数学的力量牙利数学家波约等人创立并经黎曼等人发展的非欧几何学，高斯曾称这种几何为“星空几何”，罗巴切夫斯基也坚信自已发现的新几何总有一天“可以像别的物理规律一样用实验来检验”，爱因斯坦的广义相对论恰恰揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最精彩的例子之一爱因斯坦的广义相对论后来又有了很大的发展，这些发展大都也与数学密切相关，可以说是物理学家和数学家共同努力的结果：最突出的如英国剑桥大学应用数学系霍金教授，霍金用数学方法严格证明了爱因斯坦方程中奇点的021存在性，并据而发展了宇审大爆炸理论和黑洞学说，这些理论深刻地影响着人类的时空观和宇宙观，在社会公众中引起了极大的兴趣，霍金于2002年国际数学家大会期间在中国北京、杭州等地做通俗报告讲解他的宇审理论，可以说在当时公众中引起了一场不小的数学热20世纪数学应用与物理学的另一项经典成果是量子力学数学基础的确立。我们知道，20世纪初，普朗克、爱因斯坦和玻尔等创立了量子力学，但到1925年为止，还没有一种量子理论能以统一的结构来概括这一领域已经积累的知
七彩数学识，当时的量子力学可以说是本质上相互独立的、有时基至相互矛盾的部分的混合体，1925年有了重要进展，由海森堡建立的矩阵力学和由薛定聘发展的波动力学形成了两大量子理论，而进一步将这两大理论融合为统一的体系，便成为当时科学界的当务之急：恰恰在这时，数学又起了意想不到但却是决定性的作用，1927年，希尔伯特和冯·诺伊曼等合作发表了论文《论量子力学基础》，开始了用积分方程等分析工具来统一量子力学的努力：在随后两年中，冯·诺伊曼又进一步利用他从希尔伯特关于积分方程的工作中提炼出来的抽象希尔伯特022空间理论，去解决量子力学的特征值问题并最终将希尔伯特的谱理论推广到量子力学中经常出现的无界算子情形，从而奠定了量子力学的严格的数学基础，1932年，冯·诺伊曼发表了总结性著作《量子力学的数学基础》，完成了量子力学的公理化现在越来越清楚，希尔伯特20世纪初关于积分方程的工作以及由此发展起来的无穷维空间理论，确实是量子力学的非常合适的数学工具，量子力学的奠基人之一海森堡后来说：“量子力学的数学方法原来就是希尔伯特积分方程
数学的力量理论的直接应用，这真是件特别幸运的事情！而希尔佰特本人则深有感触地回顾道：“无穷多个变量的理论研究，完全是出于纯粹数学的兴趣，我基至管这理论叫谱分析，当时根本没有预料到它后来会在实际的物理光谱理论中获得应用”，抽象的数学成果最终成为其他科学新理论的仿佛是事先定做的工具，在20世纪下半叶又演出了精彩的一幕，这就是大范围微分几何在统一场论中的应用：广义相对论的发展，逐渐促使科学家们去寻求电磁场与引力场的统一表述，这方面第一个天胆的尝试是数学家外尔在0231918年提出的规范场理论，外尔自已称之为“规范不变几何”：统一场论的探索后来又扩展到基本粒子间的强相互作用和弱相互作用.1954年，物理学家杨振宁和米尔斯（R.L.Mills）提出“杨-米尔斯理论”，揭示了规范不变性可能是所有四种（电磁、引力、强、弱）相互作用的共性，开辟了用规范场论来统一自然界这四种相互作用的新途径：数学家们很快就注意杨一来尔斯理论所需要的数学工具早已存在，物理规范势实际上就是微分几何中纤维丛上的联络，20世纪三四十年代以来已经得到深人的研究不仅如
无彩数学此，人们还发现规范场的杨-来尔斯方程是一组在数学上有重要意义的非线性偏微分方程1975年以来，对杨-米尔斯方程的研究取得了许多重要结果这里值得一提的是，对微分儿何纤维丛理论作出重大贡献的数学家中，恰恰也有一位华裔学者，他就是现代微分几何大师陈省身：早在1943~1944年在普林斯顿高等研究所作研究员时，陈省身就在微分几何领域解决了当时“最重要和最困难”的问题一一给出了高斯-博内公式一个新的内蕴证明，进而发现了“陈示性类”，将微分几何带入了一个新纪元．当杨振宁0241954年发表关于规范场的研究结果时，杨和陈先后几个时期都生活在同一城市，又是好友，时常讨论各自的工作，开始却都没有意识到他们的工作相互间有密切的关系20世纪60年代未期，杨振宁察觉到物理学中的规范场强度和数学中的黎曼几何曲率有极密切的关系：经过一番努力，他终于弄明白了微分儿何的纤维丛和其上的“联络”等基本概念，并分析出麦克斯韦理论和非阿贝尔规范场论与纤维丛的关系，读懂了陈省身-韦伊定理，杨振宁说他在搞清楚这个深奥美妙的定理后，真有一种触电的感
数学的力量觉，忽然间领悟到，客观的宇宙奥秘与纯粹按优美这一价值观发展出来的数学观念竟然完全吻合，他在一次纪念爱因斯坦诞生一百周年的会议上讲道：“在1975年，明白了规范场和纤维丛理论的关系之后，我开车到陈省身教授在伯克利附近的艾尔塞雷托（ElCerrito）寓所．我们谈了许久，谈到朋友、亲人以及中国，当话题转到纤维丛时，我告诉陈教授，我终于从西蒙斯那里明白了纤维丛理论和陈省身一韦伊定理的美妙，我说，物理学的规范场正好是纤维丛上的联络，而后者是在不涉及物理世界的情况下发展出来025的，这实在令我惊异，我还加了一句：这既使我震惊，也令我迷惑不解，因为你们数学家是凭空梦想出这些概念：，他当时马上提出异议：“不，不，这些概念不是梦想出来的，它们是自然的，也是实在的，，”另一位诺贝尔物理学奖获得者温伯格（S.Weinberg）也曾惊叹过数学与物理的巧合，他认为这是不可思议的：当一物理学家得到一种思想时，然后却发现在他之前数学家已经发现了他举的一个典型的例子是关于群论的，群论是19世纪早期法国天才数学家E.伽