【机器学习】一类区间二型模糊PI控制器设计算法

第13卷第5期 智能系统学报 Vol.13 No.5 2018年10月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Oct.2018 D0:10.11992/tis.201703039 网络出版地址：http:/kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170704.1702.012.html 一类区间二型模糊PI控制器设计算法 施建中，李荣，杨勇 (南京工程学院能源与动力工程学院，江苏南京211167) 摘要：区间二型模糊控制器在处理不确定性方面优于传统的模糊控制器，但带来的一个问题就是区间二型模 糊控制器需要降阶过程。常用的KM等迭代式降阶算法效率低下，难以用于实时性较高的场合。本文利用直 接降阶算法和动态解模糊化算法，提出了一类区间二型模糊P控制器设计算法。该算法在降阶过程中考虑偏 差和偏差变化量对控制器输出的影响，避免了KM等迭代式降阶过程。通过二阶迟延对象以及一个非线性对 象的仿真实验表明，本文算法能够有效降低系统超调，降低系统的稳态时间，控制器在设定值附近的输出更为 平滑。 关键词：二型模糊集合；KM降阶；二型模糊控制；二型模糊PI;不确定域；动态解模糊化；直接降阶；增量式PI 中图分类号：TP273.4文献标志码：A文章编号：1673-4785(2018)05-0836-07 中文引用格式：施建中，李荣，杨勇.一类区间二型模糊P1控制器设计算法.智能系统学报，2018,13（⑤）：836-842， 英文引用格式：SHI Jianzhong,LI Rong,YANG Yong..An interval type2 fuzzy PI controller design algorithmJ,CAAI transac-. tions on intelligent systems,2018,13(5):836-842. An interval type 2 fuzzy PI controller design algorithm SHI Jianzhong,LI Rong,YANG Yong (School of Energy and Power Engineering,Nanjing Institute of Technology,Nanjing 211167,China) Abstract:The interval type-2 fuzzy controllers outperform their type-1 counterparts in processing uncertainty;however, the type-2 fuzzy controller needs to be reduced,and the commonly used iterative reduction algorithms such as Karnik- Mendel (KM)algorithm are inefficient and difficult to use in real-time situations.In this paper,an interval type-2 fuzzy PI controller algorithm that combines the dynamic defuzzification method and direct reduction algorithm is proposed. The algorithm considers the effects of error and error variation on the controller output during reduction,thus avoiding iterative reduction such as in KM.Simulations of a second-order delay object and nonlinear object show that the pro- posed algorithm can effectively suppress the system overshoot and reduce the time of the system to reach steady state; furthermore,the controller outputs around the set value are smoother. Keywords:type-2 fuzzy sets;KM-type reduction;type-2 fuzzy control;type-2 fuzzy PI;uncertain domain;dynamic de- fuzzification:direct reduction:incremental PI Zadeh提出二型模糊集合后的很长时间内， 次隶属度定义为1，利用KM、EKM等降阶算 由于二型模糊集合的运算复杂性，其理论上的研 法得到区间二型模糊集合的左、右端点，在此基 究较少。直到Mendel等将二型模糊集合简化为 础上进行区间二型模糊逻辑系统的研究5刀。 基于区间二型模糊集合的区间二型模糊控制 区间二型模糊集合，区间二型模糊集合理论及应 器在很多方面得到了成功应用，由于其利用不确 用得到了广泛关注。Mendel!将二型模糊结合的 定域来描述模糊集合，在处理不确定性方面要优 收稿日期：2017-03-26.网络出版日期：2017-07-04 于传统的模糊控制器&。目前大部分的区间二 基金项目：南京工程学院校级科研基金项目(YKJ201523):南京 工程学院青年基金项目(QKJA201504). 型模糊控制器都是基于KM等基于迭代运算的降 通信作者：施建中.E-mail:sjz-ha@163.com 阶算法，KM算法的基本流程是一个不断迭代搜

DOI: 10.11992/tis.201703039 网络出版地址: http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170704.1702.012.html 一类区间二型模糊 PI 控制器设计算法 施建中，李荣，杨勇 （南京工程学院 能源与动力工程学院，江苏 南京 211167） 摘 要：区间二型模糊控制器在处理不确定性方面优于传统的模糊控制器，但带来的一个问题就是区间二型模 糊控制器需要降阶过程。常用的 KM 等迭代式降阶算法效率低下，难以用于实时性较高的场合。本文利用直 接降阶算法和动态解模糊化算法，提出了一类区间二型模糊 PI 控制器设计算法。该算法在降阶过程中考虑偏 差和偏差变化量对控制器输出的影响，避免了 KM 等迭代式降阶过程。通过二阶迟延对象以及一个非线性对 象的仿真实验表明，本文算法能够有效降低系统超调，降低系统的稳态时间，控制器在设定值附近的输出更为 平滑。 关键词：二型模糊集合；KM 降阶；二型模糊控制；二型模糊 PI；不确定域；动态解模糊化；直接降阶；增量式 PI 中图分类号：TP273.4 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2018)05−0836−07 中文引用格式：施建中, 李荣, 杨勇. 一类区间二型模糊 PI 控制器设计算法[J]. 智能系统学报, 2018, 13(5): 836–842. 英文引用格式：SHI Jianzhong, LI Rong, YANG Yong. An interval type 2 fuzzy PI controller design algorithm[J]. CAAI transac￾tions on intelligent systems, 2018, 13(5): 836–842. An interval type 2 fuzzy PI controller design algorithm SHI Jianzhong，LI Rong，YANG Yong (School of Energy and Power Engineering, Nanjing Institute of Technology, Nanjing 211167, China) Abstract: The interval type-2 fuzzy controllers outperform their type-1 counterparts in processing uncertainty; however, the type-2 fuzzy controller needs to be reduced, and the commonly used iterative reduction algorithms such as Karnik￾Mendel (KM) algorithm are inefficient and difficult to use in real-time situations. In this paper, an interval type-2 fuzzy PI controller algorithm that combines the dynamic defuzzification method and direct reduction algorithm is proposed. The algorithm considers the effects of error and error variation on the controller output during reduction, thus avoiding iterative reduction such as in KM. Simulations of a second-order delay object and nonlinear object show that the pro￾posed algorithm can effectively suppress the system overshoot and reduce the time of the system to reach steady state; furthermore, the controller outputs around the set value are smoother. Keywords: type-2 fuzzy sets; KM-type reduction; type-2 fuzzy control; type-2 fuzzy PI; uncertain domain; dynamic de￾fuzzification; direct reduction; incremental PI Zadeh[1]提出二型模糊集合后的很长时间内， 由于二型模糊集合的运算复杂性，其理论上的研 究较少。直到 Mendel 等将二型模糊集合简化为 区间二型模糊集合，区间二型模糊集合理论及应 用得到了广泛关注。Mendel[2]将二型模糊结合的 次隶属度定义为 1，利用 KM[3] 、EKM 等 [4]降阶算 法得到区间二型模糊集合的左、右端点，在此基 础上进行区间二型模糊逻辑系统的研究[5-7]。 基于区间二型模糊集合的区间二型模糊控制 器在很多方面得到了成功应用，由于其利用不确 定域来描述模糊集合，在处理不确定性方面要优 于传统的模糊控制器[8-9]。目前大部分的区间二 型模糊控制器都是基于 KM 等基于迭代运算的降 阶算法，KM 算法的基本流程是一个不断迭代搜 收稿日期：2017−03−26. 网络出版日期：2017−07−04. 基金项目：南京工程学院校级科研基金项目 (YKJ201523)；南京 工程学院青年基金项目 (QKJA201504). 通信作者：施建中. E-mail：sjz-ha@163.com. 第 13 卷第 5 期 智 能 系 统 学 报 Vol.13 No.5 2018 年 10 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Oct. 2018

第5期 施建中，等：一类区间二型模糊PI控制器设计算法 ·837· 索过程，不断替换上一步的切换点直到最终的切 xf(x)+ 换点满足特定的条件。在区间二型模糊控制器的 ∑xf 实现过程中，每一步控制器的计算都要经过这种 CI= (1) 迭代过程，这不利于实时、在线控制。 2两+立@ =L+1 由于KM降阶算法的缺陷，一些效率更高的 降阶算法也被提出，比如EKM、IASCHO、EIASC四 xif(x) R ODSC等，但这些算法本质上和KM类似，只是 C,= (2) 它们的效率更高，在实时控制中依然需要进行搜 @+ f(x) =1 R+1 索过程。文献[13]总结了一些替代KM的降阶算 式中：x)和f:)分别为首隶属度函数的上、下 法，这些算法不需要进行迭代过程，根据区间二 限；L和R分别为KM/EKM算法求出的左、右切 型模糊集合首隶属度的上、下限计算得到降阶结果。 换点。 WM%等基于KM降阶算法，在平衡点附近分析了 式(1)和(2)是将论域为离散情况下的KM降 区间二型模糊PI控制器的一般表达式，说明了在 阶算法，当论域为连续的时候，假设论域的区间 选择特定的模糊隶属度函数的情况下，该控制器 为[a,b),连续KM算法表示如式(3)、(4)。 在平衡点附件的区域内，其控制器参数与普通 PI控制器参数成一定的比例关系。Nie等基于 f(x)xdx+ f(x)xdx KM降阶算法，利用模糊划分方法，分析了具有对 C1= (3) 称结构的区间二型模糊PI和PD控制器，分析了 f(x)dx+ f(x)dx 该控制器的一般表达式，说明了区间二型模糊控 f(x)xdx+ f(x)xdx 制器的参数为误差或者误差变化量的函数，并与 Cr (4) 传统的模糊PI控制器进行了比较。文献[16]研究 f(x)dx+ f(x)dx 了一类区间二型模糊Mamdani控制器，分析了其 e 一般性结构，证明了该控制器在采用KM降阶算 无论离散还是连续的KM算法，都需要进行 迭代过程，如果将KM降阶算法用于区间二型模 法的情况下，等价于变增益的PIPD)控制器。与 糊控制器的设计，其每一步的控制器输出都要进 文献[16]类似，文献[17]基于KM算法分析了首隶 行迭代运算，实时性将会有一定的影响。 属度函数为非线性情况下区间二型模糊PI/PD 控制器的一般形式，证明了该区间二型模糊控制 2区间二型模糊控制系统 器等效为具有变增益的非线性比例积分(P或比 例微分控制器。与文献[14-17]采用的Zadeh的与 区间二型模糊控制器以偏差以及偏差的变化 推理不同，文献[18]采用乘积推理，基于KM算 量为输入，在模糊推理结束以后，增加降阶过程， 法，说明了在乘积推理下的区间二型模糊控制器 得到控制器的实际增量，结构如图1所示。 等效于两个PI(或PD)控制器之和。 本文利用一种区间二型动态解模糊化算法， 对象 该算法在模糊控制器的输出部分考虑偏差和偏差 的变化量。控制器采用直接降阶算法，其实时 图1区间二型模糊控制系统结构 性与传统模糊控制器类似而优于基于KM等迭代 Fig.1 Interval type-2 fuzzy control system structure 式降阶算法的区间二型模糊控制器。通过一个二 区间二型模糊控制器的不确定域通过将一型 阶迟延对象、一个非线性对象的仿真实验表明， 控制器隶属度进一步模糊化得到，偏差以及偏差 本文算法控制器的输出较为平稳，系统的超调较 的变化量的偏移分别为d,、d山，偏差和偏差的变化 小，系统到达稳态的时间较短。 量分别定义2个模糊变量的三角型隶属度，如 1KM降阶算法 图2所示。 当然，偏差或者偏差的变化量也可以定义多 由KM算法，区间二型模糊集合的降阶结果 个模糊变量，这样模糊规则数也会相应增加，糊 为实数区间[c,c,]。两个端点的计算公式如式 控制器的设计难度也会随之增加。 (1)(2)0 文献[20]证明了当模糊控制器的输入为偏差

索过程，不断替换上一步的切换点直到最终的切 换点满足特定的条件。在区间二型模糊控制器的 实现过程中，每一步控制器的计算都要经过这种 迭代过程，这不利于实时、在线控制。 由于 KM 降阶算法的缺陷，一些效率更高的 降阶算法也被提出，比如 EKM、IASC[10] 、EIASC[11] 、 ODSC[12]等，但这些算法本质上和 KM 类似，只是 它们的效率更高，在实时控制中依然需要进行搜 索过程。文献[13]总结了一些替代 KM 的降阶算 法，这些算法不需要进行迭代过程，根据区间二 型模糊集合首隶属度的上、下限计算得到降阶结果。 Wu 等 [14]基于 KM 降阶算法，在平衡点附近分析了 区间二型模糊 PI 控制器的一般表达式，说明了在 选择特定的模糊隶属度函数的情况下，该控制器 在平衡点附件的区域内，其控制器参数与普通 PI 控制器参数成一定的比例关系。Nie 等 [15]基于 KM 降阶算法，利用模糊划分方法，分析了具有对 称结构的区间二型模糊 PI 和 PD 控制器，分析了 该控制器的一般表达式，说明了区间二型模糊控 制器的参数为误差或者误差变化量的函数，并与 传统的模糊 PI 控制器进行了比较。文献[16]研究 了一类区间二型模糊 Mamdani 控制器，分析了其 一般性结构，证明了该控制器在采用 KM 降阶算 法的情况下，等价于变增益的 PI(PD) 控制器。与 文献[16]类似，文献[17]基于 KM 算法分析了首隶 属度函数为非线性情况下区间二型模糊 PI/PD 控制器的一般形式，证明了该区间二型模糊控制 器等效为具有变增益的非线性比例积分 (PI) 或比 例微分控制器。与文献[14-17]采用的 Zadeh 的与 推理不同，文献[18]采用乘积推理，基于 KM 算 法，说明了在乘积推理下的区间二型模糊控制器 等效于两个 PI(或 PD) 控制器之和。 本文利用一种区间二型动态解模糊化算法， 该算法在模糊控制器的输出部分考虑偏差和偏差 的变化量[19]。控制器采用直接降阶算法，其实时 性与传统模糊控制器类似而优于基于 KM 等迭代 式降阶算法的区间二型模糊控制器。通过一个二 阶迟延对象、一个非线性对象的仿真实验表明， 本文算法控制器的输出较为平稳，系统的超调较 小，系统到达稳态的时间较短。 1 KM 降阶算法 由 KM 算法，区间二型模糊集合的降阶结果 为实数区间[cl，cr ]。两个端点的计算公式如式 (1)、(2)。 cl = ∑L i=1 xi f(xi)+ ∑N i=L+1 xi f(xi) ∑L i=1 f(xi)+ ∑N i=L+1 f(xi) (1) cr = ∑R i=1 xi f(xi)+ ∑N i=R+1 xi f(xi) ∑R i=1 f(xi)+ ∑N i=R+1 f(xi) (2) 式中： f (xi) 和 f (xi) 分别为首隶属度函数的上、下 限；L 和 R 分别为 KM/EKM 算法求出的左、右切 换点。 式 (1) 和 (2) 是将论域为离散情况下的 KM 降 阶算法，当论域为连续的时候，假设论域的区间 为[a,b]，连续 KM 算法表示如式 (3)、(4)。 cl = ∫ cl a f(x)xdx+ ∫ b cl f(x)xdx ∫ cl a f(x)dx+ ∫ b cl f(x)dx (3) cr = ∫ cr a f(x)xdx+ ∫ b cr f(x)xdx ∫ cr a f(x)dx+ ∫ b cr f(x)dx (4) 无论离散还是连续的 KM 算法，都需要进行 迭代过程，如果将 KM 降阶算法用于区间二型模 糊控制器的设计，其每一步的控制器输出都要进 行迭代运算，实时性将会有一定的影响。 2 区间二型模糊控制系统 区间二型模糊控制器以偏差以及偏差的变化 量为输入，在模糊推理结束以后，增加降阶过程， 得到控制器的实际增量，结构如图 1 所示。 区间二 型模糊 控制器 降阶 对象 ∆u Z −1 r e y ∆e Z −1 u + + + − 图 1 区间二型模糊控制系统结构 Fig. 1 Interval type-2 fuzzy control system structure 区间二型模糊控制器的不确定域通过将一型 控制器隶属度进一步模糊化得到，偏差以及偏差 的变化量的偏移分别为 d1、d2，偏差和偏差的变化 量分别定义 2 个模糊变量的三角型隶属度，如 图 2 所示。 当然，偏差或者偏差的变化量也可以定义多 个模糊变量，这样模糊规则数也会相应增加，糊 控制器的设计难度也会随之增加。 文献[20]证明了当模糊控制器的输入为偏差 第 5 期 施建中，等：一类区间二型模糊 PI 控制器设计算法 ·837·

·838· 智能系统学报 第13卷 e和偏差的变化量△e时，传统一型模糊控制器等 1,e>de-d 价于PD控制器，只要隶属度函数满足特定的条 e+de+d 其他 件。具体的满足条件和证明过程可参考文献[20]。 2xde 一般的区间二型模糊控制器对偏差和偏差的 0, e<-de+d 变化量各定义2个模糊变量，如图2，区间二型模 e+de-d 其他 2xde 糊控制器共有4条模糊规则，定义如下2四 偏差e的N变量首隶属度的上、下限表示为 规则l:If△eis P and e is P 1,e<-de+d then y'=Kpx(de)+Kix(de) = de+di-e 其他 规则2：If△e is p and e is N 2xde then y2=Kp x (de)+Kix(-de) 0, e>de-d 规则3：If Ae is N and e is P de-d-e 其他 then y3=Kp x(-de)+Kx(de) 2xde 规则4：If△e is N and e is N 偏差变化量△e的p变量首隶属度函数的上、 then y=Kpx(-de)+Kix(-de) 下限表示为 1,△e>de-d2 成= △e+de+d 其他 2×de 0,△e<-de+d2 △e+de-d 其他 2×de 偏差变化量△e的N变量首隶属度函数的上、 de de -de 0 de 下限表示为 2d1 2d, Ae (a)e隶属度函数 (b)△e隶属度函数 1,△e<-de+d de+d-△e 图2三角型区间二型模糊控制器的首隶属度函数 。其他 2×de Fig.2 Triangle interval type-2 fuzzy controller primary 0,△e>de-d2 membership function de-d-△e 2xde' 其他 3本文算法 降阶算法中的左、右端点如式(5)、(6)所示， 文献[14]提出的区间二型模糊PI控制器基于 这里的M仁4。 KM降阶，其控制器的输出为降阶区间的平均 值。文献[19]提出的针对区间二型模糊控制器的 动态解模糊化算法，其模糊控制器的后件部分是 C1= (5) 区间二型模糊集合，依然采用的是KM降阶，并 2 不适合于在线实时控制。本文利用的直接降阶算 法在计算降阶区间左右端点的时候，利用上、下 隶属度函数进行计算，后件部分采用实数，简化 C,= (6) 了控制器的运算过程，具体描述如下。 假设第k条规则的激发隶属度的上、下限为 二型模糊控制的输出增量△！表示为 严和，对应规则的输出为y(如前文规则的定 a0=e0+4e0 2 +0.5 (7) 义)，4条规则的激发隶属度的上、下限为： 规则1：了，5」=×，×1 △u(t)=a(t)×a+(1-a(t)×c, (8) 规则2：了，，=×× 式(8)中c,表示降阶区间的左端点，c,表示右 端点，在实际控制过程中，由于c,不一定小于c, 规则3：了，f,=m8×× 因此，本文算法实际的控制器输出如式(9)： 规则4：f,f)=心××] △u(t0=a(t0)×min(c,cr)+(1-a(t)×max(c,c,)(9) 偏差e的P变量的首隶属度的上、下限表示为 本文算法的控制系统框图如图3所示

e 和偏差的变化量 Δe 时，传统一型模糊控制器等 价于 PID 控制器，只要隶属度函数满足特定的条 件。具体的满足条件和证明过程可参考文献[20]。 一般的区间二型模糊控制器对偏差和偏差的 变化量各定义 2 个模糊变量，如图 2，区间二型模 糊控制器共有 4 条模糊规则，定义如下[21] ： 规则 1：If ∆e is P˜ and e is P˜ y 1 then = KP ×(de˙)+KI ×(de) 规则 ∆e P˜ N˜ 2：If is and e is y 2 then = KP ×(de˙)+KI ×(−de) 规则 3：If ∆e is N˜ and e is P˜ y 3 then = KP ×(−de˙)+KI ×(de) 规则 ∆e N˜ N˜ 4：If is and e is y 4 then = KP ×(−de˙)+KI ×(−de) −de 0 de 0 1 2d1 −de 0 de 0 1 2d2 e ∆e N P N P (a) e 隶属度函数 (b) ∆e 隶属度函数 图 2 三角型区间二型模糊控制器的首隶属度函数 Fig. 2 Triangle interval type-2 fuzzy controller primary membership function 3 本文算法 文献[14]提出的区间二型模糊 PI 控制器基于 KM 降阶，其控制器的输出为降阶区间的平均 值。文献[19]提出的针对区间二型模糊控制器的 动态解模糊化算法，其模糊控制器的后件部分是 区间二型模糊集合，依然采用的是 KM 降阶，并 不适合于在线实时控制。本文利用的直接降阶算 法在计算降阶区间左右端点的时候，利用上、下 隶属度函数进行计算，后件部分采用实数，简化 了控制器的运算过程，具体描述如下。 ¯f k f k 假设第 k 条规则的激发隶属度的上、下限为 和 ，对应规则的输出为 y k (如前文规则的定 义)，4 条规则的激发隶属度的上、下限为： [f 1 , f 1 ] = [µ P˜ ∆e ×µ P˜ e , µP˜ ∆e ×µ P˜ e 规则 1： ] [f 2 , f 2 ] = [µ P˜ ∆e ×µ N˜ e , µP˜ ∆e ×µ N˜ e 规则 2： ] [f 3 , f 3 ] = [µ N˜ ∆e ×µ P˜ e , µN˜ ∆e ×µ P˜ e 规则 3： ] [f 4 , f 4 ] = [µ N˜ ∆e ×µ N˜ e , µN˜ ∆e ×µ N˜ e 规则 4： ] 偏差 e 的 P˜变量的首隶属度的上、下限表示为 µ P˜ e =    1, e > de−d1 e+de+d1 2×de , 其他 µ P˜ e =    0, e < −de+d1 e+de−d1 2×de , 其他 偏差 e 的 N˜ 变量首隶属度的上、下限表示为 µ N˜ e =    1, e < −de+d1 de+d1 −e 2×de , 其他 µ N˜ e =    0, e > de−d1 de−d1 −e 2×de , 其他 偏差变化量 Δe 的 P˜ 变量首隶属度函数的上、 下限表示为 µ P˜ ∆e =    1, ∆e > de˙ −d2 ∆e+de˙ +d2 2×de˙ , 其他 µ P˜ ∆e =    0, ∆e < −de˙ +d2 ∆e+de˙ −d2 2×de˙ , 其他 偏差变化量 Δe 的 N˜ 变量首隶属度函数的上、 下限表示为 µ N˜ ∆e =    1, ∆e < −de˙ +d2 de˙ +d2 −∆e 2×de˙ , 其他 µ N˜ ∆e =    0, ∆e > de˙ −d2 de˙ −d2 −∆e 2×de˙ , 其他 降阶算法中的左、右端点如式 (5)、(6) 所示， 这里的 M=4。 cl = ∑M k=1 f k y k ∑M k=1 f k (5) cr = ∑M i=1 f ky k ∑M i=1 f k (6) 二型模糊控制的输出增量 Δu 表示为 a(t) = e(t)+ ∆e(t) 2 +0.5 (7) ∆u(t) = a(t)×cl +(1−a(t))×cr (8) 式 (8) 中 cl 表示降阶区间的左端点，cr 表示右 端点，在实际控制过程中，由于 cl 不一定小于 cr， 因此，本文算法实际的控制器输出如式 (9)： ∆u(t) = a(t)×min(cl , cr)+(1−a(t))×max(cl , cr) (9) 本文算法的控制系统框图如图 3 所示。 ·838· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷

第5期 施建中，等：一类区间二型模糊PI控制器设计算法 ·839· 规则」 C= e(t) 规则k △e() Aut)=a(t)xmin(ci.c,)+(1-a(t))xmax(cic,) a(t)=_e(1)+Ae(t) 2 -+0.5 图3本文算法的控制系统框图 Fig.3 Control system diagram of the proposed method 文献[13]也给出了其他的一些替代KM的降为秒)，本文以达到系统偏差绝对值小于稳态值 阶算法，比如NT算法等，本文也对其作了比较。 的2%计算。1，(s)为上升时间（单位为s,本文以 达到系统的稳态值计算。 4仿真实例 表1二阶迟延系统阶跃输入下几种算法的控制性能比较 4.1仿真实例1 Table 1 Second-order delay system control performance 选取二阶迟延对象，其传递函数为 comparison on step input K 算法 19(s)超调% ISE ITSE IATE G(s)= s(Ts+De TI(PI) 206.229.4 63.64 30.65 965.53 2818.6 PI控制器参数K=0.0449,K=0.0014,采样周 IT2NT 252.738 44.06 29.93 838.74 3238.7 期为0.1s。 IT20C 114.5 36 18.69 19.78242.88 834.67 系统参数：K=1,T=1,=10s,d=d,=0.5。 图4中的T1(P）表示一型模糊控制器（或者 本文79.890.3 0.4426.15411.67 853.42 PI控制器)的响应曲线，IT2NT表示使用NT降阶 ISE、ITSE、ITAE为误差积分准则，在单位阶 算法的区间二型模糊控制器的响应曲线，IT2OC 跃扰动下，系统的设定值与输出之间偏差的某个 表示使用文献[15]降阶算法的区间二型模糊控制 函数的积分数值，分别表示为 器的响应曲线，本文算法是区间二型模糊控制器 响应曲线，以下各例表示相同的含义。 ISE e(t)'dr 2.0 ITSE= txe(t)'dr 1.8 1.6 1.4 ITAE= rxkcoldr 1.2 1.0 图5和图6分别表示使用PI控制器和本文的 0.8 0.6 T1(P) 区间二型模糊PI控制器的输出增量随着偏差和 ---IT2NT 0.4 -IT20C 偏差变化量变化的三维曲线图。 0.2 本文算法 56x10 由图5和图6可以看出，本文算法的控制器 0 23 4 时间/s 的输出为非线性形式，其输出量要比PI等控制器 的输出量小，这样本文算法的超调量相对较小且 图4二阶迟延系统阶跃响应曲线 Fig.4 Second-order delay system step-response curve 达到稳态的时间也相对较短。其他几种比较算法 表1显示了针对仿真实例1的线性二阶迟延 的控制器输出量类似。 系统在单位阶跃输入下本文算法和其他几种算法 图7显示了几种算法控制器的输出曲线，也 的控制性能比较。其中，(s)表示稳定时间（单位 进一步说明了上述观点

e(t) ∆e(t) a(t) +0.5 e(t)+∆e(t) f 1 − f −1 f k − f −k f M − f −M cl = M k=1 f k y ∑ k − M k=1 f ∑ k − M k=1 f k y ∑ − k M k=1 f ∑ −k cr = 规则 1 规则 M 规则 k 2 = ∆u(t)=a(t)×min(cl ,cr )+(1−a(t))×max(cl ,cr ) 图 3 本文算法的控制系统框图 Fig. 3 Control system diagram of the proposed method 文献[13]也给出了其他的一些替代 KM 的降 阶算法，比如 NT 算法[22]等，本文也对其作了比较。 4 仿真实例 4.1 仿真实例 1 选取二阶迟延对象，其传递函数为 G(s) = K s(T s+1) e −τs PI 控制器参数 KP=0.044 9，KI=0.001 4，采样周 期为 0.1 s。 系统参数：K=1，T=1，τ=10 s，d1=d2=0.5。 图 4 中的 T1(PI) 表示一型模糊控制器 (或者 PI 控制器) 的响应曲线，IT2NT 表示使用 NT 降阶 算法的区间二型模糊控制器的响应曲线，IT2OC 表示使用文献[15]降阶算法的区间二型模糊控制 器的响应曲线，本文算法是区间二型模糊控制器 响应曲线，以下各例表示相同的含义。 1 2 3 4 5 6 ×102 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 时间/s 阶跃响应 T1 (PI) IT2NT IT2OC 本文算法 图 4 二阶迟延系统阶跃响应曲线 Fig. 4 Second-order delay system step-response curve 表 1 显示了针对仿真实例 1 的线性二阶迟延 系统在单位阶跃输入下本文算法和其他几种算法 的控制性能比较。其中 ts (s) 表示稳定时间 (单位 为秒)，本文以达到系统偏差绝对值小于稳态值 的 2% 计算。tr (s) 为上升时间 (单位为 s)，本文以 达到系统的稳态值计算。 表 1 二阶迟延系统阶跃输入下几种算法的控制性能比较 Table 1 Second-order delay system control performance comparison on step input 算法 ts (s) tr (s) 超调/% ISE ITSE IATE T1(PI) 206.2 29.4 63.64 30.65 965.53 2 818.6 IT2NT 252.7 38 44.06 29.93 838.74 3 238.7 IT2OC 114.5 36 18.69 19.78 242.88 834.67 本文 79.8 90.3 0.44 26.15 411.67 853.42 ISE、ITSE、ITAE 为误差积分准则，在单位阶 跃扰动下，系统的设定值与输出之间偏差的某个 函数的积分数值，分别表示为 ISE = ∫ ts 0 e(t) 2 dt ITSE = ∫ ts 0 t×e(t) 2 dt ITAE = ∫ ts 0 t×|e(t)|dt 图 5 和图 6 分别表示使用 PI 控制器和本文的 区间二型模糊 PI 控制器的输出增量随着偏差和 偏差变化量变化的三维曲线图。 由图 5 和图 6 可以看出，本文算法的控制器 的输出为非线性形式，其输出量要比 PI 等控制器 的输出量小，这样本文算法的超调量相对较小且 达到稳态的时间也相对较短。其他几种比较算法 的控制器输出量类似。 图 7 显示了几种算法控制器的输出曲线，也 进一步说明了上述观点。 第 5 期 施建中，等：一类区间二型模糊 PI 控制器设计算法 ·839·

·840· 智能系统学报 第13卷 2.0i 的 0.05 1.8 1.6 14 1.0 1.0 0. 005 偏差变化量 0 0.51.0 T1 (PI) --IT2NT -1.00.5 偏差 IT20C 0.6 本文算法 0.4 图5PI控制器输出增量随着偏差和偏差变化量变化的 00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0 三维曲线图 时间s Fig.5 PI controller output increment with respect to er- 图8非线性系统阶跃响应曲线 ror and error variation Fig.8 Nonlinear system step-response curve 0.04 表2非线性系统阶跃输入下几种算法的控制性能比较 0.02 Table 2 Nonlinear system control performance comparis- 0 on on step input -0.02 0 算法1(s)(s) 超调% ISE ITSE IATE 0 0.5 1.0 T1PD0.180.03 26.78 0.01560.0161 0.0184 0 0.5 偏差变化量 .5 05 IT2NT0.190.0319.52 0.01440.01470.0168 -1.0 偏差 T20C0.160.0314.150.01310.01340.0148 图6本文算法控制器输出增量随着偏差和偏差变化量 本文0.050.081.09 0.01420.01440.0150 变化的三维曲线图 图9和图10分别表示了使用PI控制器和本 Fig.6 The proposed method controller output increment with respect to error and error variation 文的区间二型模糊PI控制器的输出增量随着偏 差和偏差变化量变化的三维曲线图。 0.06E TI(PD 0.05 …IT2NT 0.04 ×102 IT20C 1.5 0.03 本文算法 1.0 0.02 0.5 0.01 0 0 -0.01 -0.5 -1.0 -0.02 -0.03 0 23 4 56*10 0.5 时间s 0 偏差变化 0.5 00.51.0 -1.0 05 偏差 图7二阶迟延系统阶跃响应控制量曲线 Fig.7 Second-order delay system control variable curve 图9PI控制器输出增量随着偏差和偏差变化量变化的 under step response 三维曲线图 4.2 仿真实例2 Fig.9 PI controller output increment with respect to er- 选取非线性对象： ror and error variation y(t) =-y(t)+7Xy(t)+u(t) ×102 dt 1.0 PI控制器参数：K=56.25,K=669.375,采样周 0.5 期0.01s。 0 参数：d=d,=0.2。 -0.5 图8显示了几种控制算法对选取的非线性对 8 象阶跃响应的控制效果，具体的曲线定义与仿真 0.5 0 0.51.0 偏差变化量 -0.5 0 实例1中图4中曲线相同。 -1.0 0.5 偏差 表2显示了针对仿真实例2的非线性对象在 单位阶跃输入下本文算法和其他几种算法的控制 图10 本文算法控制器输出增量随着偏差和偏差变化量 变化的三维曲线图 性能比较。其中1(s)、t(s)、ISE、ITSE、IATE的意 Fig.10 The proposed method controller output increment 义同仿真实例1表1的说明。 with respect to error and error variation

0.05 0 −0.05 1.0 0.5 1.0 0 0.5 0 −0.5 −0.5 −1.0 控制器输出增量 偏差变化量 偏差 图 5 PI 控制器输出增量随着偏差和偏差变化量变化的 三维曲线图 Fig. 5 PI controller output increment with respect to er￾ror and error variation 0.04 0 0.02 −0.04 −0.02 1.0 0.5 1.0 0 0.5 0 −0.5 −0.5 −1.0 控制器输出增量 偏差变化量 偏差 图 6 本文算法控制器输出增量随着偏差和偏差变化量 变化的三维曲线图 Fig. 6 The proposed method controller output increment with respect to error and error variation 0 时间/s −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 控制器输出 T1 (PI) IT2NT IT2OC 本文算法 1 2 3 4 5 6 ×102 图 7 二阶迟延系统阶跃响应控制量曲线 Fig. 7 Second-order delay system control variable curve under step response 4.2 仿真实例 2 选取非线性对象： y (t) dt = −y (t)+7×y(t) 2 +u(t) PI 控制器参数：KP=56.25，KI=669.375，采样周 期 0.01 s。 参数：d1=d2=0.2。 图 8 显示了几种控制算法对选取的非线性对 象阶跃响应的控制效果，具体的曲线定义与仿真 实例 1 中图 4 中曲线相同。 表 2 显示了针对仿真实例 2 的非线性对象在 单位阶跃输入下本文算法和其他几种算法的控制 性能比较。其中 ts (s)、tr (s)、ISE、ITSE、IATE 的意 义同仿真实例 1 表 1 的说明。 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 阶跃响应 时间/s T1 (PI) IT2NT IT2OC 本文算法 图 8 非线性系统阶跃响应曲线 Fig. 8 Nonlinear system step-response curve 表 2 非线性系统阶跃输入下几种算法的控制性能比较 Table 2 Nonlinear system control performance comparis￾on on step input 算法 ts (s) tr (s) 超调/% ISE ITSE IATE T1(PI) 0.18 0.03 26.78 0.015 6 0.016 1 0.018 4 IT2NT 0.19 0.03 19.52 0.014 4 0.014 7 0.016 8 IT2OC 0.16 0.03 14.15 0.013 1 0.013 4 0.014 8 本文 0.05 0.08 1.09 0.014 2 0.014 4 0.015 0 图 9 和图 10 分别表示了使用 PI 控制器和本 文的区间二型模糊 PI 控制器的输出增量随着偏 差和偏差变化量变化的三维曲线图。 1.5 1.0 0.5 0 −0.5 −1.0 −1.5 1.0 0.5 1.0 0 0.5 0 −0.5 −0.5 −1.0 控制器输出增量 偏差变化量 偏差 ×102 图 9 PI 控制器输出增量随着偏差和偏差变化量变化的 三维曲线图 Fig. 9 PI controller output increment with respect to er￾ror and error variation 1.0 0.5 0 −0.5 −1.0 1.0 0.5 1.0 0 0.5 0 −0.5 −0.5 −1.0 控制器输出增量 偏差变化量 偏差 ×102 图 10 本文算法控制器输出增量随着偏差和偏差变化量 变化的三维曲线图 Fig. 10 The proposed method controller output increment with respect to error and error variation ·840· 智 能 系 统 学 报 第 13 卷