证明(1) E5(x) 若区域D既是X-型x=vl(y B 又是Y-型,即平行于 坐标轴的直线和L至 x=y,y) 多交于两点 Cy=p(r) D={(x,y)q1(x)≤p≤q2(x,≤x≤b} D={(x,y)v1(y)≤x≤v2(y),c≤y≤a}
证明(1) 若区域 D既是 X − 型 又是 Y − 型,即平行于 坐标轴的直线和L 至 多交于两点. y x o D a b cd C E ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y ( ) y = 1 x ( ) y = 2 x A B {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 x y 2 x a x b {( , ) ( ) ( ), } D = x y 1 y x 2 y c y d
00 d v200)80 dxdy= dy vi(y)ax =w2(,y)y-(m),y [ang(x,yd-上Q(x,y)d YIu Q(x,y+」Q(x,y)d CBE y2(y) t o(x, y)dy L 同理可证 aP dxdy=k, P(x,y)dx
dx xQ dxdy dy xQ yy dc D = ( ) ( ) 21 = − dc dc Q( ( y), y)dy Q( ( y), y)dy 2 1 y x od ( ) 2 x = y D c CE ( ) 1 x = y = − CBE CAE Q(x, y)dy Q(x, y)dy = + CBE EAC Q(x, y)dy Q(x, y)dy = L Q ( x, y )dy 同理可证 = − L D dxdy P x y dx yP ( , )
两式相加得∫(ab)-+b 证明(2) D. L 若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, D 将D分成三个既是X一型又是A Y一型的区域D1,D2,D3 00 aP )dxdy Dandy ax a +D2+O ex a
两式相加得 = + − L D dxdy Pdx Qdy yP xQ ( ) 证明(2) 若区域D由按段光 滑的闭曲线围成.如图, L L1 L2 L3 D D 1 D 3 D 2 将 D分成三个既是X −型又是 Y −型的区域D1 ,D2 ,D3 . + + − = − 1 2 3 ( ) ( ) D D D D dxdy yP xQ dxdy yP xQ