3）（2x-1）（3x+5）=-5 （4）（3x+1）（x-2）=-5x 2、把方程(3x+2)2 =4(x-3)2 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 3、关于 x 的方程（k-3）x 2 +2x-1=0，当 k 时，是一元二次方程。 4、试找出五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和： ； 如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为 、 、 、 ，根据题意可得方程： 5、判断下列方程哪些是一元二次方程 （1）4x2－5x－1=x (2) 9x4－5=0 (3) x 1 +x－5=3
(4)ax2+(b-1)x+c=0(a≠0)(5)5(x-1)2=5x2(6) 6、判断关于x的方程x2-nx(x-n-1)=5x是不是一元二次方程,如果是,指出其二次 项系数,一次项系数及常数项。 7、如果关于x的一元二次方程:x2-2(a+1)x+a2=0有两个整数根,a为整数,且12<a<60,求这个方程的两个根。 四、小结:估计方程的近似解可用列表法求,估算的精度不要求很高。 五、作业: 1、五个连续整数,前三个数的平方和等于后两个数的平方和,你能求出这五个连续整数吗? 2、一个面积为120平方米的矩形苗圃,它的长比宽多2米,求苗圃的周长? 3、一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必须在距水面5m以前完成规定的动作,并且调 整好入水姿势,否则就容易出现失误。假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系: h=10+2.5t-5t2,那么他最多有多长时间完成规定的动作? 4、已知两个数的和为10,积为9,求这两个数 5、把方程2x(x-3)=(x+1)(x-2)+3化成ax2+bx+c=0的形式后a,b,c的值分别是( A.3、7、1 B.2、-5、-1 C.l、-5、-1 6、方程①x2-1=x;②2x2-y-1=0;③3x2--+1=0;④=1中.其中是一元二次方程的是() B.①③④ D.①② 7、方程x2=x的解是 B.1或-1 D.1或0 8、在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形图。如果要使整个挂图的面积是
(4) ax2 +(b－1)x+c=0 (a≠0) (5) 5(x－1)2 =5x2 (6) 1 0 2 1 + = − x 6、判断关于 x 的方程 x 2－nx(x－n－1)=5x 是不是一元二次方程，如果是，指出其二次 项系数，一次项系数及常数项。 7、如果关于 x 的一元二次方程：x2－2(a+1)x+a2=0 有两个整数根，a 为整数，且 12＜a＜60，求这个方程的两个根。 四、小结：估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。 五、作业： 1、五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个连续整数吗？ 2、一个面积为 120 平方米的矩形苗圃，它的长比宽多 2 米，求苗圃的周长？ 3、一名跳水运动员进行 10m 跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面 5m 以前完成规定的动作，并且调 整好入水姿势，否则就容易出现失误。假设运动员起跳后的运动时间 t(s)和运动员距水面的高度 h(m)满足关系： h=10+2.5t-5t2 ,那么他最多有多长时间完成规定的动作？ 4、已知两个数的和为 10，积为 9，求这两个数。 5、把方程 2x(x-3)=(x+1)(x-2)+3 化成 ax2+bx+c=0 的形式后,a,b,c 的值分别是（ ） A.3、7、1 B.2、-5、-1 C.1、-5、-1 D.3、-7、-1 6、方程①x 2 -1=x; ②2x2 -y-1=0; ③3x2 - x 1 +1=0; ④ 1 5 2 = x 中.其中是一元二次方程的是（ ） A. ①④ B. ①③④ C.① D. ①② 7、方程 x 2=x 的解是（ ） A.1 B.1 或-1 C.0 D.1 或 0 8、在一幅长 80cm，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图。如果要使整个挂图的面积是
5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么满足的方程是( A.x2+130x-1400=0 x2+65x-350=0 C.x2-130x-1400=0 元二次方程的一般形式是 二次项是 一次项系数是。 10、方程3(x2-1)=x的二次项系数是 次项是 常数项是 根据题意,列出方程 (1)有一面积为54平方米的长方形,将它的一边剪短5米,另一边剪短2米,恰好变成一个正方形,这个正 方形的边长是多少? (2)三个连续的整数两两相乘,再求和,结果为242,这三个数分别是多少? 12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项: 方程 般形式二次项系数|一次项系数|常数项 3x2=5x-1 (x+2)(x-1)=6 4-7x2=0 3、关于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0 时是一元二次方程;当k时是一元一次方程 14、关于x的方程(k--)x2+(m-3)x-1=0,是一元二次方程。则k和m的取值范围分别为什么? 15、把下列方程化成一般形式,并写出它的二次项、一次项、常数项: (1)9x2-4x=5 (2)(x-7)(4x+3)=(x-1) §2、2用配方法求解方程 教学目标 、会用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程 2、理解配方法,会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程 体会转化的数学思想,用配方法解一元二次方程的过程 教学重难点:理解并掌握配方法,能够灵活运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。如何利用等式的性 质进行配方?
5400cm2，设金色纸边的宽为 xcm，那么满足的方程是 （ ） A.x2+130x-1400=0 B.x2+65x-350=0 C.x2 -130x-1400=0 D.x2 -65x-350=0 9、一元二次方程的一般形式是 ，二次项是 ，一次项系数是 。 10、方程 3(x2 -1)=x 的二次项系数是 ，一次项是 ，常数项是 。 11、根据题意，列出方程： （1）有一面积为 54 平方米的长方形，将它的一边剪短 5 米，另一边剪短 2 米，恰好变成一个正方形，这个正 方形的边长是多少？ （2）三个连续的整数两两相乘，再求和，结果为 242，这三个数分别是多少？ 12、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 13、关于 x 的方程（k 2 -1）x 2 +2（k-1）x+2k+2=0 当 k 时是一元二次方程；当 k 时是一元一次方程。 14、关于 x 的方程（k- 2 3 ）x 2 +(m-3)x-1=0，是一元二次方程。则 k 和 m 的取值范围分别为什么？ 15、把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项： （1）9x2－4x=5 (2)(x－7)(4x+3)=(x－1)2 §2、2 用配方法求解方程 一．教学目标： 1、会用开平方法解形如(x+m)2=n (n≥0)的方程； 2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。 二．教学重难点：理解并掌握配方法，能够灵活运用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程。如何利用等式的性 质进行配方？ 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3x2 =5x-1 (x+2)(x-1)=6 4-7x2 =0
三.概念: 配方法:通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二闪方程的方法称为配方法 2配方法一般步骤: (1)方程ax2+bx+c=0(a≠0)两边同时除以a将二次项系数化为1 (2)将所得方程的常数项移到方程的右边 (3)所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方 4)配方,化成(x+a)2=b (5)开方。当b≥0时,x=-a±√b;当b<0时,方程没有实数根。 四.教学程序: 、复习 1、解下列方程: (2)(x+2)2=16 2、什么是完全平方式? 利用公式计算 (1)(x+6)2 (2)(x-)2 注意:它们的常数项等于一次项系数一半的平方 3、解方程:(梯子滑动问题) x2+12x-15=0 新授 1、引入:像上面第3题,我们解方程会有困难,是否将方程转化为第1题的方程的形式呢? 2、解方程的基本思路(配方法) 如:x2+12x-15=0转化为 两边开平方,得 x+6=± x1=V51-6 x2=-√51-6(不合实际) 因此,解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n的形式,它的一边是一个完全平方式,另一边 是一个常数,当n≥0时,两边开平方便可求出它的根 3、讲解例题 例1:解方程:x2+8x-9=0 分析:先把它变成(x+m)2=n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解。 解:移项,得:x2+8x=9 配方,得:x2+8x+42=9+42 (两边同时加上一次项系数一半的平方) 即:(x+4)2=25 开平方,得:x+4=±5 即:x+4=5,或x+4=-5 所以:x1=1,x2=-9 、巩固练习: 1、解下列方程: (1)(2-x)2=3
三．概念： 1.配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法 2.配方法一般步骤： （1） 方程 0( 0) 2 ax + bx + c = a 两边同时除以 a,将二次项系数化为 1. （2） 将所得方程的常数项移到方程的右边。 （3） 所得方程的两边都加上一次项系数一半的平方 （4） 配方，化成 x + a = b 2 ( ) （5） 开方。当 b 0 时， x = −a b ；当 b<0 时，方程没有实数根。 四．教学程序： 一、复习： 1、解下列方程： （1）x 2=9 （2）(x+2)2=16 2、什么是完全平方式？ 利用公式计算： （1）(x+6)2 （2）(x－ 1 2 ) 2 注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。 3、解方程：（梯子滑动问题） x 2+12x－15=0 二、新授： 1、引入：像上面第 3 题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第 1 题的方程的形式呢？ 2、解方程的基本思路（配方法） 如：x 2+12x－15=0 转化为 (x+6)2=51 两边开平方，得 x+6=± 51 ∴x1= 51 ―6 x2=― 51 ―6(不合实际) 因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)2=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边 是一个常数，当 n≥0 时，两边开平方便可求出它的根。 3、讲解例题： 例 1：解方程：x 2+8x―9=0 分析：先把它变成(x+m)2=n （n≥0）的形式再用直接开平方法求解。 解：移项，得：x 2+8x=9 配方，得：x 2+8x+42=9+42 （两边同时加上一次项系数一半的平方） 即：(x+4)2=25 开平方，得：x+4=±5 即：x+4=5 ，或 x+4=―5 所以：x1=1，x2=―9 三、巩固练习： 1、解下列方程： （1）（2-x）2 =3 （2）（x- 2 ）2 =64 （3）2（x+1）2 = 2 9
(4)x2-8x+9=0 (5)x2 2、配方:填上适当的数,使下列等式成立: (1)x2+12x+ (2)x2-12x+ (3)x2+8x+ X- 若(x+1)2=4,则 若x2+2x+1=4,则x= 若x2+2x=3,则x 4、填上适当的数,使下列等式成立: x2+12x+ x2+8 5、利用配方法快速解下列两个方程 2x-35=0 5x2-15x-10=0 6、方程y2-4=2y配方,得 A(y+2)2=6B.(y-1)2=5C.(y-1)2=3 D.(y+1)2=3 四、小结 (1)什么叫配方法? (2)配方法的基本思路是什么? (3)怎样配方? 五、作业 1、如图,在一块长35m、宽26m的矩形地面上,修建同样宽的两条互相垂直的道路,剩 35m 余部分种花草,要使剩余部分面积为850m2,道路的宽应为多少? (第1题) 2、解下列方程 (2)x2+4x=10 (3)x2-6x=11 (4)x2-2x-4=0 (5)x2-4x-12=0 (6)x2-10x+25=7
（4）x 2 -8x+9=0 （5）x 2 - 3 7 x=2 2、配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x 2+12x+ =(x+6)2 （2）x 2―12x+ =(x― ) 2 （3）x 2+8x+ =(x+ ) 2 3、若 x 2 =4，则 x= .若(x+1)2 =4，则 x= .若 x 2 +2x+1=4，则 x= .若 x 2 +2x=3，则 x= . 4、填上适当的数，使下列等式成立： x 2 +12x+ =(x+6)2 ; x 2 -4x+ =(x- ) 2 ; x 2 +8x+ =(x+ ) 2 . 5、利用配方法快速解下列两个方程： x 2 +2x-35=0 5x2 -15x-10=0 6、方程 y 2 -4=2y 配方，得（ ） A.(y+2)2=6 B. (y-1)2=5 C. (y-1)2=3 D. (y+1)2=-3. 四、小结： （1）什么叫配方法？ （2）配方法的基本思路是什么？ （3）怎样配方？ 五、作业： 1、如图，在一块长 35m、宽 26m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩 余部分种花草，要使剩余部分面积为 850m2，道路的宽应为多少？ 2、解下列方程： (1)x2 +12x+25=0 (2)x2 +4x=10 (3)x2 -6x=11 （4）x 2 -2x-4=0 （5）x 2 -4x-12=0 （6）x 2 -10x+25=7 26m 35m （第 1 题）