∴∠DEC=∠ECF=∠CFD=90 ∴四边形CFDE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形) 又∵DE=DF(已证) 四边形CFDE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形) 例2:已知:如图点A'、B、C'、D分别是正方形ABCD四条边上的点,并且A'=B'=CC=D 求证:四边形A'B'CD’是正方形 A 分析:法一:①先证明四边形ABCD是菱形②再证明四边形ABCD有一个角是直角 法二:①先证明四边形ABCD是矩形②再证明四边形ABCD有一组邻边相等 证明:∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=BC=CD=DA 又∵AA=BB=CC=DD DA=AB=BC=CD ∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∵.△AAD≌△BBA≌△CCB≌△DDC AD=AB=BC=CD ∴四边形ABCD是菱形 又∵∠ADA=∠BAB,∠AAD+∠ADA=90° ∴∠AAD+∠BAB=90° ∵∠DAB'=180°—(∠AAD+∠BA`B')=90 四边形ABCD是正方形 例3:如图:EG、FH过正方形ABCD的对角线的交点OEG⊥FH求证四边形EFGH为正方形 解答:∵正方形 ABCD EG⊥FH ∠OBE=45°,DB=ACOA=OB.∠AOH=90°-∠AOE=∠BOE ∴AAOH≌ABOE(ASA).∴OH=OE 同理OE=OF=OG=OH 四边形EFGH是平行四边形∴FH=EG EG⊥FH 四边形EFGH为正方形 、巩固练习
∴ ∠ DEC=∠ECF=∠CFD=90°, ∴四边形 CFDE 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）， 又∵ DE=DF（已证） ∴四边形 CFDE 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 例 2：已知：如图点 A'、B'、C'、D'分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA'=BB'=CC'=DD' 求证：四边形 A'B'C'D'是正方形 分析：法一：①先证明四边形 A′B′C′D′是 菱形②再证明四边形 A′B′C′D′有一个角是直角 法二：①先证明四边形 A′B′C′D′是 矩形②再证明四边形 A′B′C′D′有一组邻边相等。 证明：∵四边形 ABCD 是正方形 ∴AB=BC=CD=DA 又∵A`A=B`B=C`C=D`D ∴D`A=A`B=B`C=C`D ∵∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C` AD`=AB`=BC`=CD` ∴四边形 A`B`C`D`是菱形 又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90° ∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 ° ∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90° ∴四边形 A`B`C`D`是正方形 例 3：如图：EG 、FH 过正方形 ABCD 的对角线的交点 O,EG⊥FH,求证四边形 EFGH 为正方形 解答： ∵ 正方形 ABCD EG⊥FH ∴∠OAH＝∠OBE＝45º， DB=AC OA＝OB, ∠AOH＝90º－∠AOE＝∠BOE, ∴⊿AOH≌⊿BOE﹙ASA﹚.∴ OH＝OE. 同理 OE＝OF＝OG ＝ OH, ∴四边形 EFGH 是平行四边形 ∴ FH=EG ∵EG⊥FH ∴四边形 EFGH 为正方形。 2、巩固练习
1、如图,分别延长等腰直角△OAB的两条直角边AO和BO,使AO=OC,BO=OD 求证:四边形ABCD是正方形 2、矩形ABCD中,四个内角的平分线组成四边形EMFN,判断四边形EMFN的形状,并说明原因 3、判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题? 对角线相等的菱形是正方形。( ②、对角线互相垂直的矩形是正方形。() ③、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。() ④、四条边都相等的四边形是正方形。() ⑤、四个角都相等的四边形是正方形。() ⑥、四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形。() ⑦、正方形一定是矩形。() ⑧、正方形一定是菱形。() ⑨、菱形一定是正方形。() ⑩、矩形一定是正方形。() 4、已知:如图,正方形ABD中, CFCD M⊥AC连结CM则∠DC=∠B∠M= ∠B. 5、在正方形ABC中,AB=12cm,对角线AC、BD相交于O,则△ABO的周长是() A.12+12√2B.12+6√2C.12+√2D.24+62
１、如图，分别延长等腰直角△OAB 的两条直角边 AO 和 BO，使 AO=OC，BO=OD 求证：四边形 ABCD 是正方形 ２、矩形 ABCD 中，四个内角的平分线组成四边形 EMFN，判断四边形 EMFN 的形状,并说明原因: 3、判断下列命题哪些是真命题、哪些是假命题？ 对角线相等的菱形是正方形。 （ ） ②、对角线互相垂直的矩形是正方形。（ ） ③、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。（ ） ④、四条边都相等的四边形是正方形。（ ） ⑤、四个角都相等的四边形是正方形。（ ） ⑥、四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形。（ ） ⑦、正方形一定是矩形。（ ） ⑧、正方形一定是菱形。（ ） ⑨、菱形一定是正方形。（ ） ⑩、矩形一定是正方形。（ ） 4、已知：如图，正方形ABCD 中，CM=CD，MN⊥AC，连结CN，则∠DCN=_____=____∠B，∠MND=_______=_______∠B. 5、在正方形 ABCD 中，AB=12 cm，对角线 AC、BD 相交于 O，则△ABO 的周长是（ ） A.12+12 2 B.12+6 2 C.12+ 2 D.24+6 2
作业 1、在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E,使CE=CA,连接AE交CD于F,求∠AFD的度数 D 变式:1、已知如下图,正方形ABCD中,E是CD边上的一点,F为BC延长线上一点,CECF (1)求证:△BEC≌△DFC;(2)若∠BEC=60°,求∠ED的度数 2:如图,E为正方形ABCD的BC边上的一点,CG平分∠DCF,连结AE,并在CG上取一点G,使BGAE求证:AE⊥EG 3、P为正方形ABC内一点,PA1,PBP2,P=3,求∠APB的度数 4、(海南省)如图,P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点(P与A、C不重合),点E在射线BC上,且 PE=PB. (1)求证:①PE=PD;②PE⊥PDA (2)设AP=x,△PBE的面积为y求出y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围:
3、作业 1、在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E，使 CE=CA,连接 AE 交 CD 于 F，求 AFD 的度数。 变式：1、已知如下图，正方形 ABCD 中，E 是 CD 边上的一点，F 为 BC 延长线上一点，CE=CF. (1)求证：△BEC≌△DFC；(2)若∠BEC=60°，求∠EFD 的度数. 2：如图，E 为正方形 ABCD 的 BC 边上的一点，CG 平分∠DCF，连结 AE，并在 CG 上取一点 G，使 EG=AE.求证：AE⊥EG. 3、P 为正方形 ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求∠APB 的度数. 4、（海南省）如图，P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB. （1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD； （2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y.求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；
5、如图,四边形ABCD为正方形,以AB为边向正方形外作等边三角形ABE,CE与DB相交于点F,则∠AFD= 6、(哈尔滨)若正方形ABCD的边长为4,E为BC边上一点,BE=3,M为线段AE上一点,射线BM交正方形的 边于点F,且BF=AE,则BM的长为 E 7、正方形的面积是二,则其对角线长是 8、E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,求∠EAD的度数 9、如图,正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点O是正方形ABCD的中心,正方形OMNP绕O点旋转, 证明:无论正方形OMNP旋转到何种位置,这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值,并求这个定值
5、如图，四边形 ABCD 为正方形，以 AB 为边向正方形外作等边三角形 ABE，CE 与 DB 相交于点 F，则 AFD = 。 6、（哈尔滨）若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 边上一点，BE=3，M 为线段 AE 上一点，射线 BM 交正方形的 一边于点 F，且 BF=AE，则 BM 的长为 。 7、.正方形的面积是 3 1 ，则其对角线长是________. 8、E 为正方形 ABCD 内一点，且△EBC 是等边三角形，求∠EAD 的度数. 9、如图，正方形 ABCD 与正方形 OMNP 的边长均为 10，点 O 是正方形 ABCD 的中心，正方形 OMNP 绕 O 点旋转， 证明：无论正方形 OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值． A B C P D E
D 10、E是正方形ABCD对角线AC上一点,EF⊥CDEG⊥AD,垂足分别为F、G,求证:BE=FG。 11、已知Rt△ABC中,∠C=90°,CD平分∠ACB,交AB于D,DF//BC,DE/AC,求证:四边形DECF为正方形 B 第二章一元二次方程 §2,1认识一元二次方程 教学目标: 1、经历方程解的探索过程,增进对方程解的认识,发展估算意识和能力。 2、渗透“夹逼”思想 教学重点难点:用“夹逼”方法估算方程的解;求一元二次方程的近似解 概念:(一)、一元二次方程定义 含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程 (二)、一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0),它的特征是:等式左边是一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中 叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数:c叫做常数项 四.讲课过程 1、什么叫一元二次方程?它的一般形式是什么?一般形式:ax2+bx+c-0(a≠0) 指出下列方程的二次项系数,一次项系数及常数项 (1)2x2-x+1=0 (3)x2-x=0 (4) x2=0 二、新授
10、E 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点， EF CD EG AD ⊥ ⊥ , , 垂足分别为 F、G，求证：BE=FG。 11、已知 Rt ABC 中， = C 90 ，CD 平分 ACB ,交 AB 于 D，DF//BC,DE//AC，求证：四边形 DECF 为正方形。 第二章 一元二次方程 §2,1 认识一元二次方程 一．教学目标： 1、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 2、渗透“夹逼”思想 二．教学重点难点：用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。 三．概念：（一）、一元二次方程定义 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。 （二）、一元二次方程的一般形式 0( 0) 2 ax + bx + c = a ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零，其中 2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 四．讲课过程 一、复习： 1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax 2 +bx+c-0(a≠0) 2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。 （1）2x2―x+1=0 (2)―x 2 +1=0 (3)x2―x=0 (4)― 3 x 2 =0 二、新授：