18.2.2菱形第1课时菱形的性质 G分钟9为 知识点梳理 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 2·菱形的四条边都相等_,菱形的两条对角线互相垂直且一条对角线平分 组对角 3·菱形的面积与两条对角线的关系是菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 ①分钟分 知识点训练 1·(3分)菱形具有而矩形不一定具有的性质是(D) A·对角相等且互补B·对角线相等且互相平分 C·一组对边平行且相等D·对角线互相垂直 2·(3分如图,菱形ABCD的两条对角线相交于点O,若AC=6,BD=4,则菱形 ABCD的周长是(C A·24B.16 C.43D.23 第2题图 第3题图 3·(4分)(2013怀化)如图,在菱形ABCD中,AB=3,∠ABC=60°,则对角线AC ()·12B.9C.6D.3
18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质 1．(3分)菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A．对角相等且互补 B．对角线相等且互相平分 C．一组对边平行且相等 D．对角线互相垂直 2．(3分)如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形 ABCD的周长是( ) A．24 B．16 3．(4分)(2013·怀化)如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠ABC＝60°，则对角线AC ＝( ) A．12 B．9 C．6 D．3 1．__有一组邻边相等__的平行四边形是菱形． 2．菱形的四条边都__相等__，菱形的两条对角线互相__垂直__且一条对角线__平分__ 一组对角． 3．菱形的面积与两条对角线的关系是__菱形的面积等于两条对角线乘积的一半__． 第 2 题图 第 3 题图 C．4 13 D．2 3
18.2.2菱形第1课时菱形的性质 4:(4分)(2014毕节)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,H为AD边中点,菱形ABCD 的周长为28,则OH的长等于(A) A·3.5B.4C.7D.14 第4题图 第5题图 5·(4分)如图,P为菱形ABCD的对角线上一点,PE⊥AB于点E,PF⊥AD于点F,PF=3cm,则P点 到AB的距离为3cm 6·(4分)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于 点F,若BE=EC,则∠EAF=60 7·(8分)如图所示,已知菱形ABCD的对角线相交于点O, 延长AB至点E,使BE=AB,连接CE (1)求证:BD=FC; (2)若∠E=50°,求∠BAO的大小 解:(1)证明:∵菱形ABCD,∴AB=CD,AB∥CD,又∵BE=AB,∴BE=CD,BE∥CD,∴四 边形BECD是平行四边形,∴BD=EC (2)∵平行四边形BECD,∴BD∥CE,∴∠ABO=∠E=50°,又∵菱形ABCD,∴AC⊥BD ∴∠BAO=90 ∠ABO=40°
18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质 4．(4分)(2014·毕节)如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD 的周长为28，则OH的长等于( ) A．3.5 B．4 C．7 D．14 5．(4分)如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF＝3 cm，则P点 到AB的距离为___cm. 6．(4分)如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于 点F，若BE＝EC，则∠EAF＝____． 7．(8分)如图所示，已知菱形ABCD的对角线相交于点O， 延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE. (1)求证：BD＝EC； (2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小． 解：(1)证明：∵菱形ABCD，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四 边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC (2)∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO＝∠E＝50°，又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD， ∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40° 第 4 题图 第 5 题图
18.2.2菱形第1课时菱形的性质 8(3分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AO=3,BO=4,则 菱形的面积为24 9.(3分)已知菱形的一条对角线长为12,面积为30,则这个菱形的另一条 对角线的长为 10·(4分)菱形的周长为16,其相邻两内角的度数比为1:2,则此菱形的面 积为(B A·45B.85C.105D.253 11·如图,在菱形ABCD中,E,F分别在BC和CD边上,且△AEF是等边 三角形,AE=AB,则∠BAD的度数是(B) A·95°B.100°C.105°D.120° 第11题图 第12题图 2:(2013扬州)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°.AB的垂直平分线 交对角线AC子点F,垂足为点E,连接DF,则∠CDF等于(B) A·50°B.60°C.70°D.80
18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质 8．(3分)菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AO＝3，BO＝4，则 菱形的面积为 9．(3分)已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条 对角线的长为__ 10．(4分)菱形的周长为16，其相邻两内角的度数比为1∶2，则此菱形的面 积为( ) 11．如图，在菱形ABCD中，E，F分别在BC和CD边上，且△AEF是等边 三角形，AE＝AB，则∠BAD的度数是( ) A．95° B．100° C．105° D．120° 12．(2013·扬州)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80° ，AB的垂直平分线 交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于( ) A．50° B．60° C．70° D．80° 第 11 题图 第 12 题图 A．4 3 B．8 3 C．10 3 D．12 3
18.2.2菱形第1课时菱形的性质 13·如图,菱形ABCD的周长为85 对角线AC和BD相交于点O AC:BD=1:2,则AO:BO=1:2,菱形ABCD的面积S=16 第13题图 第14题图 4·如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E,F分别是边AB BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE+PF的最小值,则这个 最小值是 15·(10分)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O, DH⊥AB于H,连接OH,求证:∠DHO=∠DCO 证明:∵四边形ABCD是菱形,∴OD=OB COD=90°,又∵DH⊥AB,OH=OB, ∠OHB=∠OBH.又∵AB∥CD ∠OBH=∠ODC,∴.∠OHB=∠ODC, 在Rt△COD中,∠ODC+∠OHB=90° 又DH⊥AB,∴∠DHO+∠OHB=90° ∴∠DHO=∠DCO
18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质 13．如图，菱形ABCD的周长为 ，对角线AC和BD相交于点O， AC∶BD＝1∶2，则AO∶BO＝__ __，菱形ABCD的面积S＝__ 14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E，F分别是边AB， BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个 最小值是__ 15．(10分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O， DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO＝∠DCO. 证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝OB， ∠COD＝90° ，又∵DH⊥AB，∴OH＝OB， ∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD， ∴∠OBH＝∠ODC，∴∠OHB＝∠ODC， 在Rt△COD中，∠ODC＋∠OHB＝90° ， 又DH⊥AB，∴∠DHO＋∠OHB＝90° ， ∴∠DHO＝∠DCO 第 13 题图 第 14 题图 8 5
18.22菱形第1课时菱形的性质 16·(12分)已知,如图,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD 于点E,连接EC (1)求证:AE=EC (2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC 上的什么位置?说明理由 解:(1)证明:连接AC,∵BD是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC,∴AE=EC (2)点F是线段BC的中点,理由如下:在菱形ABCD中,AB=BC,又∵∠ABC=60°,∴ △ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∵AE=EC,∠CEF=60°,∴∠EAC=∠BAC =30°,∴AF是△ABC的角平分线,AF交BC于F,∴AF是△ABC的BC边上的中线, ∴点F是线段BC的中点 17·(14分)在菱形ABCD中,∠B=60°,点E在边BC上,点F在边CD上 (1)如图①,若E是BC的中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF; (2)如图②,若∠EAF=60°,求证:△AEF是等边三角形 解:(1)连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC∴点E为BC的中点,∴AE⊥ BC.∴.∠AEC=90°∠AEF=60°,∴∠FEC=90°-60°=30°∵∠C=180°-∠B= 120°,∴∠EFC=30°∠FEC=∠ EFC.CE=CEBC=CD,∴BC-CE=CD-CF,即 BE=DF(2)连接AC,由(1)得△ABC是等边三角形,AB=AC:∠BAE+∠EAC=60 ∠EAF=∠CAF+∠EAC=60°,∴∠BAE=∠CAF四边形ABCD是菱形,∠B=60 ∴∠ACF=∠BCD=∠B=60°:△ABE≌△ACE∴AE=AF∴△AEF是等边三角形
18.2.2 菱形 第1课时 菱形的性质 16．(12分)已知，如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD 于点E，连接EC. (1)求证：AE＝EC； (2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC 上的什么位置？说明理由． 17．(14分)在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上． (1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF； (2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形 ． 解：(1)证明：连接 AC，∵BD 是菱形 ABCD 的对角线，∴BD 垂直平分 AC，∴AE＝EC (2)点 F 是线段 BC 的中点，理由如下：在菱形 ABCD 中，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴ △ABC 是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∠CEF＝60°，∴∠EAC＝ 1 2 ∠BAC ＝30°，∴AF 是△ ABC 的角平分线，∵AF 交 BC 于 F，∴AF 是△ ABC 的 BC 边上的中线， ∴点 F 是线段 BC 的中点 解：(1)连接 AC，∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝BC.∵点 E 为 BC 的中点，∴AE⊥ BC.∴∠AEC＝90°.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－60°＝30°.∵∠C＝180°－∠B＝ 120°，∴∠EFC＝30°.∴∠FEC＝∠EFC.∴CE＝CF.∵BC＝CD，∴BC－CE＝CD－CF，即 BE＝DF (2)连接 AC，由(1)得△ ABC 是等边三角形，∴AB＝AC.∵∠BAE＋∠EAC＝60°， ∠EAF＝∠CAF＋∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵四边形 ABCD 是菱形，∠B＝60°， ∴∠ACF＝ 1 2 ∠BCD＝∠B＝60°.∴△ABE≌△ACF.∴AE＝AF.∴△AEF 是等边三角形