第13卷第4期 智能系统学报 Vol.13 No.4 2018年8月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug.2018 D0:10.11992/tis.201703020 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170702.1547.028.html 有向相依网络的可控性研究 陈世明，程运洪，邓兵 (华东交通大学电气与自动化工程学院，江西南昌330013) 摘要：针对相依方式对有向相依网络可控性的影响，研究了不同相依方式下有向相依网络的可控性。通过构 建基本的有向相依网络模型，结合严格可控性理论，给出了可控性评判指标。同时基于经典的有向随机网络和 有向无标度网络，提出3种有向相依网络模型，并研究了随机相依条件下有向相依网络的可控性。随后定义了 3种相依方式，并对比分析了在不同相依方式下有向相依网络的可控性。结果表明，在同等相依比例下，基于 最低入度与最低出度节点相依的有向相依网络可控性最强，而基于最高入度与最高出度节点相依的有向相依 网络可控性最弱，研究成果能够为实际有向相依网络的构建提供有益的参考和指导。 关键词：有向网络；相依网络；相依方式：严格可控性 中图分类号：TP273:N941文献标志码：A文章编号：1673-4785(2018)04-0602-08 中文引用格式：陈世明，程运洪，邓兵.有向相依网络的可控性研究J.智能系统学报，2018,13(4)：602-609 英文引用格式：CHEN Shiming,.CHENG Yunhong,.DENG Bing.Research on the controllability of directed interdependent net-. worksJ].CAAI transactions on intelligent systems,2018,13(4):602-609. Research on the controllability of directed interdependent networks CHEN Shiming,CHENG Yunhong,DENG Bing (School of Electrical and Automation Engineering,East China Jiaotong University,Nanchang 330013,China) Abstract:In this paper,we consider the influence of interdependency on the controllability of interdependent directed networks and investigate the controllability of interdependent directed networks with different types of interdependency. We build a basic interdependent directed network model and generate a controllability index by introducing the theory of exact controllability.We propose three kinds of interdependent directed network models for classical directed ran- dom networks and directed scale-free networks.In addition,we investigate the controllability of the interdependent dir- ected networks with random interdependencies.Based on the results,we propose three kinds of interdependencies and compare and analyze the controllability of interdependent directed networks with different types of interdependency. The results show that,with the same proportion of interdependence,the best controllability of an interdependent direc- ted network is that with an interdependency of lowest in-degree and lowest out-degree nodes,whereas the poorest con- trollability of an interdependent directed network is that with an interdependency of highest in-degree and highest out- degree nodes.The research results provide a useful reference and guidance for the construction of actual interdependent directed networks. Keywords:directed network;interdependent network;interdependency;exact controllability 在过去几十年中，复杂网络研究吸引了许多 力学行为之间关系的研究，通过对复杂网络拓扑 来自不同科学领域学者的关注"。而以往的工作 性质、复杂网络演化模型以及动力学行为的分 主要集中在对网络拓扑结构复杂性及其与网络动 析，揭示出隐藏在复杂系统中的一系列共同规 律，对于把握复杂系统的宏观特征及调节复杂系 收稿日期：2017-03-15.网络出版日期：2017-07-02 统上的动力学行为都将具有重要意义2。随着 基金项目：国家自然科学基金项目(61364017) 通信作者：陈世明.E-mail:shmchen@ecjtu.jx.cn 对复杂网络研究的进一步深入，复杂网络可控性
DOI: 10.11992/tis.201703020 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170702.1547.028.html 有向相依网络的可控性研究 陈世明，程运洪，邓兵 （华东交通大学 电气与自动化工程学院，江西 南昌 330013） 摘 要：针对相依方式对有向相依网络可控性的影响，研究了不同相依方式下有向相依网络的可控性。通过构 建基本的有向相依网络模型，结合严格可控性理论，给出了可控性评判指标。同时基于经典的有向随机网络和 有向无标度网络，提出 3 种有向相依网络模型，并研究了随机相依条件下有向相依网络的可控性。随后定义了 3 种相依方式，并对比分析了在不同相依方式下有向相依网络的可控性。结果表明，在同等相依比例下，基于 最低入度与最低出度节点相依的有向相依网络可控性最强，而基于最高入度与最高出度节点相依的有向相依 网络可控性最弱，研究成果能够为实际有向相依网络的构建提供有益的参考和指导。 关键词：有向网络；相依网络；相依方式；严格可控性 中图分类号：TP273;N941 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2018)04−0602−08 中文引用格式：陈世明, 程运洪, 邓兵. 有向相依网络的可控性研究[J]. 智能系统学报, 2018, 13(4): 602–609. 英文引用格式：CHEN Shiming, CHENG Yunhong, DENG Bing. Research on the controllability of directed interdependent networks[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2018, 13(4): 602–609. Research on the controllability of directed interdependent networks CHEN Shiming，CHENG Yunhong，DENG Bing (School of Electrical and Automation Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China) Abstract: In this paper, we consider the influence of interdependency on the controllability of interdependent directed networks and investigate the controllability of interdependent directed networks with different types of interdependency. We build a basic interdependent directed network model and generate a controllability index by introducing the theory of exact controllability. We propose three kinds of interdependent directed network models for classical directed random networks and directed scale-free networks. In addition, we investigate the controllability of the interdependent directed networks with random interdependencies. Based on the results, we propose three kinds of interdependencies and compare and analyze the controllability of interdependent directed networks with different types of interdependency. The results show that, with the same proportion of interdependence, the best controllability of an interdependent directed network is that with an interdependency of lowest in-degree and lowest out-degree nodes, whereas the poorest controllability of an interdependent directed network is that with an interdependency of highest in-degree and highest outdegree nodes. The research results provide a useful reference and guidance for the construction of actual interdependent directed networks. Keywords: directed network; interdependent network; interdependency; exact controllability 在过去几十年中，复杂网络研究吸引了许多 来自不同科学领域学者的关注[1]。而以往的工作 主要集中在对网络拓扑结构复杂性及其与网络动 力学行为之间关系的研究，通过对复杂网络拓扑 性质、复杂网络演化模型以及动力学行为的分 析，揭示出隐藏在复杂系统中的一系列共同规 律，对于把握复杂系统的宏观特征及调节复杂系 统上的动力学行为都将具有重要意义[2-3]。随着 对复杂网络研究的进一步深入，复杂网络可控性 收稿日期：2017−03−15. 网络出版日期：2017−07−02. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61364017). 通信作者：陈世明. E-mail：shmchen@ecjtu.jx.cn. 第 13 卷第 4 期 智 能 系 统 学 报 Vol.13 No.4 2018 年 8 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Aug. 2018
第4期 陈世明，等：有向相依网络的可控性研究 ·603· 的研究得到了充分的关注与重视。Lin给出了线 响，却未考虑到实际网络中存在有向网络相互依 性时不变控制系统“结构”和“结构可控性”的概 存的情况，例如在交通网络与供电网络中，某 念，并通过研究找到了结构可控性的充要条件； 时间内列车的运行方向是定向的，同时供电系统 Lu等基于线性时不变控制系统的结构可控性 按照列车运行的线路提供电力支持保证其正常运 理论，对实际复杂系统进行了研究并建立了网络 行。在供电网络中某一处发生故障会通过网络之 结构可控性模型：Jia6发现了两种不同的网络控 间的相依关系，将其传递到交通网络中从而导致 制模式：集中式控制和分布式控制；同时基于控 经过这条线路的列车都无法运行，反之亦然。这 制能力和随机抽样算法对有向复杂网络的结构可 样在某个网络中产生的故障会因为彼此间的相依 控性做了进一步探索，随后一些研究者通过改变 关系，使得故障在两个网络之间相互蔓延，从而 连接边的方向实现了网络可控性的优化⑧1。目 对网络造成更大的破坏，由此表明有向相依网络 前复杂网络可控性研究已经取得了众多的重要成 间的相依关系对整个有向相依网络有重要影响。 果，但复杂网络控制方面的研究仍然处于起步阶 为了探究有向网络间相依关系对网络的影响，本 段，还有很多未解决的理论问题，例如结构可控 文首先构建了基本的有向相依网络模型，并结合 性理论无法适用于无向网络、权重网络和时变网 严格可控性理论，给出了基于最少控制输人的可 络的可控性等问题。针对结构可控性理论仅适用 控性评判指标；其次，针对相依方式对有向相依 于有向网络的局限性，Yuan引入了严格可控性 网络可控性产生的影响，基于经典的有向随机网 (exact controllability)的概念，证明完全控制复杂 络(DER)和有向无标度网络(DSF),构建了DER 网络所需的最少控制器数目由网络矩阵特征值的 DER、DER-DSF、DSF-DSF3类有向相依网络模 最大重数决定，并提出了利用矩阵初等变换甄别 型，并研究了随机相依方式下3类网络的可控性 网络中需要被独立控制的节点的方法，通过对大 能：最后，基于随机相依方式下对网络可控性的 量真实网络和模型网络的计算结果表明了严格可 分析，提出了3种有向网络的相依方式：最高入度 控性理论的有效性和实用性；L针对实际网络 与最高出度节点相依(H-HO)、最高入度与最低 的分型特征，运用严格可控性理论对分型网络的 出度节点相依(HⅡ-LO)、最低入度与最低出度节 可控性进行了分析。基于单层有向网络和无可控 点相依(LI-LO),且在既定的3种相依方式下对网 络的可控性进行了仿真分析。 性进行的研究已取得了较大突破。但现实中的网 络通常是相互依存的，例如，公交-地铁网络、电 1有向相依网络可控性 力-通信网络、电力-供水网络等，且通过研究已 经发现相依网络的动态特性如级联失效1刃、扩 1.1有向相依网络 散现象11、演化博弈动力学9、同步性20等，均明 有向相依网络由两个有向子网络（子网络A 显区别于单层网络。怎样合理地控制相依网络将 和子网络B)通过双向连接线连接而成，{A1,A2,…, 是面临的重要挑战。Yuan运用严格可控性理论 Aw}表示子网络A中的节点，节点数为NA:{B,B2,·,Bw} 对多重网络的可控性进行了研究，发现在多关系 表示子网络B中的节点，节点数为Na,子网络之 网中存在主导关系网，其结构和连接权重对于整 间的双向连接线为网络相依边，其余单向连线为 内部边。F表示节点相依比例。F包括Fa和F, 个网络的严格可控性起主导作用；在多层网中， 其中Fa表示子网络A的相依节点数N以占子网络 不同层间的连接方式以及疏密程度对整个网络的 A总节点数Na的比例值，F表示子网络B的相依 严格可控能力都有重要的影响，并且发现在层间 节点数N占子网络B总节点数Ns的比例值，即 加入少量连接能够大大提高整个网络的可控能 FA=N/NA 力。Ni22分析了多层网络中层间连边结构对网 F8=Ni/Ng (1) 络可控性能的影响，研究发现层间连边比例较小 本文仅考虑相依子网络节点数相同的情况， 时，网络最少驱动节点的数目随着连边度相关性 即Na=Ng,且网络为单相依，则有N=N,即FA= 的增加而减小，层间连边同配性强的网络易于控 FB=F。 制；当层间连边比例较大时，则会出现相反的情 如图1所示，定义了简单的有向相依网络模 况，层间连边异配性强的网络易于控制。然而以 型，NA=N6=5,N以=NM=4,FA=FB=0.8,单向箭 上研究仅分析了网络层间的连接方式及网络层间 头实线表示子网络内部连接边，黑色双箭头虚线 连接边的度相关性对无向相依网络可控性的影 表示子网络间的连接线，即网络相依边
的研究得到了充分的关注与重视。Lin[4]给出了线 性时不变控制系统“结构”和“结构可控性”的概 念，并通过研究找到了结构可控性的充要条件； Liu 等 [5]基于线性时不变控制系统的结构可控性 理论，对实际复杂系统进行了研究并建立了网络 结构可控性模型；Jia[6-7]发现了两种不同的网络控 制模式：集中式控制和分布式控制；同时基于控 制能力和随机抽样算法对有向复杂网络的结构可 控性做了进一步探索，随后一些研究者通过改变 连接边的方向实现了网络可控性的优化[8-10]。目 前复杂网络可控性研究已经取得了众多的重要成 果，但复杂网络控制方面的研究仍然处于起步阶 段，还有很多未解决的理论问题，例如结构可控 性理论无法适用于无向网络、权重网络和时变网 络的可控性等问题。针对结构可控性理论仅适用 于有向网络的局限性，Yuan[11]引入了严格可控性 (exact controllability) 的概念，证明完全控制复杂 网络所需的最少控制器数目由网络矩阵特征值的 最大重数决定，并提出了利用矩阵初等变换甄别 网络中需要被独立控制的节点的方法，通过对大 量真实网络和模型网络的计算结果表明了严格可 控性理论的有效性和实用性；Li[12]针对实际网络 的分型特征，运用严格可控性理论对分型网络的 可控性进行了分析。基于单层有向网络和无可控 性进行的研究已取得了较大突破。但现实中的网 络通常是相互依存的，例如，公交–地铁网络、电 力–通信网络、电力–供水网络等，且通过研究已 经发现相依网络的动态特性如级联失效[13-17] 、扩 散现象[18] 、演化博弈动力学[19] 、同步性[20]等，均明 显区别于单层网络。怎样合理地控制相依网络将 是面临的重要挑战。Yuan[21]运用严格可控性理论 对多重网络的可控性进行了研究，发现在多关系 网中存在主导关系网，其结构和连接权重对于整 个网络的严格可控性起主导作用；在多层网中， 不同层间的连接方式以及疏密程度对整个网络的 严格可控能力都有重要的影响，并且发现在层间 加入少量连接能够大大提高整个网络的可控能 力。Nie[22]分析了多层网络中层间连边结构对网 络可控性能的影响，研究发现层间连边比例较小 时，网络最少驱动节点的数目随着连边度相关性 的增加而减小，层间连边同配性强的网络易于控 制；当层间连边比例较大时，则会出现相反的情 况，层间连边异配性强的网络易于控制。然而以 上研究仅分析了网络层间的连接方式及网络层间 连接边的度相关性对无向相依网络可控性的影 响，却未考虑到实际网络中存在有向网络相互依 存的情况，例如在交通网络与供电网络中，某一 时间内列车的运行方向是定向的，同时供电系统 按照列车运行的线路提供电力支持保证其正常运 行。在供电网络中某一处发生故障会通过网络之 间的相依关系，将其传递到交通网络中从而导致 经过这条线路的列车都无法运行，反之亦然。这 样在某个网络中产生的故障会因为彼此间的相依 关系，使得故障在两个网络之间相互蔓延，从而 对网络造成更大的破坏，由此表明有向相依网络 间的相依关系对整个有向相依网络有重要影响。 为了探究有向网络间相依关系对网络的影响，本 文首先构建了基本的有向相依网络模型，并结合 严格可控性理论，给出了基于最少控制输入的可 控性评判指标；其次，针对相依方式对有向相依 网络可控性产生的影响，基于经典的有向随机网 络 (DER) 和有向无标度网络 (DSF)，构建了 DERDER、DER-DSF、DSF-DSF 3 类有向相依网络模 型，并研究了随机相依方式下 3 类网络的可控性 能；最后，基于随机相依方式下对网络可控性的 分析，提出了 3 种有向网络的相依方式：最高入度 与最高出度节点相依 (HI-HO)、最高入度与最低 出度节点相依 (HI-LO)、最低入度与最低出度节 点相依 (LI-LO)，且在既定的 3 种相依方式下对网 络的可控性进行了仿真分析。 1 有向相依网络可控性 1.1 有向相依网络 {A1,A2,··· , AN} NA {B1,B2,··· ,BN} NB FA FB FA N I A NA FB N I B NB 有向相依网络由两个有向子网络 (子网络 A 和子网络 B) 通过双向连接线连接而成， 表示子网络A中的节点，节点数为 ； 表示子网络 B 中的节点，节点数为 ，子网络之 间的双向连接线为网络相依边，其余单向连线为 内部边。F 表示节点相依比例。F 包括 和 ， 其中 表示子网络 A 的相依节点数 占子网络 A 总节点数 的比例值， 表示子网络 B 的相依 节点数 占子网络 B 总节点数 的比例值，即 FA = N I A /NA FB = N I B /NB (1) NA = NB N I A = N I B FA = FB = F 本文仅考虑相依子网络节点数相同的情况， 即 ，且网络为单相依，则有 ，即 。 NA = NB = 5 N I A = N I A = 4 FA = FB = 0.8 如图 1 所示，定义了简单的有向相依网络模 型 ， ， ， ，单向箭 头实线表示子网络内部连接边，黑色双箭头虚线 表示子网络间的连接线，即网络相依边。 第 4 期 陈世明，等：有向相依网络的可控性研究 ·603·
·604· 智能系统学报 第13卷 No min(N)+max(N2) (5) 从而可得 min(N)=1-max(N2) (6) No No 在此定义最小控制比例no为得到外部控制输 入作用节点的最小个数占节点总数的比例，记 min(N) nD = (7) No 图1有向相依网络 由式（⑦）可知：若o越小，系统的可控性就越好。 Fig.1 The interdependent directed network 然而需要确定能够达到控制效果所需的最少 1.2严格可控性 控制输入个数。在这里将最小控制输入个数Wo 在现代控制理论中，如果通过一些控制变量 定义为达到系统可控性要求时，输入矩阵B秩的 的输入能使一个系统从任意初始状态达到理想状 最小值，即 No=min (rank(B)) (8) 态，我们称这个系统是可控的。这里只考虑线性 时不变系统并且假设系统内部未发生动态变化。 若满足状态方程(2)的系统是可控的，那么 由PHB判定定理可知，对矩阵A的任意特征值 有向相依网络状态方程为 (i=1,2,…,2W,下式恒成立： 主=A0+Ba0=Ar0+Ba0 (2) 2N=rank[λI-A,B] (9) 向量x(t)=[x()x2()…xw(t)x()x2(t0…xw(t)] 式中I为单位矩阵。 是系统的2W个节点在t时刻的状态；邻接矩阵 根据矩阵不等式关系得： A=(a)2x2w称为系统矩阵，A1、A2分别表示组成 2N=rank[,I-A,B]≤ rank:I-A]+rank[B] (10) 有向相依网络的两个有向子网络内部节点间的相 进一步得 互作用关系，A12、A21表示两子网络节点之间的相 rank [B]>2N-rank [AI-A] (11) 互作用关系，B=(b)2xw称为输入矩阵(M≤2)， 上式满足恒成立关系，则： 它表示输入信号与网络的连接方式，()= rank [B]>max (2N-rank [I-A]) [41()2)…uu()]F为输入向量。 maxμ(a}=u(a） (12) 定理1对于一个可控系统来说，最少控制 进一步可得 输入个数是系统矩阵特征值中具有最大代数重数 min (rank[B])>max [N-rankiI-A])= 的特征值所对应的几何重数。 max{μ(al=μ(a） (13) 为了有效地衡量有向相依网络的可控性，本 再由N,和特征值几何重数定义可知： 文采用np作为网络可控性能指标，表示为 No=μ(aM) (14) w=为 (3) 式中：μ()为特征值对应的几何重数，μ()为特 式中：N,和2W分别为控制有向相依网络所需的最 征值“对应的几何重数，M是系统矩阵最大代数 少控制输入个数和网络节点总数。no越小，表示 重数所对应的特征值。 有向相依网络的可控性越强。 由Nn的定义可得： Np min(N) (15) 1.3理论分析 对于满足状态方程(2)的系统来说，其节点总 最后可得： 数是不变的且为W=2W,若使得系统满足其可控 =六 (16) 性，需通过外部控制输入作用于系统节点。假设 由此可知，当No越小时，no越小，即有向相依 得到外部控制输入作用的节点个数为N1,未作用 网络的可控性就越好。 的节点个数为N2,则 如图2表示一个有向相依网络，其中子网络 No=N1+N2 (4) 节点数Na=Ns=5,相依节点比例F=2/5=0.4,黑 对于可控系统来说，必然存在一个得到外部 色带箭头线表示子网络内部的有向边，黑色双向 控制输入作用节点的最小个数，记为min(W),使 箭头虚线表示相依边，山、、为控制输入，其数 得系统达到可控要求，并且未作用的节点个数达 量为最小控制输人个数N。由图2的连接关系可 到最大，记为max(W2),得 得系统矩阵A以及特征值：
1.2 严格可控性 在现代控制理论中，如果通过一些控制变量 的输入能使一个系统从任意初始状态达到理想状 态，我们称这个系统是可控的。这里只考虑线性 时不变系统并且假设系统内部未发生动态变化。 有向相依网络状态方程为 x˙ = Ax(t)+ Bu(t) = [ A1 A12 A21 A2 ] x(t)+ Bu(t) (2) x(t)=[x1(t) x2(t) ··· xN(t) x ′ 1(t) x ′ 2(t) ··· x ′ N(t)]T 2N t A = ( ai j) 2N×2N A12 A21 B = ( bi j) 2N×M (M ⩽ 2N) u(t) = [u1(t) u2(t) ··· uM(t)]T 向量 是系统的 个节点在 时刻的状态；邻接矩阵 称为系统矩阵，A1、A2 分别表示组成 有向相依网络的两个有向子网络内部节点间的相 互作用关系， 、 表示两子网络节点之间的相 互作用关系， 称为输入矩阵 ， 它表示输入信号与网络的连接方式， 为输入向量。 定理 1 对于一个可控系统来说，最少控制 输入个数是系统矩阵特征值中具有最大代数重数 的特征值所对应的几何重数。 nD 为了有效地衡量有向相依网络的可控性，本 文采用 作为网络可控性能指标，表示为 nD = ND 2N (3) ND 2N nD 式中： 和 分别为控制有向相依网络所需的最 少控制输入个数和网络节点总数。 越小，表示 有向相依网络的可控性越强。 1.3 理论分析 N0 = 2N N1 N2 对于满足状态方程 (2) 的系统来说，其节点总 数是不变的且为 ，若使得系统满足其可控 性，需通过外部控制输入作用于系统节点。假设 得到外部控制输入作用的节点个数为 ，未作用 的节点个数为 ，则 N0 = N1 +N2 (4) min(N1) max(N2) 对于可控系统来说，必然存在一个得到外部 控制输入作用节点的最小个数，记为 ，使 得系统达到可控要求，并且未作用的节点个数达 到最大，记为 ，得 N0 = min(N1)+max(N2) (5) 从而可得 min(N1) N0 = 1− max(N2) N0 (6) 在此定义最小控制比例nD为得到外部控制输 入作用节点的最小个数占节点总数的比例，记 nD = min(N1) N0 (7) 由式 (7) 可知：若nD越小，系统的可控性就越好。 ND 然而需要确定能够达到控制效果所需的最少 控制输入个数。在这里将最小控制输入个数 定义为达到系统可控性要求时，输入矩阵 B 秩的 最小值，即 ND = min{rank(B)} (8) λi(i = 1,2,··· ,2N) 若满足状态方程 (2) 的系统是可控的，那么 由 PHB 判定定理可知，对矩阵 A 的任意特征值 ，下式恒成立： 2N = rank[λi I− A,B] (9) 式中 I 为单位矩阵。 根据矩阵不等式关系得： 2N = rank[λi I− A,B] ⩽ rank[λi I− A]+rank[B] (10) 进一步得 rank[B] ⩾ 2N −rank[λi I− A] (11) 上式满足恒成立关系，则： rank[B] ⩾ max{2N −rank[λi I− A]} = max i {µ(λi)} = µ ( λ M ) (12) 进一步可得 min(rank[B]) ⩾ max{N −rank[λi I− A]} = max i {µ(λi)} = µ ( λ M ) (13) 再由 ND和特征值几何重数定义可知： ND = µ ( λ M ) (14) µ(λi) λi µ ( λ M ) λ M λ M 式中： 为特征值 对应的几何重数， 为特 征值 对应的几何重数, 是系统矩阵最大代数 重数所对应的特征值。 由 ND的定义可得： ND = min(N1) (15) 最后可得： nD = ND 2N (16) 由此可知，当 ND越小时，nD越小，即有向相依 网络的可控性就越好。 NA = NB = 5 F = 2/5 = 0.4 u1 u2 u3 ND λ 如图 2 表示一个有向相依网络，其中子网络 节点数 ，相依节点比例 ，黑 色带箭头线表示子网络内部的有向边，黑色双向 箭头虚线表示相依边， 、 、 为控制输入，其数 量为最小控制输入个数 。由图 2 的连接关系可 得系统矩阵 A 以及特征值 ： A1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 B5 图 1 有向相依网络 Fig. 1 The interdependent directed network ·604· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷
第4期 陈世明，等：有向相依网络的可控性研究 ·605· 0110100010 可控性，我们在随机相依方式下对连续相依比例 0000100000 的3类有向相依网络的可控性进行了仿真分析。 0001000000 0000000000 0.205 0001001000 A= 0.200 000000110 1 (17) 0000100101 0195 0000000010 1000000000 0.190 0000000001 0.185 1=[1-10001-1000T (18) 50 100150200 通过观察特征值λ可知，系统矩阵最大代数重 (a)F=0.1 数对应的特征值“=0，那么最小控制输入个数： 0.190 No=u(AM)=10-rank(AMI-A)=3 0.185 A.c 0.180 0.175 0.170 OB 0.165 100 150 200 B (b)F=0.2 0.155 图2有向相依网络可控性 0.150 Fig.2 Controllability of the interdependent directed net- 0.145 work 0.140 0.135 2随机相依方式下网络可控性的仿 0.130 真与分析 0.125 0 50 100 150 200 本文基于经典的有向随机网络(DER)和有向 (c)F=0.4 无标度网络(DER),构建了DER-DER、DER-DSF、 0.060 DSF-DSF3类有向相依网络模型。同时在随机相 0.055 依方式下，对不同相依比例的DER-DER网络可 控性进行了独立仿真实验。 0.050 在随机相依方式下，通过对4组不同相依比 0.045 例的DER-DER网络可控性进行多次仿真，其中 0.040 网络规模2N=1000,T为实验次数，T=200:相 50 100150200 依比例为F。从图3(a)中可以发现在相依比例 (dF=0.8 F=0.1时，no在区间[0.184,0.204内出现明显的波 动，即网络可控性在这一范围内出现很大的随机 图3单一相依比例下DER-DER网络的可控性 性；同时结合图3b)、3(c)、3(d)可知，在相依比例 Fig.3 Controllability of DER-DER network with a single dependency ratio F=0.2、0.4、0.8时，o同样在一定范围内出现较 大的波动。这表明，在同一相依比例下，随机的 在随机相依方式下，通过对连续相依比例的 相依方式使得网络可控性表现出明显的差异性， DER-DER、DER-DSF、DSF-DSF这3类有向相依 即有向网络的相依方式直接影响着网络的可控性。 网络的可控性进行仿真，如图4(a)所示，就DER 通过对比以上4组不同相依比例下的网络可 DER有向相依网络而言，随着相依比例F的逐渐 控性发现，随着相依比例F的逐渐增加，no逐渐减 增加，o总体呈现逐渐减小的趋势，但由于相依方 小，即随着相依比例的增加，网络可控性逐渐增强。 式的随机性，DER-DER有向相依网络中存在F2> 为了充分证明相依方式直接影响着有向相依网络 F1,ng>g的情况，同时在图4(b)所示的DER-
A = 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 (17) λ = [ 1 −1 0 0 0 1 −1 0 0 0 ]T (18) λ λ M = 0 ND = µ ( λ M ) = 10−rank(λ M I− A) = 3 通过观察特征值 可知，系统矩阵最大代数重 数对应的特征值 ，那么最小控制输入个数： 。 2 随机相依方式下网络可控性的仿 真与分析 本文基于经典的有向随机网络 (DER) 和有向 无标度网络 (DER)，构建了 DER-DER、DER-DSF、 DSF-DSF 3 类有向相依网络模型。同时在随机相 依方式下，对不同相依比例的 DER-DER 网络可 控性进行了独立仿真实验。 2N = 1 000 Tmax = 200 F F = 0.1 nD [0.184, 0.204] F = 0.2 nD 在随机相依方式下，通过对 4 组不同相依比 例的 DER-DER 网络可控性进行多次仿真，其中 网络规模 ，T 为实验次数， ；相 依比例为 。从图 3(a) 中可以发现在相依比例 时， 在区间 内出现明显的波 动，即网络可控性在这一范围内出现很大的随机 性；同时结合图 3(b)、3(c)、3(d) 可知，在相依比例 、0.4、0.8 时， 同样在一定范围内出现较 大的波动。这表明，在同一相依比例下，随机的 相依方式使得网络可控性表现出明显的差异性， 即有向网络的相依方式直接影响着网络的可控性。 nD 通过对比以上 4 组不同相依比例下的网络可 控性发现，随着相依比例 F 的逐渐增加， 逐渐减 小，即随着相依比例的增加，网络可控性逐渐增强。 为了充分证明相依方式直接影响着有向相依网络 可控性，我们在随机相依方式下对连续相依比例 的 3 类有向相依网络的可控性进行了仿真分析。 nD F2 > F1 n (2) D > n (1) D 在随机相依方式下，通过对连续相依比例的 DER-DER、DER-DSF、DSF-DSF 这 3 类有向相依 网络的可控性进行仿真，如图 4(a) 所示，就 DERDER 有向相依网络而言，随着相依比例 F 的逐渐 增加， 总体呈现逐渐减小的趋势，但由于相依方 式的随机性，DER-DER 有向相依网络中存在 ， 的情况，同时在图 4(b) 所示的 DERA1 A2 A3 A4 A5 B1 B2 B3 B4 B5 u1 u2 u3 图 2 有向相依网络可控性 Fig. 2 Controllability of the interdependent directed network 0 50 100 150 200 0.185 0.190 0.195 0.200 T (a) F=0.1 nD 0 50 100 150 200 0.165 0.170 0.175 0.180 0.185 0.190 T (b) F=0.2 nD 0 50 100 150 200 0.125 0.130 0.135 0.140 0.145 0.150 0.155 T (c) F=0.4 nD (d) F=0.8 0 50 100 150 200 0.040 0.045 0.050 0.055 0.060 T nD 0.205 图 3 单一相依比例下 DER-DER 网络的可控性 Fig. 3 Controllability of DER-DER network with a single dependency ratio 第 4 期 陈世明，等：有向相依网络的可控性研究 ·605·
·606· 智能系统学报 第13卷 DSF有向相依网络与图4(c)所示的DSF-DSF有 0.8 向相依网络中均呈现与图4(a)相同的变化规律， 0.7 即网络可控性在随着相依比例增加而增强的过程 中会出现一定程度的波动，从而表明有向相依网 络的可控性不仅与相依比例有着紧密相关，更与 ▣0.2 有向网络的相依方式有着密不可分的关系，上述 0.1 分析为有向相依网络可控性的研究提供了充分 0.2 0.40.60.8 10 条件。 相依比例F (e)DSF-DSF网络的可控性 图4中，网络规模2W=1000,其中DER网络， 0.55 (K)=2;DSF网络，m=yo=3,(K)=2;嵌入图为在相 依比例F∈[0.3,0.5]内随机相依方式下的网络可 控性。 0.25 米米米米米米 05 0.40 0.10 .3 0.4 0 相依比例F 0.05 ()DSF-DSF网络的可控性细节图 0.2 0.40.6 0.8 1.0 图4连续相依比例下网络的可控性 相依比例F (a)DER-DER网络的可控性 Fig.4 Controllability of the network under continuous de- pendency ratio 0.14 有向相依网络的相依方式及其可 控性对比分析 0.14 基于随机相依方式下对有向相依网络可控性 的分析，本文提出了有向网络之间的3种相依方 0.12 式：最高入度与最高出度节点相依(H-HO)、最高 03 04 0.5 入度与最低出度节点相依(H-LO)、最低入度与 相依比例F (b)DER-DER网络的可控性细节图 最低出度节点相依(LI-LO),同时针对3种相依方 式构建了如图5所示的简单有向相依网络模型并 0.5 分析了其可控性。 90.4 图5中，网络节点总数2N=10,F=0.4。图5(a) 0.3 中最高入度与最高出度节点相依(-HO),N。=3, 山、2、为控制输人；图5b)中最高入度与最低出 0.1 度节点相依(H-LO),No=2,山、为控制输入；(C) 最低入度与最低出度节点相依(LI-LO),o=1, 0.2 0.40.6 0.8 1.0 相依比例F 4,为控制输入。 (C)DER-DSF网络的可控性 米米 0.36 0.34 032 0.30 0.28 03 0.4 0.5 相依比例F (d)DER-DSF网络的可控性细节图 (a)最高入度与最高出度节点相依-HO)
DSF 有向相依网络与图 4(c) 所示的 DSF-DSF 有 向相依网络中均呈现与图 4(a) 相同的变化规律， 即网络可控性在随着相依比例增加而增强的过程 中会出现一定程度的波动，从而表明有向相依网 络的可控性不仅与相依比例有着紧密相关，更与 有向网络的相依方式有着密不可分的关系，上述 分析为有向相依网络可控性的研究提供了充分 条件。 ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ 图 4 中，网络规模 2N=1 000，其中 DER 网络， K =2；DSF 网络，γin=γout=3， K =2；嵌入图为在相 依比例 F∈[0.3, 0.5]内随机相依方式下的网络可 控性。 3 有向相依网络的相依方式及其可 控性对比分析 基于随机相依方式下对有向相依网络可控性 的分析，本文提出了有向网络之间的 3 种相依方 式：最高入度与最高出度节点相依 (HI-HO)、最高 入度与最低出度节点相依 (HI-LO)、最低入度与 最低出度节点相依 (LI-LO)，同时针对 3 种相依方 式构建了如图 5 所示的简单有向相依网络模型并 分析了其可控性。 2N = 10 F = 0.4 ND = 3 u1 u2 u3 ND = 2 u1 u2 ND = 1 u1 图 5 中，网络节点总数 ， 。图 5(a) 中最高入度与最高出度节点相依 (HI-HO)， ， 、 、 为控制输入；图 5(b) 中最高入度与最低出 度节点相依 (HI-LO)， ， 、 为控制输入；(c) 最低入度与最低出度节点相依 (LI-LO)， ， 为控制输入。 可控性能指标nD 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 相依比例 F 可控性能指标nD 0.3 0.4 0.5 0.40 0.45 0.50 0.55 相依比例 F (f) DSF-DSF网络的可控性细节图 (e) DSF-DSF网络的可控性 图 4 连续相依比例下网络的可控性 Fig. 4 Controllability of the network under continuous dependency ratio 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 可控性能指标nD 相依比例 F 0.3 0.4 0.5 0.12 0.14 0.16 可控性能指标nD (b) DER-DER网络的可控性细节图 (a) DER-DER网络的可控性 相依比例 F 可控性能指标nD 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 相依比例 F 可控性能指标nD 0.3 0.4 0.5 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 相依比例 F (d) DER-DSF网络的可控性细节图 (c) DER-DSF网络的可控性 (a) 最高入度与最高出度节点相依(HI-HO) B1 B2 B3 B4 B5 u2 u3 A1 A3 A4 A2 A5 u1 ·606· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷