第五章波色系统：波色-爱因斯坦凝聚5.1理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚5/2(2)ln(12)回忆我们在前面获得的理想波色气体的物态方程：3/2(2元h2这里比容u=V/N,平均热波长入=VmknT易逸度z的定义为=eeu，其中u为化学势。对波色气体，我们有：0<z1.0<z由定义知显然成立；z<1可由动量为0的态的平均占据数(no)=2/1-2)≥(确定。函数g，（）一般地由下式确定：82gn(z)=/In[=]当z取0至1的值时，g（z）是z的正的单调递增有界函数（注意在费米系统里z可取任意大于0的1值）。对于n>1有：gn(1) =/C=((n) (n>1)这是黎曼Zeta函数。当n≤1,gn(1）发散。容易发现g3/2(z)≤g3/2(1)=（(3/2)=2.612..·产生凝聚的条件：13(no)433(no)-g3/2(2)：凝聚要求>0.当>g3/2(1)时，这必然成立。把比容的方程改写为：入V这样系统可看作两个热力学“相”的混合，一个相由动量为零的粒子组成，令一个由动量不为零的粒子组成。3分割面方程由一=g3/2()≤g3/2(1)确定，由此可得临界温度T。和临界比容U(固定温度T时)：132元h22=g/2(1) or ksT.==mlogs/2(1)2/3)Ue=g3/2(1)当T<T。（v一定）或<Uc（T一定）时，将产生波色-爱因斯坦凝聚。即低温和高密度是产生波色-爱因斯坦凝聚的条件，有凝聚时粒子的平均热波长与粒子平均间距有相同的数量级
第五章 波色系统：波色-爱因斯坦凝聚 5.1 理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚 回忆我们在前面获得的理想波色气体的物态方程： 这里比容 平均热波长 易逸度z的定义为 其中μ为化学势。对波色气 体，我们有： 由定义知显然成立； 可由动量为0的态的平均占据数 确定。函数 一般地由下式确定： 当z取0至1的值时， 是z的正的单调递增有界函数（注意在费米系统里z可取任意大于0的 值）。对于n>1有: 这是黎曼Zeta函数。当 发散。容易发现 • 产生凝聚的条件： 把比容的方程改写为： 凝聚要求 当 时，这必然成立。 这样系统可看作两个热力学“相”的混合，一个相由动量为零的粒子组成，令一个由动量不为 零的粒子组成。 分割面方程由 确定，由此可得临界温度 和临界比容 (固定温度T时): 当 （v一定）或 （T一定）时，将产生波色-爱因斯坦凝聚。即低温和高密度是产生 波色-爱因斯坦凝聚的条件，有凝聚时粒子的平均热波长与粒子平均间距有相同的数量级
大V极限下的易逸度z2.6120()入1右图1为比容物态方程的U图形解，图2展示固定v时z和/的关系。83, (2)1300122.612对宏观系统来说我们更关心体积V趋于无穷大的极限情形。由上面的图形解可知在大V极限下我们有：1≥ g3/2(1)z≤g3/2(1)the root of g3/2(z) = >3/v,与温度和比容的关系（大V极限下）：利用=%/2(a)+和上面的填布数no)<no>结果可得：N3/2(号≥ g3/2(1)(no)=1-U.N≤g3/2(1)0.I粒子在动量空间里凝聚。T=0时所有粒子都占据p=0态。TTe
• 大V极限下的易逸度z： 右图1为比容物态方程的 图形解，图2展示固定v时 z和 的关系。 对宏观系统来说我们更关心体积V趋于无穷大的极限情形。 由上面的图形解可知在大V极限下我们有： • 填布数 与温度和比容的关系（大V极限下）：利用 和上面的 结果可得： 粒子在动量空间里凝聚。T=0时所有粒子都占据p=0态
11物态方程：压强方程中的第二项可忽略，因二1n(1-2)=它最多是-1InN(no) +1V的量级，对大系统可忽略。因此物态方程为PAP[g5/2(2), >Vc;相变曲线kBT={g5/2(1),U≤Ue.A'B'物态方程在=连续，但其导数不连续，因此相变为一级相变。Akf.gsn()TB3。其它热力学量：应分为两段讨论，如内能：U0UFgs/2(2),>Ve;3U(T)v(T)Pyg8/2(1)≤0eN2D熵：sg5/2(2)-lnz,>Ve;NkB2量g5/2(1),W≤Ue.4量gb/2(2) - 显/,Cv定容比热：V>Uc;4g1/2(2),NkB1g5/2(1),U≤Vc.在T=0附近我们有Cv～T3/2，这与光子和声子的行为不同，原因是它们的能谱不同。而在T。处比热是连续的（因g1/2（1）发散），比热的导数不连续
• 物态方程：压强方程中的第二项可忽略，因 它最多是 的量级，对大系统可忽略。因此物态方程为 物态方程在 连续，但其导数不连续，因此相变为一级相变。 • 其它热力学量：应分为两段讨论，如内能： 熵： 定容比热： 在T=0附近我们有 这与光子和声子的行为不同，原因是它们的能谱不同。而在 处 比热是连续的（因 发散），比热的导数不连续
5.2非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚考虑N个无自旋波色粒子组成的稀薄气体系统，体积为V，系统处于低温且相互作用为二体碰撞。在一级近似下，系统哈密顿量修正近似为散射长度a>0的排斥势的一级项：124rahZV?+Eo(ri -r;).H=2mmi=li<j这单我们把势能项看作微扰。设无微扰波函数（自由粒子系统波函数）为重，=（，np，}，其中n为单粒子态中粒子的填布数。在一级近似下，系统能量为：4元ah2p2(,)=4n,Eo(ri-rj)@nEn=2mnp+mPi<j+4元ah2"p3N2np+2mmVD成立条件为a/u1/3《1,ka《1.k为一对粒子的相对波，a是散射长度。即粒子只能激发到动量较小的态。Eo_2元ah2(hNm_m2元ap,p=在基态，我们让no=N，其它所有np为零，基态能量为：会V7mw7而低激发态能级同时含有连续谱和分立谱。在极低温度下，只有少量粒子激发，能量表达式可进一步近似为：4元ah2EDR(N2_1na)Sn2m"p+mVp下面我们要找到物态方程。我们考虑极低温的情况，即a/入≤1,a>/u≤1并用n代表【npl，能量的动能部分记为en二，记=no/N，配分函数为；Ce-βene-()(2-$")=z(0)(e-N()(2-")。ZN=Tre-BH=7其中z为理想波色气体的配分函数。（)o是对理想波色气体的统计平均
5.2 非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚 考虑N个无自旋波色粒子组成的稀薄气体系统，体积为V，系统处于低温且相互作用为二体 碰撞。在一级近似下，系统哈密顿量修正近似为散射长度a>0的排斥势的一级项： 这里我们把势能项看作微扰。 设无微扰波函数（自由粒子系统波函数）为 其中 为单粒子态中粒子的 填布数。在一级近似下，系统能量为： 成立条件为 k为一对粒子的相对波矢，a是散射长度。即粒子只能激发到动 量较小的态。 在基态，我们让 其它所有 为零，基态能量为： 而低激发态能级同时含有连续谱和分立谱。在极低温度下，只有少量粒子激发，能量表达 式可进一步近似为： 下面我们要找到物态方程。我们考虑极低温的情况，即 并用n代表 能 量的动能部分记为 记 ，配分函数为： 其中 为理想波色气体的配分函数。 是对理想波色气体的统计平均
每个粒子的自由能为：F(0)F(0)F(0)Fa12kBT4元ah2-hp2NNNNN2m0压强可由自由能得到：4元ah2OF0EP(0)P非理想玻色气体等温线2uuaumT.N注意到对理想波色气体有：(n>o-<no)=(no)o作近似《s）。~（(S)。)）2=后可得：p(0) + 4元ah2(u>Vc,T>T)理想玻色气体21+2元a方2等温线(0)(+(U<Vc,T<T)m0VeU因此这个相变在当前的近似下是二级相变
每个粒子的自由能为： 压强可由自由能得到： 注意到对理想波色气体有： 作近似 后可得： 因此这个相变在当前的近似下是二级相变