【智能系统】犹豫模糊集的α⁃截集及其应用（安徽大学：郑婷婷，桑小双，马斌斌）

第12卷第3期 智能系统学报 Vol.12 No.3 2017年6月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jun.2017 D0I:10.11992/is.201704026 网络出版地址：http:/kns.cmki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170703.1853.012.html 犹豫模糊集的α-截集及其应用 郑婷婷，桑小双，马斌斌 (安徽大学数学科学学院，安徽合肥230601) 摘要：经典截集是联系模糊集和清晰集的桥梁。犹豫模糊集作为经典模糊集的拓展，它的相关理论研究还不够深 入，特别是它与经典I型模糊集以及其他模糊集之间的关系还缺少讨论。通过分析犹豫模糊集与【型模糊集、区间 Ⅱ型模糊集之间的关系，引入了犹豫模糊集的α-截集的概念并讨论其性质，根据该截集推导出犹豫模糊集的分解 (表示)定理和更普适的扩展原则。通过分析相关性质及仿真实例，说明了犹豫模糊集的截集概念的合理性，为犹豫 模糊多属性决策和聚类分析等问题提供了新的方法。这些结果也极大丰富了犹豫模糊集的相关基础理论。 关键词：犹豫模糊集：I型模糊集：区间Ⅱ型模糊集：a截集：分解定理：扩展原则：多属性决策：聚类分析 中图分类号：TP18:0159文献标志码：A文章编号：1673-4785(2017)03-0362-09 中文引用格式：郑婷婷，桑小双，马斌斌.犹豫模糊集的-截集及其应用[J].智能系统学报，2017,12(3)：362-370. 英文引用格式：ZHENG Tingting,SANG Xiaoshuang,,MA Binbin..a-cut sets of hesitant fuzzy sets and their applications[J].CAAI transactions on intelligent systems,2017,12(3):362-370. a-cut sets of hesitant fuzzy sets and their applications ZHENG Tingting,SANG Xiaoshuang,MA Binbin School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230601,China) Abstract:The typical cut set is a bridge between fuzzy sets and clarity sets.The hesitant fuzzy set(HFS)theory, as an extension of the classical fuzzy set theory,has not been thoroughly studied till date;furthermore,there is less discussion regarding the relation between the HFS and classical type-I fuzzy set theory or other fuzzy set theories. This study analyzed the relations between the HFS and type-1 fuzzy set theory and between HFS and interval type-2 fuzzy set theory,proposed the concept of a-cut sets of HFS,and discussed their properties.Meanwhile,the decomposition (representation)theorems and the more general extension principles of HFS based on a-cut sets were deduced.The corresponding properties were studied.The results of the simulation prove the rationality of the a-cut set concept and provide a novel method for hesitant fuzzy multiple attribute decision-making and clustering analysis.All these conclusions deeply enrich the fundamental theory of HFS. Keywords:hesitant fuzzy set;type-1 fuzzy set;interval type-2 fuzzy set;a-cut set;decomposition theorem; extension principle;multiple attribute decision-making;clustering analysis 作为直觉模糊集和模糊多值集的一种新的拓Tora提出了HS的扩展原则，并将此原则用于证 展，犹豫模糊集(hesitant fuzz四set,HFS)由Toma于实他定义的运算的合理性)。还有很多学者讨论 2009年提出1-2】，它的隶属函数是由[0,1]上所有了HS上的距离和相似性度量3)、相关系数[)及 可能的不同值的子集所组成的。Tora介绍了HFS 信息测度6等。之后，人们开始逐渐将Toma的经 的运算及HFS套的概念。此外，为定义集成算子， 典犹豫模糊集拓展到更复杂的情形。Zhu等)利用 犹豫集的隶属度和非隶属度提出了双重犹豫模糊 收稿日期：2017-04-20.网络出版日期：2017-07-03. 集的概念。Chen等[]提出了一种隶属度为区间值 基金项目：安徽省自然科学基金面上项目(1708085MF163). 通信作者：郑婷婷.E-mail:t-小emg@163.com. 的区间值犹豫模糊集模型。Qian等[9)利用一些直

第 １２ 卷第 ３ 期 智 能 系 统 学 报 Ｖｏｌ．１２ №．３ ２０１７ 年 ６ 月 ＣＡＡＩ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｊｕｎ． ２０１７ ＤＯＩ：１０．１１９９２ ／ ｔｉｓ．２０１７０４０２６ 网络出版地址：ｈｔｔｐ： ／ ／ ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ ／ ｋｃｍｓ／ ｄｅｔａｉｌ ／ ２３．１５３８．ＴＰ．２０１７０７０３．１８５３．０１２．ｈｔｍｌ 犹豫模糊集的 α⁃截集及其应用 郑婷婷，桑小双，马斌斌 （安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 ２３０６０１） 摘 要：经典截集是联系模糊集和清晰集的桥梁。 犹豫模糊集作为经典模糊集的拓展，它的相关理论研究还不够深 入，特别是它与经典Ⅰ型模糊集以及其他模糊集之间的关系还缺少讨论。 通过分析犹豫模糊集与Ⅰ型模糊集、区间 Ⅱ型模糊集之间的关系，引入了犹豫模糊集的 α⁃截集的概念并讨论其性质，根据该截集推导出犹豫模糊集的分解 （表示）定理和更普适的扩展原则。 通过分析相关性质及仿真实例，说明了犹豫模糊集的截集概念的合理性，为犹豫 模糊多属性决策和聚类分析等问题提供了新的方法。 这些结果也极大丰富了犹豫模糊集的相关基础理论。 关键词：犹豫模糊集；Ⅰ型模糊集；区间Ⅱ型模糊集；α⁃截集；分解定理；扩展原则；多属性决策；聚类分析 中图分类号：ＴＰ１８；Ｏ１５９ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７３－４７８５（２０１７）０３－０３６２－０９ 中文引用格式：郑婷婷，桑小双，马斌斌．犹豫模糊集的 α－截集及其应用［Ｊ］． 智能系统学报， ２０１７， １２（３）： ３６２－３７０． 英文引用格式：ＺＨＥＮＧ Ｔｉｎｇｔｉｎｇ，ＳＡＮＧ Ｘｉａｏｓｈｕａｎｇ，ＭＡ Ｂｉｎｂｉｎ． α⁃ｃｕｔ ｓｅｔｓ ｏｆ ｈｅｓｉｔａｎｔ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［ Ｊ］． ＣＡＡＩ ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ ｓｙｓｔｅｍｓ， ２０１７， １２（３）： ３６２－３７０． α⁃ｃｕｔ ｓｅｔｓ ｏｆ ｈｅｓｉｔａｎｔ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ＺＨＥＮＧ Ｔｉｎｇｔｉｎｇ， ＳＡＮＧ Ｘｉａｏｓｈｕａｎｇ， ＭＡ Ｂｉｎｂｉｎ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ， Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｈｅｆｅｉ ２３０６０１， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｔｙｐｉｃａｌ ｃｕｔ ｓｅｔ ｉｓ ａ ｂｒｉｄｇｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ ａｎｄ ｃｌａｒｉｔｙ ｓｅｔｓ． Ｔｈｅ ｈｅｓｉｔａｎｔ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ （ＨＦＳ） ｔｈｅｏｒｙ， ａｓ ａｎ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ， ｈａｓ ｎｏｔ ｂｅｅｎ ｔｈｏｒｏｕｇｈｌｙ ｓｔｕｄｉｅｄ ｔｉｌｌ ｄａｔｅ； ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅ， ｔｈｅｒｅ ｉｓ ｌｅｓｓ ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｒｅｇａｒｄｉｎｇ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ＨＦＳ ａｎｄ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｔｙｐｅ⁃Ｉ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ｏｒ ｏｔｈｅｒ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｉｅｓ． Ｔｈｉｓ ｓｔｕｄｙ ａｎａｌｙｚｅｄ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ＨＦＳ ａｎｄ ｔｙｐｅ⁃１ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ ｂｅｔｗｅｅｎ ＨＦＳ ａｎｄ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｔｙｐｅ⁃２ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ ｔｈｅｏｒｙ， ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｏｆ α⁃ｃｕｔ ｓｅｔｓ ｏｆ ＨＦＳ， ａｎｄ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ ｔｈｅｉｒ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ． Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ， ｔｈｅ ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ （ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ） ｔｈｅｏｒｅｍｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｍｏｒｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ｏｆ ＨＦＳ ｂａｓｅｄ ｏｎ α⁃ｃｕｔ ｓｅｔｓ ｗｅｒｅ ｄｅｄｕｃｅｄ． Ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｗｅｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ． Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｒａｔｉｏｎａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ α⁃ｃｕｔ ｓｅｔ ｃｏｎｃｅｐｔ ａｎｄ ｐｒｏｖｉｄｅ ａ ｎｏｖｅｌ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｈｅｓｉｔａｎｔ ｆｕｚｚｙ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｍａｋｉｎｇ ａｎｄ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ． Ａｌｌ ｔｈｅｓｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓ ｄｅｅｐｌｙ ｅｎｒｉｃｈ ｔｈｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ＨＦＳ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｈｅｓｉｔａｎｔ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ； ｔｙｐｅ⁃１ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ； ｉｎｔｅｒｖａｌ ｔｙｐｅ⁃２ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ； α⁃ｃｕｔ ｓｅｔ； ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ； ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ； ｍｕｌｔｉｐｌｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅ ｄｅｃｉｓｉｏｎ⁃ｍａｋｉｎｇ； ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ 收稿日期： ０１７－０ ２０． 期：２０１７－０７－ 基金项目： ２ 安徽省自 ４－ 然科学基 网 金 络 面 出 上 版 项 日 目（１７０８０８５ＭＦ１ ０ ６ ３ ３ ． 作为直觉模糊集和模糊多值集的一种新的拓 展，犹豫模糊集（ ｈｅｓｉｔａｎｔ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ， ＨＦＳ）由 Ｔｏｒｒａ 于 ２００９ 年提出［１－２］ ，它的隶属函数是由［０，１］ 上所有 可能的不同值的子集所组成的。 Ｔｏｒｒａ 介绍了 ＨＦＳ 的运算及 ＨＦＳ 套的概念。 此外，为定义集成算子， Ｔｏｒｒａ 提出了 ＨＦＳ 的扩展 通信作者：郑婷婷．Ｅ⁃ｍａｉｌ：ｔｔ⁃ｚｈｅｎｇ＠ １６３．ｃｏｍ． 原则，并将此原则用于证 实他定义的运算的合理性［１］ 。 还有很多学者讨论 了 ＨＦＳ 上的距离和相似性度量［３－４］ 、相关系数［５］ 及 信息测度［６］ 等。 之后，人们开始逐渐将 Ｔｏｒｒａ 的经 典犹豫模糊集拓展到更复杂的情形。 Ｚｈｕ 等［７］利用 犹豫集的隶属度和非隶属度提出了双重犹豫模糊 集的概念。 Ｃｈｅｎ 等［８］ 提出了一种隶属度为区间值 的区间值犹豫模糊集模型。 Ｑｉａｎ 等［９］ 利用一些直 )

第3期 郑婷婷，等：犹豫模糊集的α-截集及其应用 ·363· 觉模糊集的并作为隶属度定义广义犹豫模糊集。 x→M Y1o介绍了三角模糊犹豫模糊集，其隶属度为一 些三角模糊数。Rodriguez等山将HFS扩展到语言 式中A,为[0,1]上的函数，即 环境，并提出了犹豫模糊语言术语集的概念。如 A.:[0,1]→[0,1] 今，HS及其扩展模型已经成功应用于决 u→A(u) 策[7,8.1-7]、评价[1o和聚类8-1]等领域。 对任意x∈X,定义Ju(x)={u|A(u)≠0}≤ 然而，关于经典犹豫模糊集的基本模糊理论还 [0,1],称J4(x)为x的主隶属度，A(u)为x在J 没有被完全研究，目前主要的研究仍主要集中在经 (x)上的次隶属度[2。X上所有的Ⅱ型模糊集组成 典犹豫模糊集及其拓展形式的运算法则与集成算 子5)、相关测度研究[6.18-]等。本文首先提出HFS 的集合记为T2FS(X)。 的α-截集的概念，将其定义为I型模糊集，在此基 若对任意x∈X,A,(u)仅为0或1时，称Ⅱ型模 础上建立分解定理和更一般的扩展原理，并讨论其 糊集为区间Ⅱ型模糊集(interval type-2 fuzzy set, 性质。最后，通过实例说明其在多属性决策和聚类 IT2FS)。 分析中的应用。 对于T2FS,当且仅当u∈Ja(x)时，A(u)=1成 1预备知识 立；当且仅当u生J,(x)时，A(u)=0成立。这说明， 只要给定每个元素的主隶属度，其次隶属度就可以 本节回顾I型模糊集、区间Ⅱ型模糊集和犹豫 确定。也就是说，A,可以视为清晰集的特征函数。 模糊集等的相关概念。为后面讨论需要，假设本文 故T2FS的定义可视为定义4。 所讨论的论域均为非空有限论域。 定义4设[0,1]上的所有闭子区间组成的类 1.1I型模糊集(T1FS) I型模糊集也称为Zadeh模糊集或者经典模 为D[0,1],区间Ⅱ型模糊集A可由X上的函数表 糊集。 示为 定义12o]论域X上的I型模糊集(type-1 A={(x,J(x))x∈X}, (1) fuz四set,T1FS)A,记作A={(x,u4(x)〉|x∈X}。 式中： 它由隶属（特征）函数44表示，满足： Ja:X→D[0,1]x→J:(x) 44:X→[0,1] 式中Ja(x)可能是离散的{u:(x)i=1,2,…,n}或 xμ(x) 者为连续的[J(x),JR(x)]。X上的所有区间Ⅱ 式中u,(x)表示x属于A的隶属度。X上所有的I 型模糊集的全体组成的集合记为T2FS(X)。 型模糊集全体组成的集合为T1FS(X)。 定义5设A,B∈T2S(X),定义区间Ⅱ型模 定义221-]设A∈T1FS(X),对任意a∈[0， 糊集的运算如下： 1],定义a-截集A.和α-强截集A.,它们都是X上 1)若设x∈X,J(x)={u:(x)i=1,2,…,m.}, 的精确集，分别满足： J(x)={u(x)j=1,2,…,n},则 A.={x∈Xlu(x)≥a ①Jc(x)={1-ua(x)li=1,2,…,m}; A。={x∈Xlu(x）>a ②Jiu店（x)={maui（x),u每(x)} 有关这一类截集的性质以及T1S的分解定理 i=1,2,…,m,j1,2,…,n}; 和扩展原理详见文献[21-24]。 ③Jana(x)={min{u:(x),u(x)}i=1,2,…, 1.2区间Ⅱ型模糊集(T2FS) mj=1,2,…,n}。 区间Ⅱ型模糊集是Ⅱ型模糊集的特例.Zadeh 2)若设x∈X,J(x)=[J(x),JiR(x)], 将它们均视为经典模糊集的扩展。 定义32]论域X上的Ⅱ型模糊集(ype-2 Ja(x)=[JaL(x),Jz(x)], ①J1c(x)=[1-J(x),1-Ji(x)]; fz四set,T2FS)A,记为 2J(x)=[max JiL(x),JaL(x),max Jig A={(x,(u,A(u)〉x∈X,u∈[0,1]} (x),JR(x)}]; 它满足： 3J(x)=min JiL(x),JaL(x),min Ji A:X→[0,1]0. (x),JBr(x)}]

觉模糊集的并作为隶属度定义广义犹豫模糊集。 Ｙｕ ［１０］介绍了三角模糊犹豫模糊集，其隶属度为一 些三角模糊数。 Ｒｏｄｒｉｇｕｅｚ 等［１１］ 将 ＨＦＳ 扩展到语言 环境，并提出了犹豫模糊语言术语集的概念。 如 今， ＨＦＳ 及 其 扩 展 模 型 已 经 成 功 应 用 于 决 策［７，８，１１－１７］ 、评价［１０］和聚类［１８－１９］等领域。 然而，关于经典犹豫模糊集的基本模糊理论还 没有被完全研究，目前主要的研究仍主要集中在经 典犹豫模糊集及其拓展形式的运算法则与集成算 子［１５］ 、相关测度研究［６，１８－１９］ 等。 本文首先提出 ＨＦＳ 的 α－截集的概念，将其定义为Ⅰ型模糊集，在此基 础上建立分解定理和更一般的扩展原理，并讨论其 性质。 最后，通过实例说明其在多属性决策和聚类 分析中的应用。 １ 预备知识 本节回顾Ⅰ型模糊集、区间Ⅱ型模糊集和犹豫 模糊集等的相关概念。 为后面讨论需要，假设本文 所讨论的论域均为非空有限论域。 １．１ Ⅰ型模糊集（Ｔ１ＦＳ） Ⅰ型模糊集也称为 Ｚａｄｅｈ 模糊集或者经典模 糊集。 定义 １ ［２０］ 论域 Ｘ 上的Ⅰ型模糊集 （ ｔｙｐｅ⁃１ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ，Ｔ１ＦＳ） Ａ，记作 Ａ ＝ ｛〈 ｘ，μＡ （ ｘ）〉 ｘ∈Ｘ｝。 它由隶属（特征）函数 μＡ 表示，满足： μＡ ：Ｘ → ［０，１］ ｘ aμＡ（ｘ） 式中 μＡ（ｘ）表示 ｘ 属于 Ａ 的隶属度。 Ｘ 上所有的Ⅰ 型模糊集全体组成的集合为 Ｔ１ＦＳ（Ｘ）。 定义 ２ ［２１－２２］ 设 Ａ∈Ｔ１ＦＳ（Ｘ），对任意 α∈［０， １］，定义 α－截集 Ａα 和 α－强截集 Ａα ，它们都是 Ｘ 上 的精确集，分别满足： Ａα ＝ ｛ｘ ∈ Ｘ μＡ（ｘ） ≥ α｝ Ａα ＝ ｛ｘ ∈ Ｘ μＡ（ｘ） ＞ α｝ 有关这一类截集的性质以及 Ｔ１ＦＳ 的分解定理 和扩展原理详见文献［２１－２４］。 １．２ 区间Ⅱ型模糊集（ＩＴ２ＦＳ） 区间Ⅱ型模糊集是Ⅱ型模糊集的特例，Ｚａｄｅｈ 将它们均视为经典模糊集的扩展。 定义 ３ ［２５］ 论域 Ｘ 上的Ⅱ型模糊集 （ ｔｙｐｅ⁃２ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ，Ｔ２ＦＳ） Ａ ～ ，记为 Ａ ～ ＝ ｛〈ｘ，（ｕ，Ａ ～ ｘ（ｕ））〉 ｘ ∈ Ｘ，μ ∈ ［０，１］｝ 它满足： Ａ ～ ：Ｘ → ［０，１］ ［０，１］ ｘ aＡｘ ～ 式中Ａ ～ ｘ 为［０，１］上的函数，即 Ａ ～ ｘ：［０，１］ → ［０，１］ ｕ aＡ ～ ｘ（ｕ） 对任意 ｘ∈Ｘ，定义 ＪＡ （ ｘ） ＝ ｛ ｕ Ａ ～ ｘ（ｕ）≠０｝ ⊆ ［０，１］，称 ＪＡ（ ｘ） 为 ｘ 的主隶属度，Ａ ～ ｘ（ ｕ） 为 ｘ 在 ＪＡ （ｘ）上的次隶属度［２６］ 。 Ｘ 上所有的Ⅱ型模糊集组成 的集合记为 Ｔ２ＦＳ（Ｘ）。 若对任意 ｘ∈Ｘ，Ａ ～ ｘ（ｕ）仅为 ０ 或 １ 时，称Ⅱ型模 糊集为区间Ⅱ型模糊集（ ｉｎｔｅｒｖａｌ ｔｙｐｅ⁃２ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔ， ＩＴ２ＦＳ）。 对于 ＩＴ２ＦＳ，当且仅当 ｕ∈ＪＡ（ｘ）时，Ａ ～ ｘ（ｕ）＝ １ 成 立；当且仅当 ｕ∉ＪＡ（ｘ）时，Ａ ～ ｘ（ｕ）＝ ０ 成立。 这说明， 只要给定每个元素的主隶属度，其次隶属度就可以 确定。 也就是说，Ａ ～ ｘ 可以视为清晰集的特征函数。 故 ＩＴ２ＦＳ 的定义可视为定义 ４。 定义 ４ 设［０，１］上的所有闭子区间组成的类 为 Ｄ［０，１］，区间Ⅱ型模糊集 Ａ ～ 可由 Ｘ 上的函数表 示为 Ａ ～ ＝ ｛〈ｘ，Ｊ Ａ ～ （ｘ）〉 ｘ ∈ Ｘ｝， （１） 式中： Ｊ Ａ ～ ：Ｘ → Ｄ［０，１］ ｘ aＪ Ａ ～ （ｘ） 式中 Ｊ Ａ ～ （ｘ）可能是离散的｛ｕ Ａ ～ ｉ（ｘ） ｉ ＝ １，２，…，ｎｘ｝或 者为连续的［ Ｊ Ａ ～ Ｌ（ ｘ），Ｊ Ａ ～ Ｒ（ ｘ）］。 Ｘ 上的所有区间Ⅱ 型模糊集的全体组成的集合记为 ＩＴ２ＦＳ（Ｘ）。 定义 ５ 设 Ａ ～ ，Ｂ ～ ∈ＩＴ２ＦＳ（Ｘ），定义区间Ⅱ型模 糊集的运算如下： １）若设 ｘ∈Ｘ，Ｊ Ａ ～ （ｘ）＝ ｛ｕ Ａ ～ ｉ（ｘ） ｉ ＝ １，２，…，ｍｘ｝， ＪＢ ～ （ｘ）＝ ｛ｕＢ ～ ｊ（ｘ） ｊ ＝ １，２，…，ｎｘ｝，则 ①Ｊ Ａ ～ Ｃ（ｘ）＝ ｛１－ｕ Ａ ～ ｉ（ｘ） ｉ ＝ １，２，…，ｍｘ｝； ② Ｊ Ａ ～∪Ｂ ～ （ ｘ ） ＝ ｛ ｍａｘ ｛ ｕＡ ～ ｉ （ ｘ ）， ｕＢ ～ ｊ （ ｘ ）｝ ｉ＝１，２，…，ｍｘ， ｊ＝１，２，…，ｎｘ｝； ③Ｊ Ａ ～∩Ｂ ～ （ｘ）＝ ｛ｍｉｎ｛ｕ Ａ ～ ｉ（ｘ），ｕＢ ～ ｊ（ｘ）｝ ｉ ＝ １，２，…， ｍｘ，ｊ ＝ １，２，…，ｎｘ｝。 ２） 若 设 ｘ ∈ Ｘ， Ｊ Ａ ～ （ ｘ） ＝ ［ Ｊ Ａ ～ Ｌ （ ｘ ）， Ｊ Ａ ～ Ｒ （ ｘ ）］， ＪＢ ～ （ｘ）＝ ［ＪＢ ～ Ｌ（ｘ），ＪＢ ～ Ｒ（ｘ）］，则 ①Ｊ Ａ ～ Ｃ（ｘ）＝ ［１－Ｊ Ａ ～ Ｒ（ｘ），１－Ｊ Ａ ～ Ｌ（ｘ）］； ②Ｊ Ａ ～∪Ｂ ～ （ｘ） ＝ ［ ｍａｘ ｛ Ｊ Ａ ～ Ｌ （ ｘ），ＪＢ ～ Ｌ （ ｘ）｝，ｍａｘ ｛ Ｊ Ａ ～ Ｒ （ｘ），ＪＢ ～ Ｒ（ｘ）｝］； ③Ｊ Ａ ～∩Ｂ ～ （ ｘ） ＝ ［ ｍｉｎ ｛ Ｊ Ａ ～ Ｌ （ ｘ），ＪＢ ～ Ｌ （ ｘ）｝，ｍｉｎ ｛ Ｊ Ａ ～ Ｒ （ｘ），ＪＢ ～ Ｒ（ｘ）｝］。 第 ３ 期 郑婷婷，等：犹豫模糊集的 α－截集及其应用 ·３６３·

·364. 智能系统学报 第12卷 1.3犹豫模糊集(HFS)】 hE,(x)Uhg,(x)={0.2,0.4,0.6,0.8,1}。 Tora和Narukawa在直觉模糊集和模糊多值集 依据定义8，故hgus(x)=0.4,0.6,0.8,1}, 的基础上首次提出犹豫模糊集的概念-)，它可以 hg,nE,(x)={0.2,0.4,0.6},hec(x)=10.4,0.6,0.8} 描述决策中某些犹豫不定的情况，例如某个专家可 若令J1,(x)={0.2,0.4,0.6},J,(x)={0.4, 能会给某个元素定义一组可能的隶属度。 定义62,5)论域X上的犹豫模糊集E记为 0.8,1},则A,和A2可视为X上的两个区间Ⅱ型模 糊集。 E={(x,he(x)〉|x∈X}, (2) 式中 由定义5可知： he:X→P([0,1]) Jiui2(x)={0.4,0.6,0.8,1}=hEuE,(x） x→he(x) Jna,(x)=10.2,0.4,0.6}=hens,(x) 式中，he(x)C[0,I]表示元素x属于集合E的可能 Ja5={0.4,0.6,0.8}=hE(x) 2.2犹豫模糊集的截集 隶属度，称为x的犹豫模糊隶属度。X上的所有犹 豫模糊集的全体组成的集合记为HFS(X)。 由上讨论可知，离散T2FS与HFS是有关联 元素的犹豫隶属度可能为[0,1]上的可数或不 的。Zadeh[、Liu28]、Mendel2和Hamrawi0-3均 可数子集。若he仅将X上的元素映射到[0,1]上 讨论过基于a-平面的T2S的表现定理（实际上是 的有限离散点集，这种犹豫模糊集称为经典犹豫模 分解定理)。离散T2FS是T2FS的特殊形式，它也 糊集切。本文不加说明，所讨论的犹豫模糊集 符合上述讨论的表现定理。袁[2-3)也曾突破“截集 (HFS)均为经典犹豫模制集。 必须是经典集合”的限制，利用三值模糊集和五值 定义7)设E∈HFS(X),其上、下界分别为 模糊集分别作为直觉模糊集和区间直觉模糊集的 he(x)=minrre he(x) 截集的定义。进一步，Shangt3]提出了n维模糊集 he(x)=maxrlre hg(x) 的概念，并指出n维模糊集的截集是一个具有n+1 定义8)设E,E1,E2∈HFS(X),定义犹豫模 个值的模糊集。受这些截集概念的启发，本节将 糊集的基本运算如下： HFS的a-截集定义为T1FS。 1)hgc(x)=11-rlrehg(x); 定义9设E∈HFS(X)且a∈[0,1]，定义E 2)hEus,(x)={r∈hg,(x)Uhg,(x)lr≥maxh,(x). 的a-上截集，记为E。,其满足E。={(x,E.（x) hg,(x)},或者等价于{max{n1,r2}r1∈hE,（x),2∈ |x∈X}∈T1FS(X),其中 [min{rehe(x)|r≥a}, he(x); 3)he,ne,(x)={r∈hg,(x)Uhg,(x)lr≤minh(x), 八g（x)= {r∈he(x)lr≥a≠☑(3) 0,{r∈he(x)lr≥a}=O h结，(x)},或者等价于{mim{r1,r2}r∈hg,（x), 2∈hg,(x)lo 若将式(3)中{r∈he(x)lr≥a}更改为{re he(x)|r>a},且其余部分不变，则可定义E的a- 2犹豫模糊集的α-截集 强上截集E。={(x,g.(x)）x∈X}。 2.1犹豫模糊集与离散区间二型模糊集的关系 同样，也可定义E的a-下截集E={〈x,μ(x)》 经典犹豫模糊集中he(x)是[0,1]上的一组有 |x∈X},其中 限离散值，这些离散值均是x在E上的可能隶属度 max{r∈he(x)lr≤a}, 值，可视为主隶属度值。比较式(1)和式(2)，不难 uea(x）= {r∈he(x)lr≤a}≠0(4) 发现，在离散情况下T2S的概念与经典HFS的概 0,{r∈he(x)lr≤a=☑ 念是一致的，且根据定义5和定义8可知，离散 若将式(4)中{r∈he(x)|r≤a}更改为{r∈ T2FS的补、并和交运算分别相当于HFS的补、并和 h(x)|r<a},且其余部分不变，则可得到E的a- 交。接下来的例子将进一步说明这一结果。 强下截集E={(x(x)x∈X}。 例1设E1,E2∈HFS(X),对某个x∈X,令 例2设E∈HFS(X),其中X={x1,x2},E= hE(x)={0.2,0.4,0.6},hg,(x)={0.4,0.8,1},则 {(x1,{0.2,0.4,0.6}),〈x2,{0.3,0.7}〉}。由定义 hg(x)=0.2,hg,(x)=0.4,hi(x)=0.6,h,(x)=1, 9有

１．３ 犹豫模糊集（ＨＦＳ） Ｔｏｒｒａ 和 Ｎａｒｕｋａｗａ 在直觉模糊集和模糊多值集 的基础上首次提出犹豫模糊集的概念［１－２］ ，它可以 描述决策中某些犹豫不定的情况，例如某个专家可 能会给某个元素定义一组可能的隶属度。 定义 ６ ［２，１５］ 论域 Ｘ 上的犹豫模糊集 Ｅ 记为 Ｅ ＝ ｛〈ｘ，ｈＥ（ｘ）〉 ｘ ∈ Ｘ｝， （２） 式中 ｈＥ ：Ｘ → Ｐ（［０，１］） ｘ aｈＥ（ｘ） 式中，ｈＥ（ｘ）⊆［０，１］表示元素 ｘ 属于集合 Ｅ 的可能 隶属度，称为 ｘ 的犹豫模糊隶属度。 Ｘ 上的所有犹 豫模糊集的全体组成的集合记为 ＨＦＳ（Ｘ）。 元素的犹豫隶属度可能为［０，１］上的可数或不 可数子集。 若 ｈＥ 仅将 Ｘ 上的元素映射到［０，１］上 的有限离散点集，这种犹豫模糊集称为经典犹豫模 糊集［２７］ 。 本文不加说明， 所 讨 论 的 犹 豫 模 糊 集 （ＨＦＳ）均为经典犹豫模糊集。 定义 ７ ［２］ 设 Ｅ∈ＨＦＳ（Ｘ），其上、下界分别为 ｈ － Ｅ （ｘ） ＝ ｍｉｎ｛ｒ ｒ ∈ ｈＥ（ｘ）｝ ｈ ＋ Ｅ （ｘ） ＝ ｍａｘ｛ｒ ｒ ∈ ｈＥ（ｘ）｝ 定义 ８ ［２］ 设 Ｅ，Ｅ１ ，Ｅ２∈ＨＦＳ（Ｘ），定义犹豫模 糊集的基本运算如下： １）ｈＥＣ（ｘ）＝ ｛１－ｒ ｒ∈ｈＥ（ｘ）｝； ２）ｈＥ１∪Ｅ２ （ｘ）＝ ｛ｒ∈ｈＥ１ （ｘ）∪ｈＥ２ （ｘ） ｒ≥ｍａｘ｛ｈ － Ｅ１ （ｘ）， ｈ － Ｅ２ （ｘ）｝｝，或者等价于｛ｍａｘ ｛ｒ１，ｒ２ ｝ ｒ１∈ｈＥ１ （ｘ），ｒ２ ∈ ｈＥ２ （ｘ）｝； ３）ｈＥ１∩Ｅ２ （ｘ）＝ ｛ｒ∈ｈＥ１ （ｘ）∪ｈＥ２ （ｘ） ｜ｒ≤ｍｉｎ｛ｈ ＋ Ｅ１ （ｘ）， ｈ ＋ Ｅ２ （ ｘ）｝｝， 或 者 等 价 于 ｛ｍｉｎ ｛ ｒ１， ｒ２ ｝ ｒ１∈ｈＥ１ （ ｘ）， ｒ２∈ｈＥ２ （ｘ）｝。 ２ 犹豫模糊集的 α⁃截集 ２．１ 犹豫模糊集与离散区间二型模糊集的关系 经典犹豫模糊集中 ｈＥ（ ｘ）是［０，１］上的一组有 限离散值，这些离散值均是 ｘ 在 Ｅ 上的可能隶属度 值，可视为主隶属度值。 比较式（１）和式（２），不难 发现，在离散情况下 ＩＴ２ＦＳ 的概念与经典 ＨＦＳ 的概 念是一致的，且根据定义 ５ 和定义 ８ 可知，离散 ＩＴ２ＦＳ 的补、并和交运算分别相当于 ＨＦＳ 的补、并和 交。 接下来的例子将进一步说明这一结果。 例 １ 设 Ｅ１ ，Ｅ２ ∈ＨＦＳ （ Ｘ），对某个 ｘ∈Ｘ，令 ｈＥ１ （ｘ）＝ ｛０．２，０．４，０．６｝，ｈＥ２ （ ｘ） ＝ ｛ ０． ４，０． ８，１｝，则 ｈ － Ｅ１ （ｘ）＝ ０．２，ｈ － Ｅ２ （ｘ） ＝ ０．４，ｈ ＋ Ｅ１ （ ｘ） ＝ ０．６，ｈ ＋ Ｅ２ （ ｘ） ＝ １， ｈＥ１ （ｘ）∪ｈＥ２ （ｘ）＝ ｛０．２，０．４，０．６，０．８，１｝。 依据定义 ８，故 ｈＥ１∪Ｅ２ （ ｘ） ＝ ｛０．４，０．６，０．８，１｝， ｈＥ１∩Ｅ２ （ｘ）＝ ｛０．２，０．４，０．６｝，ｈＥ Ｃ １ （ｘ）＝ ｛０．４，０．６，０．８｝。 若令 Ｊ Ａ ～ １ （ ｘ） ＝ ｛ ０． ２，０． ４，０． ６｝，Ｊ Ａ ～ ２ （ ｘ） ＝ ｛ ０． ４， ０．８， １} ，则Ａ ～ １ 和Ａ ～ ２ 可视为 Ｘ 上的两个区间Ⅱ型模 糊集。 由定义 ５ 可知： Ｊ Ａ ～ １∪Ａ ～ ２ （ｘ）＝ ｛０．４，０．６，０．８，１｝ ＝ ｈＥ１∪Ｅ２ （ｘ） Ｊ Ａ ～ １∩Ａ ～ ２ （ｘ）＝ ｛０．２，０．４，０．６｝ ＝ ｈＥ１∩Ｅ２ （ｘ） Ｊ Ａ ～ Ｃ １ ＝ ｛０．４，０．６，０．８｝ ＝ ｈＥ Ｃ １ （ｘ） ２．２ 犹豫模糊集的截集 由上讨论可知，离散 ＩＴ２ＦＳ 与 ＨＦＳ 是有关联 的。 Ｚａｄｅｈ ［２５］ 、Ｌｉｕ ［２８］ 、Ｍｅｎｄｅｌ ［２９］ 和 Ｈａｍｒａｗｉ ［３０－３２］ 均 讨论过基于 α⁃平面的 Ｔ２ＦＳ 的表现定理（实际上是 分解定理）。 离散 ＩＴ２ＦＳ 是 Ｔ２ＦＳ 的特殊形式，它也 符合上述讨论的表现定理。 袁［３２－３４］也曾突破“截集 必须是经典集合” 的限制，利用三值模糊集和五值 模糊集分别作为直觉模糊集和区间直觉模糊集的 截集的定义。 进一步，Ｓｈａｎｇ ［３５］ 提出了 ｎ 维模糊集 的概念，并指出 ｎ 维模糊集的截集是一个具有 ｎ＋１ 个值的模糊集。 受这些截集概念的启发，本节将 ＨＦＳ 的 α⁃截集定义为 Ｔ１ＦＳ。 定义 ９ 设 Ｅ∈ＨＦＳ（Ｘ） 且 α∈［０，１］，定义 Ｅ 的 α－上截集，记为 Ｅα ， 其满足 Ｅα ＝ ｛〈 ｘ，μＥα （ ｘ）〉 ｘ∈Ｘ｝∈Ｔ１ＦＳ（Ｘ），其中 μＥα （ｘ） ＝ ｍｉｎ｛ｒ ∈ ｈＥ（ｘ） ｒ ≥ α｝， ｛ｒ ∈ ｈＥ（ｘ） ｒ ≥ α｝ ≠ ⌀ ０， ｛ｒ ∈ ｈＥ（ｘ） ｒ ≥ α｝ ＝ ⌀ ì î í ï ï ï ï （３） 若将式 （ ３） 中 ｛ ｒ ∈ ｈＥ （ ｘ ） ｒ≥α ｝ 更 改 为 ｛ｒ ∈ ｈＥ（ｘ） ｒ ＞ α｝， 且其余部分不变，则可定义 Ｅ 的 α－ 强上截集 Ｅα ＝ ｛〈ｘ，μＥα （ｘ）〉 ｘ∈Ｘ｝。 同样，也可定义 Ｅ 的 α－下截集 Ｅ α ＝｛〈ｘ，μＥα（ｘ）〉 ｘ∈Ｘ｝，其中 μＥα（ｘ） ＝ ｍａｘ｛ｒ ∈ ｈＥ（ｘ） ｒ ≤ α｝， ｛ｒ ∈ ｈＥ（ｘ） ｒ ≤ α｝ ≠ ⌀ ０， ｛ｒ ∈ ｈＥ（ｘ） ｒ ≤ α｝ ＝ ⌀ ì î í ï ï ï ï （４） 若将式（４） 中｛ ｒ∈ｈＥ （ ｘ） ｒ≤α｝ 更改为 ｛ｒ ∈ ｈＥ（ｘ） ｒ ＜ α｝， 且其余部分不变，则可得到 Ｅ 的 α⁃ 强下截集 Ｅ α ＝ ｛（ｘ，μＥα（ｘ）） ｘ∈Ｘ｝。 例 ２ 设 Ｅ∈ＨＦＳ（Ｘ），其中 Ｘ ＝ ｛ ｘ１ ，ｘ２ ｝，Ｅ ＝ ｛〈ｘ１ ，｛０．２，０．４，０．６｝〉，〈 ｘ２ ，｛０．３，０．７｝〉｝。 由定义 ９ 有 ·３６４· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷

第3期 郑婷婷，等：犹豫模糊集的α-截集及其应用 ·365· f0.2,0≤a≤0.2 0, 0≤a<0.2 0.4, 0.2<≤0.4 {(x1,0.2)}, 0.2≤a<0.3 ug.（x1）= 0.6,0.4<a≤0.6 {(x1,0.2),(x2,0.3)},0.3≤a<0.4 0, 0.6<≤1 {(x1,0.4),(x2,0.3)},0.4≤a<0.6 0.2,0≤a<0.2 {(x1,0.6),(x2,0.3)},0.6≤a<0.7 0.4,0.2≤a<0.4 g（x1）= 1(x1,0.6),(x2,0.7)},0.7≤a≤1 0.6,0.4≤a<0.6 0, 0≤a≤0.2 0, 0.6≤α≤1 {(x1,0.2)}, 0.2<a≤0.3 0,0≤a<0.2 {(x1,0.2),(x2,0.3)},0.3<a≤0.4 0.2,0.2≤a<0.4 E= uga(x1)= {(x1,0.4),(x2,0.3)},0.4<a≤0.6 0.4,0.4≤a<0.6 {(x1,0.6),(x2,0.3)},0.6<a≤0.7 0.6,0.6≤a≤1 {(x1,0.6),(x2,0.7)},0.7<a≤1 0, 0≤a≤0.2 性质1设E,F∈HFS(X),a∈[0,1]，{&，1∈ 0.2,0.2<a≤0.4 Lga(x1)= T}≤[0,1]，则 0.4,0.4<a≤0.6 1)ECE;E CE; 0.6, 0.6<a≤1 2)a1<a2→E1CE,ECE; 0.3,0≤a≤0.3 若a,<a,≤A{h(x),则ECE, g.(x2)=0.7,0.3<a≤0.7 0, 0.7<a≤1 若a,<a,<A{h(x)i,则E。SEei 0.3,0≤a<0.3 3)(EUF)CEUF;(EUF)CE.UF; (x2)=0.7,0.3≤a<0.7 (EUF)CEUF;(EUF)EUF; 0, 4)(EnF)2E0F(EnF)2E0F; 0.7≤a≤1 (E∩F)“2E∩F:(E∩F)2E∩F9; f0, 0≤a<0.3 ug(x2)=0.3,0.3≤a<0.7 5)设a,teT}满足a=个，a,,b=出a,<A 0.7,0.7≤a≤1 {h(x)},则 0, 0≤a≤0.3 QE。=E.QE=EaE。=B=E4i (x2)=0.3,0.3<a≤0.7 0E=E;0E=E2:,E=E;=E; 0.7,0.7<a≤1 6)若a<A{h(x)},则 故 (E。)=(E)1-;(E).=(E)f; {(x1,0.2),(x2,0.3)},0≤a≤0.2 (E。)C=(Ec)e;(Ec).=(E=)C; {(x1,0.4),(x2,0.3)},0.2<a≤0.3 7)E。=E。=E=E;E1=E=9=☑。 {(x1,0.4),(x2,0.7)},0.3<a≤0.4 证明：易证性质1)、2)和7)，因此此处证明略。 E.= {(x1,0.6),(x2,0.7)},0.4<a≤0.6 证明3)，即(EUF).CE.UF。成立。 {(x2,0.7)}, 0.6<≤0.7 对于x∈X,以下依据α的取值进行讨论： 0, 0.7<a≤1 ①当a>max{hE(x),h体(x)}时，{rehe(x) |r≥a}={rehr(x)lr≥a={r EhEUF(x)lr≥a=g, {(x1,0.2),(x2,0.3)},0≤a<0.2 故g.(x)=4.(x)=(una(x)=0,从而h(una(x)= {(x1,0.4),(x2,0.3)},0.2≤<0.3 max (x)(x)(x)=0. {(x1,0.4),(x2,0.7)},0.3≤a<0.4 E。 ②当max{h(x),h(x)}≥a>max{hE(x),h(x)f {(x1,0.6),(x2,0.7)},0.4≤a<0.6 时，有{r∈he(x)Uhp(x)lr≥a2{r∈he(x)lr≥a且 {(x2,0.7)}, 0.6≤a<0.7 {rehe(x)Uhr(x)lr≥a}2{rehr(x)lr≥a,故 0, 0.7≤a≤1 (EUF)(x)=minrEhgur(x)ra=minrEhg(x)Uhe

μＥα （ｘ１ ） ＝ ０．２， ０ ≤ α ≤ ０．２ ０．４， ０．２ ＜ α ≤ ０．４ ０．６， ０．４ ＜ α ≤ ０．６ ０， ０．６ ＜ α ≤ １ ì î í ï ïï ï ïï μＥα （ｘ１ ） ＝ ０．２， ０ ≤ α ＜ ０．２ ０．４， ０．２ ≤ α ＜ ０．４ ０．６， ０．４ ≤ α ＜ ０．６ ０， ０．６ ≤ α ≤ １ ì î í ï ïï ï ïï μＥα（ｘ１ ） ＝ ０， ０ ≤ α ＜ ０．２ ０．２， ０．２ ≤ α ＜ ０．４ ０．４， ０．４ ≤ α ＜ ０．６ ０．６， ０．６ ≤ α ≤ １ ì î í ï ïï ï ïï μＥα（ｘ１ ） ＝ ０， ０ ≤ α ≤ ０．２ ０．２， ０．２ ＜ α ≤ ０．４ ０．４， ０．４ ＜ α ≤ ０．６ ０．６， ０．６ ＜ α ≤ １ ì î í ï ïï ï ïï μＥα （ｘ２ ） ＝ ０．３， ０ ≤ α ≤ ０．３ ０．７， ０．３ ＜ α ≤ ０．７ ０， ０．７ ＜ α ≤ １ ì î í ï ï ïï μＥα （ｘ２ ） ＝ ０．３， ０ ≤ α ＜ ０．３ ０．７， ０．３ ≤ α ＜ ０．７ ０， ０．７ ≤ α ≤ １ ì î í ï ï ïï μＥα（ｘ２ ） ＝ ０， ０ ≤ α ＜ ０．３ ０．３， ０．３ ≤ α ＜ ０．７ ０．７， ０．７ ≤ α ≤ １ ì î í ï ï ïï μＥα（ｘ２ ） ＝ ０， ０ ≤ α ≤ ０．３ ０．３， ０．３ ＜ α ≤ ０．７ ０．７， ０．７ ＜ α ≤ １ ì î í ï ï ïï 故 Ｅα ＝ ｛（ｘ１ ，０．２），（ｘ２ ，０．３）｝， ０ ≤ α ≤ ０．２ ｛（ｘ１ ，０．４），（ｘ２ ，０．３）｝， ０．２ ＜ α ≤ ０．３ ｛（ｘ１ ，０．４），（ｘ２ ，０．７）｝， ０．３ ＜ α ≤ ０．４ ｛（ｘ１ ，０．６），（ｘ２ ，０．７）｝， ０．４ ＜ α ≤ ０．６ ｛（ｘ２ ，０．７）｝， ０．６ ＜ α ≤ ０．７ ⌀， ０．７ ＜ α ≤ １ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ïï Ｅα ＝ ｛（ｘ１ ，０．２），（ｘ２ ，０．３）｝， ０ ≤ α ＜ ０．２ ｛（ｘ１ ，０．４），（ｘ２ ，０．３）｝， ０．２ ≤ α ＜ ０．３ ｛（ｘ１ ，０．４），（ｘ２ ，０．７）｝， ０．３ ≤ α ＜ ０．４ ｛（ｘ１ ，０．６），（ｘ２ ，０．７）｝， ０．４ ≤ α ＜ ０．６ ｛（ｘ２ ，０．７）｝， ０．６ ≤ α ＜ ０．７ ⌀， ０．７ ≤ α ≤ １ ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï ïï Ｅ α ＝ ⌀， ０ ≤ α ＜ ０．２ ｛（ｘ１ ，０．２）｝， ０．２ ≤ α ＜ ０．３ ｛（ｘ１ ，０．２），（ｘ２ ，０．３）｝， ０．３ ≤ α ＜ ０．４ ｛（ｘ１ ，０．４），（ｘ２ ，０．３）｝， ０．４ ≤ α ＜ ０．６ ｛（ｘ１ ，０．６），（ｘ２ ，０．３）｝， ０．６ ≤ α ＜ ０．７ ｛（ｘ１ ，０．６），（ｘ２ ，０．７）｝， ０．７ ≤ α ≤ １ ì î í ï ï ï ïï ï ï ï ï Ｅ α ＝ ⌀， ０ ≤ α ≤ ０．２ ｛（ｘ１ ，０．２）｝， ０．２ ＜ α ≤ ０．３ ｛（ｘ１ ，０．２），（ｘ２ ，０．３）｝， ０．３ ＜ α ≤ ０．４ ｛（ｘ１ ，０．４），（ｘ２ ，０．３）｝， ０．４ ＜ α ≤ ０．６ ｛（ｘ１ ，０．６），（ｘ２ ，０．３）｝， ０．６ ＜ α ≤ ０．７ ｛（ｘ１ ，０．６），（ｘ２ ，０．７）｝， ０．７ ＜ α ≤ １ ì î í ï ï ï ïï ï ï ï ï 性质 １ 设 Ｅ，Ｆ∈ＨＦＳ（Ｘ），α∈［０，１］，｛αｔ ｔ∈ Ｔ｝⊆［０，１］，则 １）Ｅα⊆Ｅα ；Ｅ α⊆Ｅ α ； ２）α１＜α２⇒Ｅ α１⊆Ｅ α２ ，Ｅ α１⊆Ｅ α２ ； 若 α１＜α２≤∧ｘ∈Ｘ ｛ｈ ＋ Ｅ（ｘ）｝，则 Ｅα１⊆Ｅα２ ； 若 α１＜α２＜∧ｘ∈Ｘ ｛ｈ ＋ Ｅ（ｘ）｝，则 Ｅα１⊆Ｅα２ ； ３）（Ｅ∪Ｆ） α⊆Ｅα∪Ｆα ；（Ｅ∪Ｆ） α⊆Ｅα∪Ｆα ； （Ｅ∪Ｆ） α⊆Ｅ α∪Ｆ α ；（Ｅ∪Ｆ） α⊆Ｅ α∪Ｆ α ； ４）（Ｅ∩Ｆ） α⊇Ｅα∩Ｆα ；（Ｅ∩Ｆ） α⊇Ｅα∩Ｆα ； （Ｅ∩Ｆ） α⊇Ｅ α∩Ｆ α ；（Ｅ∩Ｆ） α⊇Ｅ α∩Ｆ α ； ５）设｛αｔ ｔ∈Ｔ｝满足 ａ ＝ ∧ｔ∈Ｔ ｛αｔ｝，ｂ ＝ ∨ｔ∈Ｔ ｛αｔ｝ ＜∧ｘ∈Ｘ ｛ｈ ＋ Ｅ（ｘ）｝，则 ∩ｔ∈Ｔ Ｅαｔ ＝Ｅａ ；∩ｔ∈Ｔ Ｅαｔ ＝Ｅ ａ ；∪ｔ∈Ｔ Ｅαｔ ＝Ｅｂ；∪ｔ∈Ｔ Ｅαｔ ＝Ｅ ｂ ； ∩ｔ∈Ｔ Ｅ αｔ ＝Ｅ ａ ；∩ｔ∈Ｔ Ｅ αｔ ＝Ｅ ａ ；∪ｔ∈Ｔ Ｅ αｔ ＝Ｅ ｂ ；∪ｔ∈Ｔ Ｅ αｔ ＝Ｅ ｂ ； ６）若 α＜∧ｘ∈Ｘ ｛ｈ ＋ Ｅ（ｘ）｝，则 （Ｅα ） Ｃ ＝ （Ｅ Ｃ ） １－α ；（Ｅ Ｃ ） α ＝ （Ｅ １－α ） Ｃ ； （Ｅα ） Ｃ ＝ （Ｅ Ｃ ） １－α ；（Ｅ Ｃ ） α ＝ （Ｅ １－α ） Ｃ ； ７）Ｅ０ ＝Ｅ０ ＝Ｅ １ ＝Ｅ；Ｅ１ ＝Ｅ ０ ＝Ｅ ０ ＝⌀。 证明：易证性质 １）、２）和 ７），因此此处证明略。 证明 ３），即（Ｅ∪Ｆ） α⊆Ｅα∪Ｆα 成立。 对于 ｘ∈Ｘ，以下依据 α 的取值进行讨论： ①当 α ＞ ｍａｘ ｛ ｈ ＋ Ｅ （ ｘ）， ｈ ＋ Ｆ （ ｘ）｝ 时， ｛ｒ∈ｈＥ （ｘ） ｒ≥α｝ ＝｛ｒ∈ｈＦ（ｘ） ｒ≥α｝ ＝｛ｒ∈ｈＥ∪Ｆ（ｘ） ｒ≥α｝ ＝⌀， 故 μＥα （ｘ）＝ μＦα （ｘ）＝ μ（Ｅ∪Ｆ）α（ｘ）＝ ０，从而 μ（Ｅ∪Ｆ）α（ｘ）＝ ｍａｘ｛μＥα （ｘ），μＦα （ｘ）｝ ＝μＥα∪Ｆα （ｘ）＝ ０。 ②当 ｍａｘ｛ｈ ＋ Ｅ（ｘ），ｈ ＋ Ｆ（ｘ）｝≥α ＞ｍａｘ｛ｈ － Ｅ（ｘ），ｈ － Ｆ（ｘ）｝ 时，有｛ｒ∈ｈＥ（ｘ）∪ｈＦ（ｘ） ｒ≥α｝⊇｛ｒ∈ｈＥ（ｘ） ｒ≥α｝且 ｛ｒ∈ｈＥ （ ｘ） ∪ｈＦ （ ｘ） ｒ≥α｝⊇｛ｒ∈ｈＦ（ｘ） ｒ≥α｝，故 μ（Ｅ∪Ｆ）α （ｘ）＝ ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ∪Ｆ（ｘ） ｒ≥α｝ ＝ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ）∪ｈＦ 第 ３ 期 郑婷婷，等：犹豫模糊集的 α－截集及其应用 ·３６５·

·366· 智能系统学报 第12卷 (x)r=maxhe(x),he(x),a=minrEhg(x)Uhe(x) 性质2设E∈HFS(X),a∈[0,1]，E的a-截 r≥a}≤max{min{r∈he(x)|r≥a},min{r∈hr(x) 集可分解为 r≥a}=maxug(x),ue.(x)}=uE.ur.（x)。 E。=A(E.)=A(E.)4 Ae[0,1] Ae[0,1) ③当max{hE(x),h(x)}≥a>min{hE(x),h 其中，(E.)={xg,(x)≥A}和(E.)={xE.（x)> (x)}时，不妨设hE(x)<a≤h(x),则(un.(x)= A}均为X上的精确集。 minrhg(x)Uhe(x)rh(x)=h(x), 定理1(HS的分解定理I)设E∈HFS(X),则 ug.（x)=minr∈he(x)|r≥a≥a,ue.(x)=min{r∈ E=E.la e[.1](E.),lae [o.1= hr(x)lr≥h(x)}=h(x)≥a;故u(ur.(x)= {.Uλ(E.)ala∈[0,1]}。 Ae[0,1) hr(x)≤max{E.（x),r.(x)}=ug.ur（x)o 这意味者，xeX,有he(x)=μE.(x)川a∈[0,1}= ④当min{hE(x),h(x)}≥a时，也可类似证明 {&入X)le[0,卡&，AXex)la∈ Ae0,1】 u(EuP.（x)=max{E.（x),r.（x)}=E.ur.（x)。 [0,1]}。 归纳可知，(EUF).SE.UF.。 定理2(HFS的分解定理)设Ee HFS(X),则 用类似的方法可以得到结论3)的其余情况和 E={E.|a∈[0，l)}={VA(E.)a|a∈[0,1)}= 结论4)。 Ae[0,1) ⑤这里仅证明结论5)中UE。=E。成立，其余 1hnAE4ae[o.i。 证明定理1和定理2的证明可以由定义9和 情况类似证明。 T1FS的分解定理直接得到。 Hx∈X,t∈T,因为V{a,}<A{ht(x)},所以 例3在例2的前提下，当0≤α≤0.2时，有 g.(x)=min{r∈he(x)lr≥a,},ug,(x)=min{r∈ {(x1,A),(x2,入)}，0≤A≤0.2 he(x)lr≥Va}。 入(Ea)={(x1,0),(x2,入)}，0.2<A≤0.3 设c=us(x),则c=min{r∈he(x)r≥a,{, {(x1,0),(x2,0)},0.3<入≤1 故Ht∈T,c≥min{r∈he(x)|r≥a,},从而c≥Vmin {(x1,A),(x2,A)},0≤入<0.2 1 1rehe()r≥a=u,g),故E2UFs。 入(E.)1=1(x1,0),(x2,)},02≤入<0.3 设d=g（x)=出min(x)r≥a,则 {(x1,0),(x2,0)},0.3≤入<1 Vt∈T,d≥min{rehe(x)lr≥a,}。 故，入(Ea)=入(Ea)={(x1,0.2),(x2, Ael0,I Ae[0,1) 若令r,=min{rehe(x)lr≥a,},则t∈T,d≥ 0.3)}=E.o r,≥a,故d≥，≥Ya,。因为h(x)是有限集，，∈ 类似地，对α取其余值的情况也可得到同样结 论，因此E={E.a∈[0,1]}。 h:(x)。所以必存在o∈T,使得o≥a,故 d≥ro≥min{rehe(x)lr≥，a,l,从而E,CUE 4犹豫模糊集的扩展原则 因此E。=E。 Toa等人[曾介绍了HFS的扩展原理。 ⑥这里仅证明结论6)中(E.)C=(E)1“成立， 定义100令日：[0,1]”→[0,1]为一个函数， 其余类似。 H为论域X上的n个犹豫模糊集，记为H={h, 因为a<A{h(x)},所以{r∈he(x)lr≥a}≠ h2,…,hn},则⊙在H上的扩展定义如下： ,故hac(x)=1-4.（x)=1-min{r∈he(x) Hx∈X |r≥a}=max{l-rlr∈he(x),r≥a}=max{r'∈he ⊙(x)= U {Θ(r)} rch()xh2(x)x...xha(x) (x)|r'≤1-a}=(so1.(x)。 显然这个定义仅仅是清晰集中运算的扩展，而 考虑到a-上截集与a-下截集的对称性，在下面 不是一般HFS函数的扩展。本文依据Zadeh提出 的讨论中，只讨论a-上截集，并称其为E的α截集。 的T1FS的扩展原则，提出如下的HFS的扩展原则。 定义11(HFS的扩展原则I)设E∈ 3犹豫模糊集的分解（表示）定理 HFS(X),F∈HFS(Y),若f:X→Y,则可以定义一个 由于HFS的a-截集是T1FS,根据T1FS的分解 从HFS(X)到HFS(Y)的犹豫模糊函数，满足 定理可得： hg:Y→P([0,1])

（ｘ） ｒ≥ｍａｘ｛ｈ － Ｅ（ｘ），ｈ － Ｆ（ｘ），α｝｝ ＝ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ）∪ｈＦ（ｘ） ｒ≥α｝≤ｍａｘ｛ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ） ｒ≥α｝，ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＦ（ｘ） ｒ≥α｝｝ ＝ｍａｘ｛μＥα （ｘ）， μＦα （ｘ）｝ ＝ μＥα∪Ｆα （ｘ）。 ③当 ｍａｘ｛ ｈ － Ｅ（ ｘ），ｈ － Ｆ（ ｘ）｝≥α ＞ｍｉｎ｛ ｈ － Ｅ（ ｘ），ｈ － Ｆ （ｘ）｝时，不妨设 ｈ － Ｅ（ｘ） ＜α≤ｈ － Ｆ（ｘ），则 μ（Ｅ∪Ｆ） α （ ｘ） ＝ ｍｉｎ ｛ ｒ ∈ ｈＥ （ ｘ ） ∪ ｈＦ （ ｘ ） ｒ≥ｈ － Ｆ （ ｘ ）｝ ＝ ｈ － Ｆ （ ｘ ）， μＥα （ｘ）＝ ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ） ｒ≥α｝≥α，μＦα （ｘ）＝ ｍｉｎ｛ｒ∈ ｈＦ（ ｘ） ｒ≥ｈ － Ｆ （ ｘ）｝ ＝ ｈ － Ｆ （ ｘ） ≥ α； 故 μ（Ｅ∪Ｆ） α （ ｘ） ＝ ｈ － Ｆ（ｘ）≤ｍａｘ｛μＥα （ｘ），μＦα （ｘ）｝ ＝ μＥα∪Ｆα （ｘ）。 ④当 ｍｉｎ｛ｈ － Ｅ（ｘ），ｈ － Ｆ（ｘ）｝≥α 时，也可类似证明 μ（Ｅ∪Ｆ） α （ｘ）＝ ｍａｘ｛μＥα （ｘ），μＦα （ｘ）｝ ＝ μＥα∪Ｆα （ｘ）。 归纳可知，（Ｅ∪Ｆ） α⊆Ｅα∪Ｆα 。 用类似的方法可以得到结论 ３）的其余情况和 结论 ４）。 ⑤这里仅证明结论 ５）中∪ｔ∈Ｔ Ｅαｔ ＝ Ｅｂ 成立，其余 情况类似证明。 ∀ｘ∈Ｘ，ｔ∈Ｔ，因为∨ｔ∈Ｔ ｛αｔ｝ ＜ ∧ｘ∈Ｘ ｛ ｈ ＋ Ｅ（ ｘ）｝，所以 μＥα ｔ （ｘ）＝ ｍｉｎ｛ ｒ∈ｈＥ（ ｘ） ｒ≥αｔ ｝，μＥｂ （ ｘ） ＝ ｍｉｎ｛ ｒ∈ ｈＥ（ｘ） ｒ≥∨ｔ∈Ｔ αｔ｝。 设 ｃ ＝ μＥｂ （ｘ），则 ｃ ＝ ｍｉｎ｛ ｒ∈ｈＥ （ｘ） ｒ≥∨ｔ∈Ｔ αｔ ｝， 故∀ｔ∈Ｔ，ｃ≥ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ） ｒ≥αｔ｝，从而 ｃ≥∨ｔ∈Ｔ ｍｉｎ ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ） ｒ≥αｔ｝ ＝ μ ∪ ｔ∈Ｔ Ｅα ｔ （ｘ），故 Ｅｂ⊇∪ｔ∈Ｔ Ｅαｔ 。 设 ｄ ＝ μ ∪ ｔ∈Ｔ Ｅα ｔ （ｘ） ＝ ∨ｔ∈Ｔ ｍｉｎ｛ ｒ∈ｈＥ（ ｘ） ｒ≥αｔ ｝，则 ∀ｔ∈Ｔ，ｄ≥ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ） ｒ≥αｔ｝。 若令 ｒｔ ＝ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ ｘ） ｒ≥αｔ｝，则∀ｔ∈Ｔ，ｄ≥ ｒｔ≥αｔ，故 ｄ≥∨ｔ∈Ｔ ｒｔ≥∨ｔ∈Ｔ αｔ。 因为 ｈＥ（ｘ）是有限集，ｒｔ∈ ｈＥ（ｘ）。 所以必存在 ｔ ０∈Ｔ，使得 ｒｔ０ ＝ ∨ｔ∈Ｔ ｒｔ≥∨ｔ∈Ｔ αｔ，故 ｄ≥ｒｔ０≥ｍｉｎ｛ｒ∈ｈＥ（ｘ） ｒ≥∨ｔ∈Ｔ αｔ｝，从而 Ｅｂ⊆∪ｔ∈Ｔ Ｅαｔ 。 因此∪ｔ∈Ｔ Ｅαｔ ＝Ｅｂ。 ⑥这里仅证明结论 ６）中（Ｅα ） Ｃ ＝ （Ｅ Ｃ ） １－α成立， 其余类似。 因为 α＜∧ｘ∈Ｘ ｛ｈ ＋ Ｅ（ ｘ）｝，所以｛ ｒ∈ｈＥ（ ｘ） ｒ≥α｝≠ ⌀，故 μ（Ｅα ） Ｃ （ ｘ） ＝ １ － μＥα （ ｘ） ＝ １ － ｍｉｎ ｛ ｒ ∈ ｈＥ （ ｘ） ｒ≥α｝ ＝ ｍａｘ｛１－ｒ ｒ∈ｈＥ（ｘ），ｒ≥α｝ ＝ ｍａｘ｛ ｒ′∈ｈＥＣ （ｘ） ｒ′≤１－α｝ ＝ μ（ＥＣ） １－α（ｘ）。 考虑到 α⁃上截集与 α⁃下截集的对称性，在下面 的讨论中，只讨论 α⁃上截集，并称其为 Ｅ 的 α⁃截集。 ３ 犹豫模糊集的分解（表示）定理 由于 ＨＦＳ 的 α⁃截集是 Ｔ１ＦＳ，根据 Ｔ１ＦＳ 的分解 定理可得： 性质 ２ 设 Ｅ∈ＨＦＳ（Ｘ），α∈［０，１］，Ｅ 的 α⁃截 集可分解为 Ｅα ＝ ∪λ∈［０，１］ λ （Ｅα ） λ ＝ ∪λ∈［０，１） λ （Ｅα ） λ 其中，（Ｅα）λ ＝ ｛ｘ μＥα （ｘ）≥λ｝和（Ｅα）λ ＝ ｛ｘ μＥα （ｘ） ＞ λ｝均为 Ｘ 上的精确集。 定理 １ （ＨＦＳ 的分解定理Ⅰ） 设 Ｅ∈ＨＦＳ（Ｘ），则 Ｅ ＝ ｛Ｅα α ∈［０，１］｝ ＝ ｛ ∪λ∈［０，１］ λ（Ｅα）λ α ∈［０，１］｝ ＝ ｛ ∪λ∈［０，１） λ（Ｅα）λ α ∈［０，１］｝。 这意味着，∀ｘ∈Ｘ，有ｈＥ（ｘ）＝｛μＥα （ｘ） α ∈［０，１］｝ ＝ ｛ ∨λ∈［０，１］ λ·χ （Ｅα ）λ （ｘ） α ∈［０，１］｝＝｛ ∨λ∈［０，１） λ·χ （Ｅα ）λ （ｘ） α ∈ ［０，１］｝。 定理 ２ （ＨＦＳ 的分解定理Ⅱ） 设 Ｅ∈ＨＦＳ（Ｘ），则 Ｅ ＝ ｛Ｅα α ∈［０，１）｝ ＝ ｛ ∪λ∈［０，１） λ（Ｅα）λ α ∈［０，１）｝ ＝ ｛ ∪λ∈［０，１］ λ（Ｅα）λ α ∈［０，１）｝。 证明 定理 １ 和定理 ２ 的证明可以由定义 ９ 和 Ｔ１ＦＳ 的分解定理直接得到。 例 ３ 在例 ２ 的前提下，当 ０≤α≤０．２ 时，有 λ （Ｅα ） λ ＝ ｛（ｘ１ ，λ），（ｘ２ ，λ）｝， ０ ≤ λ ≤ ０．２ ｛（ｘ１ ，０），（ｘ２ ，λ）｝， ０．２ ＜ λ ≤ ０．３ ｛（ｘ１ ，０），（ｘ２ ，０）｝， ０．３ ＜ λ ≤ １ ì î í ï ï ï ï λ （Ｅα ） λ ＝ ｛（ｘ１ ，λ），（ｘ２ ，λ）｝， ０ ≤ λ ＜ ０．２ ｛（ｘ１ ，０），（ｘ２ ，λ）｝， ０．２ ≤ λ ＜ ０．３ ｛（ｘ１ ，０），（ｘ２ ，０）｝， ０．３ ≤ λ ＜ １ ì î í ï ï ï ï 故 ∪λ∈［０，１］ λ （Ｅα ） λ ＝ ∪λ∈［０，１） λ （Ｅα ） λ ＝ ｛（ ｘ１ ，０．２），（ ｘ２ ， ０．３）｝ ＝Ｅα 。 类似地，对 α 取其余值的情况也可得到同样结 论，因此 Ｅ ＝ ｛Ｅα α∈［０，１］｝。 ４ 犹豫模糊集的扩展原则 Ｔｏｒｒａ 等人［１］曾介绍了 ＨＦＳ 的扩展原理。 定义 １０ ［１］ 令 Θ：［０，１］ ｎ→［０，１］为一个函数， Ｈ 为论域 Ｘ 上的 ｎ 个犹豫模糊集，记为 Ｈ ＝ ｛ ｈ１ ， ｈ２ ，…，ｈｎ ｝，则 Θ 在 Ｈ 上的扩展定义如下： ∀ｘ ∈ Ｘ ΘＨ（ｘ） ＝ ∪ ｒ∈ｈ１ （ｘ） ×ｈ２ （ｘ） ×…×ｈｎ （ｘ） ｛Θ（ｒ）｝ 显然这个定义仅仅是清晰集中运算的扩展，而 不是一般 ＨＦＳ 函数的扩展。 本文依据 Ｚａｄｅｈ 提出 的 Ｔ１ＦＳ 的扩展原则，提出如下的 ＨＦＳ 的扩展原则。 定 义 １１ （ ＨＦＳ 的 扩 展 原 则 Ｉ ） 设 Ｅ ∈ ＨＦＳ（Ｘ），Ｆ∈ＨＦＳ（Ｙ），若 ｆ：Ｘ→Ｙ，则可以定义一个 从 ＨＦＳ（Ｘ）到 ＨＦＳ（Ｙ）的犹豫模糊函数，满足 ｈｆ（Ｅ） ：Ｙ → Ｐ（［０，１］） ·３６６· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷