第12卷第6期 智能系统学报 Vol.12 No.6 2017年12月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Dec.2017 D0:10.11992/tis.201702008 网络出版t地址：http:/kns.cnki.net/cms/detail/23.1538.TP.20171109.1243.002.html 基于二阶邻居事件触发多智能体系统的一致性 夏倩倩，刘开恩'，纪志坚 (1.青岛大学数学与统计学院，山东青岛266071；2.青岛大学自动化与电气工程学院，山东青岛266071) 摘要：针对多智能体系统的平均一致性问题，采用二阶邻居信息设计一致性协议以加速一致性收敛速度。同时，为 了减少系统的通信次数，基于事件控制的方法被用于一致性协议的设计中。首先在固定拓扑网络下研究了多智能体 系统利用二阶邻居信息来加速一致性收敛速度的问题，随后在切换拓扑网络下对类似问题进行了分析。最后，把该 协议应用到数值仿真中，并与只利用一阶邻居信息的协议比较，仿真结果表明所设计的协议能够加快收敛速度。 关键词：一阶动力学方程：多智能体系统；一致性：事件触发；二阶邻居：李雅普诺夫函数：收敛速度；仿真 中图分类号：TP18文献标志码：A 文章编号：1673-4785(2017)06-0833-08 中文引用格式：夏倩倩，刘开恩，纪志坚.基于二阶邻居事件触发多智能体系统的一致性.智能系统学报，2017,12(6：833-840. 英文引用格式：XIA Qianqian,.LIU Kaien,,JI Zhijian..Event-.triggered consensus of multi--agent systems based on second-order neighborsJ.CAAI transactions on intelligent systems,2017,12(6):833-840. Event-triggered consensus of multi-agent systems based on second-order neighbors XIA Qianqian',LIU Kaien',JI Zhijian? (1.School of Mathematics and Statistics,Qingdao University,Qingdao 266071,China;2.School of Automation and Electrical Engin- eering,Qingdao University,Qingdao 266071,China) Abstract:Based on the second-order neighbors'information,consensus algorithm was proposed to accelerate the con- sensus convergence speed for the average consensus problem of multi-agent systems.Meanwhile,the event-based con- trol method was used in the design of consensus algorithm in order to reduce the number of communications in the sys- tems.Firstly,under a fixed topology network,we looked at speeding up the consensus convergence by getting the multi- agent systems to apply information to their second-order neighbors;then,similar problems were analyzed under a switching topology network;finally,the protocol was applied in a numerical simulation and was compared with a pro- tocol that applied information to only the first-order neighbors.The simulation results show that the proposed protocol can accelerate the convergence speed. Keywords:first-order dynamics equation;multi-agent systems;consensus;event-triggering;second-order neighbors; Lyapunov function;convergence rate;simulation 近几年，由于多智能体系统一致性问题在机器 的状态渐近达到一个共同的值。许多学者已经研究 人编队问题山、群集运动问题)等方面得到广泛应 了在拓扑网络、非线性、时滞等约束条件下，以一 阶、二阶或高阶动力学方程为模型的多智能体系统 用，这一问题成为了当前控制领域的研究重点。一 的一致性问题B刀。 致性控制就是设计一个一致性协议使得所有智能体 用基于事件触发控制代替时间触发控制具有十 收稿日期：2017-02-18.网络出版日期：2017-11-09. 基金项目：国家自然科学基金项目(61374062)：山东省自然科学英 分重要的意义。通过与时间触发控制的比较发 才基金项目(ZR2015FM023):中国博士后科学基金面 上项目(2015M571995):青岛市博士后应用研究项目 现，基于事件触发控制在减少通信次数方面具有明 通信作者：刘开恩.E-mail:kaienliu@pku.edu.cn. 显的优点，在多数情况下，基于事件触发控制要优
DOI: 10.11992/tis.201702008 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20171109.1243.002.html 基于二阶邻居事件触发多智能体系统的一致性 夏倩倩1，刘开恩1，纪志坚2 （1. 青岛大学 数学与统计学院，山东 青岛 266071; 2. 青岛大学 自动化与电气工程学院，山东 青岛 266071） 摘 要：针对多智能体系统的平均一致性问题，采用二阶邻居信息设计一致性协议以加速一致性收敛速度。同时，为 了减少系统的通信次数，基于事件控制的方法被用于一致性协议的设计中。首先在固定拓扑网络下研究了多智能体 系统利用二阶邻居信息来加速一致性收敛速度的问题，随后在切换拓扑网络下对类似问题进行了分析。最后，把该 协议应用到数值仿真中，并与只利用一阶邻居信息的协议比较，仿真结果表明所设计的协议能够加快收敛速度。 关键词：一阶动力学方程；多智能体系统；一致性；事件触发；二阶邻居；李雅普诺夫函数；收敛速度；仿真 中图分类号：TP18 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2017)06−0833−08 中文引用格式：夏倩倩, 刘开恩, 纪志坚. 基于二阶邻居事件触发多智能体系统的一致性 [J]. 智能系统学报, 2017, 12(6): 833–840. 英文引用格式：XIA Qianqian, LIU Kaien, JI Zhijian. Event-triggered consensus of multi-agent systems based on second-order neighbors[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2017, 12(6): 833–840. Event-triggered consensus of multi-agent systems based on second-order neighbors XIA Qianqian1 ，LIU Kaien1 ，JI Zhijian2 (1. School of Mathematics and Statistics, Qingdao University, Qingdao 266071, China; 2. School of Automation and Electrical Engineering, Qingdao University, Qingdao 266071, China) Abstract: Based on the second-order neighbors' information, consensus algorithm was proposed to accelerate the consensus convergence speed for the average consensus problem of multi-agent systems. Meanwhile, the event-based control method was used in the design of consensus algorithm in order to reduce the number of communications in the systems. Firstly, under a fixed topology network, we looked at speeding up the consensus convergence by getting the multiagent systems to apply information to their second-order neighbors; then, similar problems were analyzed under a switching topology network; finally, the protocol was applied in a numerical simulation and was compared with a protocol that applied information to only the first-order neighbors. The simulation results show that the proposed protocol can accelerate the convergence speed. Keywords: first-order dynamics equation; multi-agent systems; consensus; event-triggering; second-order neighbors; Lyapunov function; convergence rate; simulation 近几年，由于多智能体系统一致性问题在机器 人编队问题[1] 、群集运动问题[2] 等方面得到广泛应 用，这一问题成为了当前控制领域的研究重点。一 致性控制就是设计一个一致性协议使得所有智能体 的状态渐近达到一个共同的值。许多学者已经研究 了在拓扑网络、非线性、时滞等约束条件下，以一 阶、二阶或高阶动力学方程为模型的多智能体系统 的一致性问题[3-7]。 用基于事件触发控制代替时间触发控制具有十 分重要的意义[8]。通过与时间触发控制的比较发 现，基于事件触发控制在减少通信次数方面具有明 显的优点，在多数情况下，基于事件触发控制要优 收稿日期：2017−02−18. 网络出版日期：2017−11−09. 基金项目：国家自然科学基金项目 (61374062)； 山东省自然科学英 才基金项目 (ZR2015FM023)； 中国博士后科学基金面 上项目 (2015M571995)； 青岛市博士后应用研究项目 通信作者：刘开恩. E-mail：kaienliu@pku.edu.cn.. 第 12 卷第 6 期 智 能 系 统 学 报 Vol.12 No.6 2017 年 12 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Dec. 2017
·834· 智能系统学报 第12卷 于传统的时间触发控制。2013年，X.Y.Meng等o 2017年，王康等20为了研究一阶多智能体系统的一 在固定拓扑网络下针对特定事件设计了一致性协议 致性特点及能控、能观性保持策略，分析了具有时 来探索多智能体系统的一致性问题，随后又提出了 变拓扑结构的多智能体系统在一阶邻居和二阶邻居 在切换拓扑网络下的基于事件的一致性协议。 协议下的一致性速度，并且得出了系统在二阶邻居 2014年，王航飞等四将基于事件触发控制应用到了 议下具有更快的收敛速度的结论：2014年，H.Pan 环形编队问题中：2016年，K.Liu等山基于一致性 等证明了在二阶动力学方程下利用二阶邻居信 理论研究成果研究了一阶和二阶多智能体系统在有 息并不一定能够加速一致性速度，一致性速度还和 向图下基于事件的包容控制问题，基于一定的事 二阶邻居协议的参数有关系。 件，智能体决定何时传递状态给它的邻居，并且利 本文将针对一类一阶多智能体系统的一致性问 用这些采样状态设计了分布式协议，从而使得跟随 题展开研究，通过合理设计事件触发条件和一致性 者最终收敛到领导者所形成的凸包中；Y.Fan等] 协议得到事件触发时刻序列，并获得使系统达到一 对进行周期采样的多智能体系统设计了基于事件一 致性的条件。本文采用的是文献[10]中的研究模型。 致性协议，并且在此基础上设计了自触发一致性协 议来减少通信次数和采样次数；2017年，W.Zhu等 1准备知识 研究了二阶多智能体系统在离散时间情况下的基于 1.1代数图论 事件触发控制的一致性问题，通过自触发方式避免 令G=V,8,A}表示含有n个节点的无向图，其 了观察智能体及其邻居在所有离散时刻的状态；文 中V={,2,…,}表示节点的集合，8≤V×V表示 献[14]针对二阶多智能体系统提出了基于事件触 边的集合，若(wy)∈E,那么v:与y,称为是相邻 发控制的一致性协议，对固定有向拓扑网络下的系 的。N={y,y)∈8，j≠表示节点y的一阶邻居， 统一致性问题进行了分析；2013年，胡春健s) ={k∈N,jeN,k≠i,k≠j》表示节点y,的二阶邻 采用事件驱动控制方法，研究了一类一般线性多智 居。邻接矩阵A=[dinxn定义为：若(y,y)∈8，那么 能体系统的一致性问题，研究方法上不再要求拉普 a=1;否则a=0。由于在无向图G中，a=a, 拉斯矩阵具有对称性，并获得了一类线性多智能体 i≠j,所以A为对称阵。在无向图G中，度矩阵 系统达到一致的充分条件；2016年，D.P.Yang等6 D=diag(d,d2,…,dn)是一个对角阵，其中d,表示节 研究了一般线性多智能体系统在有向图中的基于事 点，的邻居集N,的势。矩阵L=D-A称为与图 件触发控制的一致性问题，基于状态反馈，采用分 G中一阶邻居信息对应的拉普拉斯矩阵。类似地可 布式事件触发一致性协议使得所有智能体都实现了 以定义二阶邻居信息对应的拉普拉斯矩阵。在无 一致性，不需要智能体之间进行连续通信；文 向图G中，L是对称的半正定矩阵，即L=LT≥0，因 献[17]研究了一般线性模型多智能体系统在基于 此它的特征值都是非负实数创，记为1≤2≤…≤ 事件触发情况下的采样数据一致性问题，分别设计 入。对于无向图G,如果两个节点y与y,之间存在一 了固定和切换拓扑情况下的分布式事件触发策略。 组边(，，)，(，，)…，()，则称从节点v到y存 虽然利用一阶邻居信息研究多智能体系统的一 在长度为r的一条路。如果对于G中的任意两个 致性较为普遍，但由于系统的复杂性，为了提高系 顶点都有一条路，则称G为连通图。在连通图中， 统的收敛速率，许多学者开始利用二阶邻居信息对 1=0,2是最小的非零特征值，且1n=[11…1 多智能体系统的一致性问题进行研究。2010年， 为零特征值所对应的特征向量。在无向连通图中， D.Yuan等剧研究了一阶多智能体系统利用二阶邻 1L=0,其中0n=[00…0。 居信息来加速分布式平均一致性的问题，解决了在 1.2模型描述 离散和连续时间情况下的加速平均一致性问题，并 考虑具有n个智能体的多智能体系统，且该系 发现了利用二阶邻居信息要比只使用一阶邻居信息 统由无向图G=V,8,A描述，即每个智能体被描述 的协议收敛速度快；不同于Z.Liu等在2010年利 为图G中的节点，智能体之间的通信用节点间的连 用全局信息对多智能体系统的一致性进行研究的结 接来表示，每个智能体y∈V的状态遵循一阶动力学 果，文中只需要利用一阶和二阶邻居信息来研究一 方程： 阶多智能体系统的一致性问题，结合二阶邻居信息 (0)=(),i=1,2,…,n (1) 和事件触发条件，通过对一阶多智能体系统加速平 式中：x∈R表示第i个智能体的状态，4∈R表示第 均一致性问题的研究来提高网络收敛速度； i个智能体的控制输入，R表示全体实数集
于传统的时间触发控制[9]。2013 年，X.Y.Meng 等 [10] 在固定拓扑网络下针对特定事件设计了一致性协议 来探索多智能体系统的一致性问题，随后又提出了 在切换拓扑网络下的基于事件的一致性协议。 2014 年，王航飞等[1] 将基于事件触发控制应用到了 环形编队问题中；2016 年，K.Liu 等 [11] 基于一致性 理论研究成果研究了一阶和二阶多智能体系统在有 向图下基于事件的包容控制问题，基于一定的事 件，智能体决定何时传递状态给它的邻居，并且利 用这些采样状态设计了分布式协议，从而使得跟随 者最终收敛到领导者所形成的凸包中；Y.Fan 等 [12] 对进行周期采样的多智能体系统设计了基于事件一 致性协议，并且在此基础上设计了自触发一致性协 议来减少通信次数和采样次数；2017 年，W.Zhu 等 [13] 研究了二阶多智能体系统在离散时间情况下的基于 事件触发控制的一致性问题，通过自触发方式避免 了观察智能体及其邻居在所有离散时刻的状态；文 献 [14] 针对二阶多智能体系统提出了基于事件触 发控制的一致性协议，对固定有向拓扑网络下的系 统一致性问题进行了分析；2013 年，胡春健[ 1 5 ] 采用事件驱动控制方法，研究了一类一般线性多智 能体系统的一致性问题，研究方法上不再要求拉普 拉斯矩阵具有对称性，并获得了一类线性多智能体 系统达到一致的充分条件；2016 年，D.P.Yang 等 [16] 研究了一般线性多智能体系统在有向图中的基于事 件触发控制的一致性问题，基于状态反馈，采用分 布式事件触发一致性协议使得所有智能体都实现了 一致性，不需要智能体之间进行连续通信；文 献 [17] 研究了一般线性模型多智能体系统在基于 事件触发情况下的采样数据一致性问题，分别设计 了固定和切换拓扑情况下的分布式事件触发策略。 虽然利用一阶邻居信息研究多智能体系统的一 致性较为普遍，但由于系统的复杂性，为了提高系 统的收敛速率，许多学者开始利用二阶邻居信息对 多智能体系统的一致性问题进行研究。2010 年， D.Yuan 等 [18] 研究了一阶多智能体系统利用二阶邻 居信息来加速分布式平均一致性的问题，解决了在 离散和连续时间情况下的加速平均一致性问题，并 发现了利用二阶邻居信息要比只使用一阶邻居信息 的协议收敛速度快；不同于 Z.Liu 等 [19] 在 2010 年利 用全局信息对多智能体系统的一致性进行研究的结 果，文中只需要利用一阶和二阶邻居信息来研究一 阶多智能体系统的一致性问题，结合二阶邻居信息 和事件触发条件，通过对一阶多智能体系统加速平 均一致性问题的研究来提高网络收敛速度； 2017 年，王康等[20] 为了研究一阶多智能体系统的一 致性特点及能控、能观性保持策略，分析了具有时 变拓扑结构的多智能体系统在一阶邻居和二阶邻居 协议下的一致性速度，并且得出了系统在二阶邻居 协议下具有更快的收敛速度的结论；2014 年，H.Pan 等 [21] 证明了在二阶动力学方程下利用二阶邻居信 息并不一定能够加速一致性速度，一致性速度还和 二阶邻居协议的参数有关系。 本文将针对一类一阶多智能体系统的一致性问 题展开研究，通过合理设计事件触发条件和一致性 协议得到事件触发时刻序列，并获得使系统达到一 致性的条件。本文采用的是文献 [10] 中的研究模型。 1 准备知识 1.1 代数图论 G = {V,E, A} V = {v1, v2,··· , vn} E ⊆ V ×V (vi , vj) ∈ E Ni = {j|(vi , vj) ∈ E, j , i} N 2 i = {k|k ∈ Nj , j ∈ Ni , k , i, k , j} A = [ai j]n×n (vi , vj) ∈ E ai j = 1 ai j = 0 ai j = aji ∀i , j D = diag(d1,d2,··· ,dn) L = D− A L˜ L = L T ⩾ 0 λ1 ⩽ λ2 ⩽ ··· ⩽ λn vi0 vir (vi0 , vi1 ),(vi1 , vi2 ),··· ,(vir−1 , vir ) vi0 vir λ1 = 0 λ2 1n = [1 1 ··· 1]T 1 T n L = 0 T n 0n = [0 0 ··· 0]T 令 表示含有 n 个节点的无向图，其 中 表示节点的集合， 表示 边的集合，若 ，那么 vi 与 vj 称为是相邻 的。 表示节点 vi 的一阶邻居， 表示节点 vi 的二阶邻 居。邻接矩阵 定义为：若 ，那么 ；否则 。由于在无向图 G 中 ， ， ，所以 A 为对称阵。在无向图 G 中，度矩阵 是一个对角阵，其中 di 表示节 点 vi 的邻居集 Ni 的势。矩阵 称为与图 G 中一阶邻居信息对应的拉普拉斯矩阵。类似地可 以定义二阶邻居信息对应的拉普拉斯矩阵 。在无 向图 G 中，L 是对称的半正定矩阵，即 ，因 此它的特征值都是非负实数[ 3 ] ，记为 。对于无向图 G，如果两个节点 与 之间存在一 组边 ，则称从节点 到 存 在长度为 r 的一条路。如果对于 G 中的任意两个 顶点都有一条路，则称 G 为连通图。在连通图中， ， 是最小的非零特征值，且 为零特征值所对应的特征向量。在无向连通图中， ，其中 。 1.2 模型描述 G = {V,E, A} vi ∈ V 考虑具有 n 个智能体的多智能体系统，且该系 统由无向图 描述，即每个智能体被描述 为图 G 中的节点，智能体之间的通信用节点间的连 接来表示，每个智能体 的状态遵循一阶动力学 方程： x˙i(t) = ui(t), i = 1,2,··· ,n (1) 式中：xi ∈ R 表示第 i 个智能体的状态，ui ∈ R 表示第 i 个智能体的控制输入，R 表示全体实数集。 ·834· 智 能 系 统 学 报 第 12 卷
第6期 夏倩倩，等：基于二阶邻居事件触发多智能体系统的一致性 ·835· 设智能体，的事件触发判定条件为 0=-(∑（x)-x心》+∑（x(-x(》= le,(+lh)l服≤σz(d+lh),1=1,2,·(2) kE好 式中：σ：>0，t表示第i个智能体的第r个事件触发 之G,+-xG+h 时刻，且是h的整数倍，h表示所有智能体的采样 高⑨-G+h)+∑)-+m- 周期。e(C+lh)=x(C)-x(C+h)表示智能体y,在最 ∑（xC+m-xC+m》- 近的一个事件触发时刻的状态与当前采样时刻的状 kEN 态的差值，而z(G+h)=∑(x(+h)-x(￠+h)+ A-++Aa-+- kEN 品化+-化+)表示在当前采样时刻，智能 及+-G+a-∑eC+ jeN 体y,的状态与其一阶邻居状态的差值以及智能体 e,+h》-∑x+)-xd+h) ”,的状态与其二阶邻居状态差值的和。 keNp 在每个采样时刻，每个智能体都传递自己的状 eG+m-e+》 态信息给它的一阶邻居和二阶邻居并且也接收来自 (4) 它一阶邻居和二阶邻居的状态信息用于事件检测。 式中：=max{t∈{，r=0,l,…,t≤+hl,=max 如果条件(2)满足，那么智能体v:不需要更新自己 ∈{，r=0,1,…h,t≤t+h,注意此处I的取值可以 的控制输入；否则，y将更新它自己的控制输人并且 是0,1,2，…直到下一事件发生。 通知它的一阶邻居和二阶邻居利用y,当前的状态 由式(4)可得，当t∈[rh,+1)h)时，有 信息来更新它们的控制输入，同时将误差e,(:+lh)置 (t)=-(L+L)x(rh)-(L+L)e(rh) (5) 于零，这时就满足了条件(2)。也即y,的事件触发 式中：x=[x12…xJ,e=[ee2…enJa 时刻为 在无向连通图中，由于L的非对角线元素不大 于零，主对角线元素大于等于零且行和为零，L具有 =t+hinf(l:lle:(t,+h>lt,+h) 相同的性质，容易得到L+具有同样的性质，所以 式中：6=0是初始时刻。很明显，所有测量x()是采 L+L仍为拉普拉斯矩阵。 样状态x)的一个子序列。也就是说，事件触发时 引理1对于半正定对称矩阵AeR,Ya,b∈ 刻{6，，…}s{0,h,2h,…。这意味着事件内部时刻 R",有 化-，r=0,1,…至少是以所有智能体采样时刻 2a'Ab1≤a'Aa+bTAb h为下界。 证明由于A是对称矩阵，所以存在正交矩阵 为了减少符号的复杂程度，定义 U,使得UAUr=A,其中A=diag(d1,2,…,dn),且 (0兰x(,t≤t<t d≥0，i=1,2…,n。记a=Ua,则 即通过在下一个事件出现之前都保持状态不变将离 aT Aa=aUUAUUa=aAa=Aaj+...+a 散时间信号x:(心)转换成分段连续时间信号()。 记B=Ub,则 根据定义的符号，考虑利用二阶邻居信息构 BAb=bUUAU'Ub =BAB=AB+...+B 造一致性协议，由此给出下面的基于事件一致性 由于2β别≤a+,i=1,2,…,n,那么 协议： aAa+bAb=aAa+BAB= a+…+na2+6+…+入S= 4,0=-((,0-,0》+((0-(0》 (3) 1(a+附)+…+(a+β)≥ 2laBl+..+AlB.l)=2laTABI 2固定拓扑网络下的一致性研究 2la UAUbl=2laTAbl 考虑系统的平均状态： 暂且假设系统具有固定拓扑网络结构，由协议 (3)式得到智能体，的闭环系统为 )=- n 0=-(∑（优0-）+∑（(0-4》 在无向连通图中，(L+)=0,根据协议(3)式 jEN kEN 根据前面定义的e(t+lh)可以得到在t∈[心+h, 得到=20=0=u+i0=0,其 n1 :+h+h)这一时间段内的智能体v,的动力学方程 中0=[t(02(0…元()]P。 如下： 因此，它是时不变的。定义非一致性向量
设智能体 vi 的事件触发判定条件为 ||ei(t i r +lh)||2 2 ⩽ σi ||zi(t i r +lh)||2 2 , l = 1,2,··· (2) σi > 0 t i r t i r ei(t i r +lh) = xi(t i r )− xi(t i r +lh) zi(t i r +lh) = ∑ j∈Ni (xi(t i r +lh)− xj(t i r +lh))+ ∑ k∈N 2 i (xi(t i r +lh)− xk(t i r +lh)) 式中： ， 表示第 i 个智能体的第 r 个事件触发 时刻，且 是 h 的整数倍，h 表示所有智能体的采样 周期。 表示智能体 vi 在最 近的一个事件触发时刻的状态与当前采样时刻的状 态的差值，而 表示在当前采样时刻，智能 体 vi 的状态与其一阶邻居状态的差值以及智能体 vi 的状态与其二阶邻居状态差值的和。 ei(t i r +lh) 在每个采样时刻，每个智能体都传递自己的状 态信息给它的一阶邻居和二阶邻居并且也接收来自 它一阶邻居和二阶邻居的状态信息用于事件检测。 如果条件 (2) 满足，那么智能体 vi 不需要更新自己 的控制输入；否则，vi 将更新它自己的控制输入并且 通知它的一阶邻居和二阶邻居利用 vi 当前的状态 信息来更新它们的控制输入，同时将误差 置 于零，这时就满足了条件 (2)。也即 vi 的事件触发 时刻为 t i r+1 = t i r +hinf{l : ||ei(t i r +lh)||2 2 > σi ||zi(t i r +lh)||2 2 } t i 0 = 0 xi(t i r ) xi(rh) {t i 0 ,t i 1 ,··· } ⊆ {0,h,2h,··· } {t i r+1 −t i r ,r = 0,1,··· } 式中： 是初始时刻。很明显，所有测量 是采 样状态 的一个子序列。也就是说，事件触发时 刻 。这意味着事件内部时刻 至少是以所有智能体采样时刻 h 为下界。 为了减少符号的复杂程度，定义 xˆi(t) ∆ = xi(t i r ), t i r ⩽ t < t i r+1 xi(t i r ) xˆi(t) 即通过在下一个事件出现之前都保持状态不变将离 散时间信号 转换成分段连续时间信号 。 根据定义的符号，考虑利用二阶邻居信息构 造一致性协议，由此给出下面的基于事件一致性 协议： ui(t) = −( ∑ j∈Ni ( ˆxi(t)− xˆj(t))+ ∑ k∈N2 i ( ˆxi(t)− xˆk(t))) (3) 2 固定拓扑网络下的一致性研究 暂且假设系统具有固定拓扑网络结构，由协议 (3) 式得到智能体 vi 的闭环系统为 x˙i(t) = −( ∑ j∈Ni ( ˆxi(t)− xˆj(t))+ ∑ k∈N2 i ( ˆxi(t)− xˆk(t))) e(t i r +lh) t ∈ [t i r +lh, t i r +lh+h) 根据前面定义的 可以得到在 这一时间段内的智能体 vi 的动力学方程 如下： x˙i(t) = −( ∑ j∈Ni (xi(t i r )− xj(t j r ′ ))+ ∑ k∈N2 i (xi(t i r )− xk(t k r ′′ ))) = − ∑ j∈Ni (xi(t i r +lh)− xj(t i r +lh))− ∑ j∈Ni (xi(t i r )− xi(t i r +lh))+ ∑ j∈Ni (xj(t j r ′ )− xj(t i r +lh))− ∑ k∈N2 i (xi(t i r +lh)− xk(t i r +lh))− ∑ k∈N2 i (xi(t i r )− xi(t i r +lh))+ ∑ k∈N2 i (xk(t k r ′′ )− xk(t i r +lh)) = − ∑ j∈Ni (xi(t i r +lh)− xj(t i r +lh))− ∑ j∈Ni (ei(t i r +lh)− ej(t i r +lh))− ∑ k∈N2 i (xi(t i r +lh)− xk(t i r +lh))− ∑ k∈N2 i (ei(t i r +lh)−ek(t i r +lh)) (4) t j r ′ = max{t|t ∈ {t j r ,r = 0,1,··· },t ⩽ t i r +lh} t k r ′′ = max {t|t ∈ {t k r ,r = 0,1,··· },t ⩽ t i r +lh} 0,1,2,··· 式中： ， ，注意此处 l 的取值可以 是 直到下一事件发生。 由式 (4) 可得，当 t ∈ [rh,(r +1)h) 时，有 x˙(t) = −(L+ L˜)x(rh)−(L+ L˜)e(rh) (5) x = [x1 x2 ··· xn] T e = [e1 e2 ··· en] 式中： T ， 。 L˜ L+ L˜ L+ L˜ 在无向连通图中，由于 L 的非对角线元素不大 于零，主对角线元素大于等于零且行和为零， 具有 相同的性质，容易得到 具有同样的性质，所以 仍为拉普拉斯矩阵。 A ∈ R n×n ∀a, b ∈ R n 引理 1 对于半正定对称矩阵 ， ，有 |2a TAb| ⩽ a TAa+ b TAb UAUT = Λ Λ = diag(λ1, λ2,··· , λn) λi ⩾ 0,i = 1,2,··· ,n α = Ua 证明 由于 A 是对称矩阵，所以存在正交矩阵 U ，使得 ，其中 ， 且 。记 ，则 a TAa = a TU TUAUTUa = α TΛα = λ1α 2 1 +···+λnα 2 n 记 β = Ub ，则 b TAb = b TU TUAUTUb = β TΛβ = λ1β 2 1 +···+λnβ 2 n |2αiβi | ⩽ α 2 i +β 2 i 由于 ，i = 1,2,··· ,n，那么 a TAa+ b TAb = α TΛα+β TΛβ = λ1α 2 1 +···+λnα 2 n +λ1β 2 1 +···+λnβ 2 n = λ1(α 2 1 +β 2 1 )+···+λn(α 2 n +β 2 n ) ⩾ 2(λ1 |α1β1 |+···+λn |αnβn |) = 2|α TΛβ| = 2|a TU TΛUb| = 2|a TAb| 考虑系统的平均状态： x¯(t) = 1 n ∑n i=1 xi(t) 1 T n (L+ L˜) = 0 T n x˙¯ = 1 n ∑n i=1 x˙i(t) = 1 n 1 T n x˙(t) = − 1 n 1 T n (L+ L˜)xˆ(t) ≡ 0 xˆ(t) =[ ˆx1(t) ˆx2(t) ··· xˆn(t)]T 在无向连通图中， ，根据协议 (3) 式 得到 ，其 中 。 因此，x¯(t) 它是时不变的。定义非一致性向量 第 6 期 夏倩倩，等：基于二阶邻居事件触发多智能体系统的一致性 ·835·
·836· 智能系统学报 第12卷 6(t)=x(t)-t)l.=x(t)-1: 考虑李雅普诺夫函数 ha.e(rk)(L.+Lxe(rk)-(2h-)x(rh)L+ V()=() (6) L)x(rh)+(2h-)e'(rh)(L+L)e(rh) 即状态的平方和的1/2。 结合事件触发条件(2)得到 引理2(Lasalle不变原理)设C是有界闭集， 从C内出发的系统票=f的解uoCC,若存 o≤2l.-多ruhL+Lrh+ 1 在V:C一R,具有连续一阶偏导数，满足业。 (2hA-(rh)(L+L)e(rh)= ds0。 又设E=d d=0.reC,McE是最大不变集，则当 h.-+2h-j)o.(hL+Lr(rh 当式(8)成立时，有()≤0。 t→oo时，有x(t,o,o)→M。 由于G为连通图，E={x∈R(0=0}=span(ln, 定理1设系统(1)具有连通通信拓扑，采用协 议(3)的系统(1)在事件触发条件(2)的驱动下，若 由Lasalle不变原理可知所有智能体一致收敛。 条件 采样周期h和σ，i=1,2,…,n的选取需要拓扑 1 1 的全局信息人。根据圆盘定理221及d≤(n-1), 0<h≤2元0<om< (7) 最大特征值n的上界可根据n≤2dmax≤2(n-1)确 或者 定。因此，由式()可知，如果每个智能体都知道整 1 4玩，0<oas月 3 3-4han 个系统的个体数量n,那么采样周期h和σ，可以根 2元sh (4hd.-1) (8) 据下式选择： 成立，其中σmx=max{c,i=1,2,…,,则所有智能 1 1 体的状态都渐近收敛到它们的初始状态平均值。 0<0m<40m-0<h< 4n-1) 证明考虑函数(6)式在t∈h,(r+1)h)时间段 可以通过一个公共标量a,0<α<1，来缩放采样周 内沿(4)生成轨线的时间演变，得到 1 期的最大值保证0<h<4m-9 、成立，即每个智能体 V(t)=xT(t)(t)=-xT(t)(L+L)(x(rh)+e(rh))= ,a、作为它的采样周期。同时注意h., (t-rh)(x(rh)+e(rh))(L+L)(x(rh)+e(rh))- 都选择h=4m- c,i=1,2,…,n只有上限，即h,σ，可以足够小，且σ xT(rh)(L+L)(x(rh)+e(rh))<-x"(rh)(L+ 越小将会使控制更新的频率越高，系统收敛速度越 L(x(rh)+e(rh))+ha(x(rh)+e(rh))(L+ 快，所以在某种意义上，这是一个在性能和控制更 L)(x(rh)+e(rh))=-(1-hAa)x"(rh)(L+L)x(rh)- 新频率之间的取舍问题。 x(rh)(L+Le(rh)+hae(rh(L+L)e(rh)+ 2hAx"(rh)(L+L)e(rh)=-(1-ha)x"(rh)(L+ 3切换拓扑网络下的一致性研究 L)x(rh)+(2hA,-1)xT(rh)(L+L)e(rh)+ 在这部分中，将固定拓扑网络下的研究结果扩 hae"(rh)(L+L)e(rh) 展到了G在连通图之间切换的情况，假定所有可能 应用引理1，当2hdn-1≤0时，有 的连通图构成有限集G,G2,…,Gm},定义下标集 V(t)<-(1-ha)xT(rh)(L+L)x(rh)+(1-2hA) J={1,2,…,m,引人一个分段常数切换信号s0):[0,+o) ((LIh+(r+beh) →J来描述1时刻系统具有的拓扑结构，G表示在 1 采样触发时刻h时的活动拓扑，（亿+L)表示其对 hA.e"(rh)(L+L)e(rh)=-x(rh)(L+L)x(rh)+ 应的由一阶和二阶邻居所确定的拉普拉斯矩阵。 (rL.+be(ck) 在切换拓扑情况下，根据(2)式和(3)式类似地 结合事件触发条件(2)得到 定义事件触发条件和基于事件的一致性协议。在切 换拓扑情形下，李雅普诺夫函数不变，仍是 0≤-uhL+Lxh+号om L+L)()-(1-)(h(L+Lx(rh) V0=2r'0r0 定理2设系统(1)式的通信拓扑网络在有限 当式（⑦）成立时，有0≤0。 个连通图之间进行切换，采用协议(3)式的系统 当2hL.-1>0时，有 (1)式在事件触发条件(2)式的驱动下，若满足下列 V(t)<-(1-ha)x"(rh)(L+L)x(rh)+(2ha-1) 条件 (x(h(L+Lx(rh)+(L+Le(rh)y 2元0<om< 1 1 0<h
δ(t) = x(t)− x¯(t)1n = x(t)− x¯1n 考虑李雅普诺夫函数 V(t) = 1 2 x T (t)x(t) (6) 即状态的平方和的 1/2。 dx dt = f(x) x(t,t0, x0) ⊂ C V(x) : C → R dV dt ⩽ 0 E = {x| dV dt = 0, x ∈ C} M ⊂ E t → ∞ x(t,t0, x0) → M 引理 2 (Lasalle 不变原理) 设 C 是有界闭集， 从 C 内出发的系统 的解 ，若存 在 ，具有连续一阶偏导数，满足 。 又设 ， 是最大不变集，则当 时，有 。 定理 1 设系统 (1) 具有连通通信拓扑，采用协 议 (3) 的系统 (1) 在事件触发条件 (2) 的驱动下，若 条件 0 < h ⩽ 1 2λn ,0 < σmax < 1 λ 2 n (7) 或者 1 2λn < h < 3 4λn , 0 < σmax < 3−4hλn (4hλn −1)λ 2 n (8) σmax = max{σi 成立，其中 ,i = 1,2,··· ,n} ，则所有智能 体的状态都渐近收敛到它们的初始状态平均值。 证明 考虑函数 (6) 式在 t ∈ [rh,(r +1)h) 时间段 内沿 (4) 生成轨线的时间演变，得到 V˙ (t) = x T (t)x˙(t) = −x T (t)(L+ L˜)(x(rh)+e(rh)) = (t−rh)(x(rh)+e(rh))T (L+ L˜) 2 (x(rh)+e(rh))− x T (rh)(L+ L˜)(x(rh)+e(rh)) ⩽ −x T (rh)(L+ L˜)(x(rh)+e(rh))+hλn(x(rh)+e(rh))T (L+ L˜)(x(rh)+e(rh)) = −(1−hλn)x T (rh)(L+ L˜)x(rh)− x T (rh)(L+ L˜)e(rh)+hλne T (rh)(L+ L˜)e(rh)+ 2hλn x T (rh)(L+ L˜)e(rh) = −(1−hλn)x T (rh)(L+ L˜)x(rh)+(2hλn −1)x T (rh)(L+ L˜)e(rh)+ hλne T (rh)(L+ L˜)e(rh) 应用引理 1，当 2hλn −1 ⩽ 0 时，有 V˙ (t) ⩽ −(1−hλn)x T (rh)(L+ L˜)x(rh)+(1−2hλn) ( 1 2 x T (rh)(L+ L˜)x(rh)+ 1 2 e T (rh)(L+ L˜)e(rh))+ hλne T (rh)(L+ L˜)e(rh) = − 1 2 x T (rh)(L+ L˜)x(rh)+ 1 2 e T (rh)(L+ L˜)e(rh) 结合事件触发条件 (2) 得到 V˙ (t) ⩽ − 1 2 x T (rh)(L+ L˜)x(rh)+ 1 2 λ 2 nσmax x T (rh) (L+ L˜)x(rh) = − 1 2 (1−λ 2 nσmax)x T (rh)(L+ L˜)x(rh) V˙ 当式 (7) 成立时，有 (t) ⩽ 0。 当 2hλn −1 > 0 时，有 V˙ (t) ⩽ −(1−hλn)x T (rh)(L+ L˜)x(rh)+(2hλn −1) ( 1 2 x T (rh)(L+ L˜)x(rh)+ 1 2 e T (rh)(L+ L˜)e(rh))+ hλne T (rh)(L+ L˜)e(rh) = (2hλn − 3 2 )x T (rh)(L+ L˜)x(rh)+(2hλn − 1 2 )e T (rh)(L+ L˜)e(rh) 结合事件触发条件 (2) 得到 V˙ (t) ⩽ (2hλn − 3 2 )x T (rh)(L+ L˜)x(rh)+ (2hλn − 1 2 )λ 2 nσmaxx T (rh)(L+ L˜)e(rh) = (2hλn − 3 2 +(2hλn − 1 2 )λ 2 nσmax)x T (rh)(L+ L˜)x(rh) V˙ 当式 (8) 成立时，有 (t) ⩽ 0。 E = {x ∈ R n |V˙ 由于 G 为连通图， (t) = 0} = span{1n}， 由 Lasalle 不变原理可知所有智能体一致收敛。 σi i = 1,2,··· ,n λn dmax ⩽ (n−1) λn λn ⩽ 2dmax ⩽ 2(n−1) σi 采样周期 h 和 ， 的选取需要拓扑 的全局信息 。根据圆盘定理[ 2 2 ] 及 ， 最大特征值 的上界可根据 确 定。因此，由式 (7) 可知，如果每个智能体都知道整 个系统的个体数量 n，那么采样周期 h 和 可以根 据下式选择： 0 < σmax < 1 4(n−1)2 , 0 < h < 1 4(n−1) 0 < α < 1 0 < h < 1 4(n−1) h = α 4(n−1) σi i = 1,2,··· ,n σi σi 可以通过一个公共标量 α， ，来缩放采样周 期的最大值保证 成立，即每个智能体 都选择 作为它的采样周期。同时注意 h， ， 只有上限，即 h， 可以足够小，且 越小将会使控制更新的频率越高，系统收敛速度越 快，所以在某种意义上，这是一个在性能和控制更 新频率之间的取舍问题。 3 切换拓扑网络下的一致性研究 {G1,G2,··· ,Gm} J = {1,2,··· ,m} s(t) : [0,+∞) → J Gs(rh) (L+ L˜)s(rh) 在这部分中，将固定拓扑网络下的研究结果扩 展到了 G 在连通图之间切换的情况，假定所有可能 的连通图构成有限集 ，定义下标集 ，引入一个分段常数切换信号 来描述 t 时刻系统具有的拓扑结构， 表示在 采样触发时刻 rh 时的活动拓扑， 表示其对 应的由一阶和二阶邻居所确定的拉普拉斯矩阵。 在切换拓扑情况下，根据 (2) 式和 (3) 式类似地 定义事件触发条件和基于事件的一致性协议。在切 换拓扑情形下，李雅普诺夫函数不变，仍是 V(t) = 1 2 x T (t)x(t) 定理 2 设系统 (1) 式的通信拓扑网络在有限 个连通图之间进行切换，采用协议 (3) 式的系统 (1) 式在事件触发条件 (2) 式的驱动下，若满足下列 条件 0 < h ⩽ 1 2λmax , 0 < σmax < 1 λ 2 max ·836· 智 能 系 统 学 报 第 12 卷
第6期 夏倩倩，等：基于二阶邻居事件触发多智能体系统的一致性 ·837· 或者 图1所示的通信拓扑图中利用事件触发条件(2)，在 1 3-4hAmax t∈[0,10]进行仿真。 2入ma 30<mas(4hAmas -1) <h< 其中mar=max{n(G,G∈{G1,…,Gnh,dn(G)是拉普 拉斯矩阵(L+L)(G)的最大特征值，那么所有智能体 的状态都渐近收敛到它们的初始状态平均值。 证明类似于定理1的证明过程得到李雅普诺 夫函数在区间[rh,(r+1)h)内的导数为 图1通信拓扑图 V(t)=-x"(t)(L+L)s(x(rh)+e(rh)) Fig.1 Communication topology 1 1 图2是所有智能体在基于事件一致性协议(3) 0<h≤G'G)或3 1 下的状态演变，从图2可以看出系统达到了一致， 2几.Gh)<h< .G且 所有智能体的状态趋于一个共同的值。 3-4h入.(Gh】 0.6 0<cam<(4hL.G）-1)gG】 0.4 -x3(0 那么类似于固定拓扑情况，有0-1-(G） 0.2 1(0 0 omax)x'(rh(L+irhx(rh),或者V(0≤(2hLn(Gh) 3 装-02个50 1. +(2hl,Gaua)-i。 -0.4x4(0 -0.6 (G)max)x(rh)(L+L)x(rh) 式中：.(Gh)是拉普拉斯矩阵(L+i)的最大特 -0.8 012345678910 征值。 因为系统在有限个连通图之间切换，可得集合 图2智能体的状态 E={x∈R()=O}=span(1n,根据Lasalle不变原 Fig.2 States of the agents 理得到所有智能体的状态都渐近收敛到它们的初始 图3是所有智能体在基于事件一致性协议(3) 状态平均值。 下的非一致向量x(0-1的演变过程，从图3 通过与文献[10]的比较发现：即使多智能体系 可以看出所有智能体的状态都趋于它们的初始状态 统(1)只采用一阶邻居信息用于研究系统的一致性 平均值。 收敛问题，与文献[10]的采样周期0<h≤2 1 1.0 0.9 相比，本文所提出的采样周期的选取范围也比文献 0.8 0 [10]中的采样周期选取范围更大。 4仿真 点04 0.3 在理论分析的基础上，本部分将通过仿真实验 0.2 0.1 对所得出的理论结果进行验证。 0 1 2345678910 考虑由4个智能体组成的多智能体系统，为了 s 便于比较，采用与文献[10]相同的通信拓扑和参 图3非一致向量范数 数。图1是无向连通图，其利用二阶邻居信息所得 Fig.3 Norm of the disagreement vector 的拉普拉斯矩阵为 图4是所有智能体在基于事件一致性协议(3) 下的控制输入的仿真结果，最终所有智能体的控制 -1 L+L= -1 -1 输人都趋于0。 -1 -1-1 图5是所有智能体在基于事件一致性协议(3) 拉普拉斯矩阵的最大特征值n=4,取智能体的 下的事件触发时刻，说明只在特定时刻对智能体施 事件检测器的参数为σ1=σ2=0.033,3=0.02，σ4= 加控制输入系统就能实现一致性。 0.06,所有智能体的采样周期为h=0.002,其中所取 图6和图7分别是文献[7)中所有智能体利用 数值满足σmx<0.0625,h≤0.125。智能体初始状态 一阶邻居信息在基于事件一致性协议下的状态和非 为x(0)=[0.4773-0.33920.5-0.6381F。接下来在 一致向量x(0-1.的演变过程
或者 1 2λmax < h < 3 4λmax , 0 < σmax < 3−4hλmax (4hλmax −1)λ 2 max , λmax = max{λn(G),G ∈ {G1,··· ,Gm}} λn(G) (L+ L˜)(G) 其中 ， 是拉普 拉斯矩阵 的最大特征值，那么所有智能体 的状态都渐近收敛到它们的初始状态平均值。 [rh,(r +1)h) 证明 类似于定理 1 的证明过程得到李雅普诺 夫函数在区间 内的导数为 V˙ (t) = −x T (t)(L+ L˜)s(rh)(x(rh)+e(rh)) 0 < h ⩽ 1 2λn(Gs(rh)) 0 < σmax < 1 λ 2 n (Gs(rh)) 1 2λn(Gs(rh)) < h < 3 4λn(Gs(rh)) 若 ，且 ，或者 ，且 0 < σmax < 3−4hλn(Gs(rh)) (4hλn(Gs(rh))−1)λ 2 n (Gs(rh)) V˙ (t)− 1 2 (1−λ 2 n (Gs(rh)) σmax)x T (rh)(L+ L˜)s(rh)x(rh), V˙ (t) ⩽ (2hλn(Gs(rh))− 3 2 +(2hλn(Gs(rh))− 1 2 ) 那么类似于固定拓扑情况，有 或 者 。 λ 2 n (Gs(rh))σmax)x T (rh)(L+ L˜)s(rh)x(rh) λn(Gs(rh)) (L+ L˜ 式中： 是拉普拉斯矩阵 )s(rh) 的最大特 征值。 E = {x ∈ R n |V˙ (t) = 0} = span{1n} 因为系统在有限个连通图之间切换，可得集合 ，根据 Lasalle 不变原 理得到所有智能体的状态都渐近收敛到它们的初始 状态平均值。 0 < h ⩽ 1 2λmax 通过与文献 [10] 的比较发现：即使多智能体系 统 (1) 只采用一阶邻居信息用于研究系统的一致性 收敛问题，与文献 [ 1 0 ] 的采样周期 相比，本文所提出的采样周期的选取范围也比文献 [10] 中的采样周期选取范围更大。 4 仿真 在理论分析的基础上，本部分将通过仿真实验 对所得出的理论结果进行验证。 考虑由 4 个智能体组成的多智能体系统，为了 便于比较，采用与文献 [10] 相同的通信拓扑和参 数。图 1 是无向连通图，其利用二阶邻居信息所得 的拉普拉斯矩阵为 L+ L˜ = 3 −1 −1 −1 −1 3 −1 −1 −1 −1 3 −1 −1 −1 −1 3 λn = 4 σ1 = σ2 = 0.033 σ3 = 0.02 σ4 = h = 0.002 σmax < 0.0625 h ⩽ 0.125 x(0) = [0.4773 −0.3392 0.5 −0.6381]T 拉普拉斯矩阵的最大特征值 ，取智能体的 事件检测器的参数为 ， ， 0.06，所有智能体的采样周期为 ，其中所取 数值满足 ， 。智能体初始状态 为 。接下来在 t ∈ [0,10] 图 1 所示的通信拓扑图中利用事件触发条件 (2)，在 进行仿真。 图 2 是所有智能体在基于事件一致性协议 (3) 下的状态演变，从图 2 可以看出系统达到了一致， 所有智能体的状态趋于一个共同的值。 ||x(t)− x¯1n|| 图 3 是所有智能体在基于事件一致性协议 (3) 下的非一致向量 的演变过程，从图 3 可以看出所有智能体的状态都趋于它们的初始状态 平均值。 图 4 是所有智能体在基于事件一致性协议 (3) 下的控制输入的仿真结果，最终所有智能体的控制 输入都趋于 0。 图 5 是所有智能体在基于事件一致性协议 (3) 下的事件触发时刻，说明只在特定时刻对智能体施 加控制输入系统就能实现一致性。 ||x(t)− x¯1n|| 图 6 和图 7 分别是文献 [7] 中所有智能体利用 一阶邻居信息在基于事件一致性协议下的状态和非 一致向量 的演变过程。 1 2 3 4 图 1 通信拓扑图 Fig. 1 Communication topology 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 ⟢ᔭ x3 (t) x1 (t) x2 (t) x4 (t) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t/s 图 2 智能体的状态 Fig. 2 States of the agents 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t/s ||x (t)−x1n|| − 图 3 非一致向量范数 Fig. 3 Norm of the disagreement vector 第 6 期 夏倩倩，等：基于二阶邻居事件触发多智能体系统的一致性 ·837·