计算二级修正: H'm=<m Hn>==e8<m/n>=ee<maia+a'n> ceo n>+<m an> e;Vn<m|n-1>+n+1<m|n+1=-e n m,n-1 +n+18m maiI 代入能量二级修正公式: H e a ∑ro ∑ e8n1ln+√m+16ni E0)-E0 L H≠n m≠n 2.电谐振孑的精确解 h。、2d t, r -ea 2u dx 实际上这个问 题是可以精确 12d2 ea ea +01x2-2。2x+(。2 e 8 求解的,只要 2u dx A02,0220 我们将体系 12d2 ea e a n d auton 量作 +ucl 以下整理: d x 022022 4a+山o3xp
计算二级修正： Hmn = m H | n ˆ | = −e m | x | n = − + + e m | [a ˆ a ˆ ]| n 2 1 [ | ˆ | | ˆ | ] 2 1 = − + + e m a n m a n [ | 1 1 | 1 ] 2 1 = −e n m n − + n + m n + [ 1 ] , 1 , 1 2 1 − + = − + + m n m n e n n 代入能量二级修正公式： (0) (0) 2 (2) | | n m mn m n n E E H E − = (0) (0) 2 , 1 , 1 2 1 | [ 1 ]| n m m n m n m n E E e n n − − + + = − + 2 2 2 2 e = − 2. 电谐振子的精确解 实际上这个问 题是可以精确 求解的，只要 我们将体系 Hamilton量作 以下整理： x e x dx d H = − + − 2 2 2 1 2 2 2 2 ˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 [ 2 ( ) ] 2 e e x e x dx d = − + − + − 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 [ ] 2 e e x dx d = − + − − 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 e x dx d + − = −
其中X′=X-[eE/μu2],可见,体系仍是一个线性 谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子 的相应能级低e2e2/2pu2},而平衡点向右移动了 {eE/μ2}距离。 由于势场不再具有空间反射对称性,所以浪函数没 有确定的字称。这一点可以从下式扰动后的波函数ψn 已变成ψn0),ψn+10,ψn10)的叠加看出。 0) +e8 n+lu( o) phe n+1-vy10) 例2.设 Hamilton量的 0 矩阵形式为: H=c30 (1)设c<<1,应用微扰论求H本征值到二级近似; (2)求H的精确本征值; (3)在怎样条件下,上面二结果一致
其中x’ = x – [eε/μω2 ]，可见，体系仍是一个线性 谐振子。它的每一个能级都比无电场时的线性谐振子 的相应能级低{e2ε 2 / 2μω2 }，而平衡点向右移动了 {eε/μω2} 距离。 由于势场不再具有空间反射对称性，所以波函数没 有确定的宇称。这一点可以从下式扰动后的波函数ψn 已变成ψn (0) , ψn+1 (0) , ψn-1 (0) 的叠加看出。 [ 1 ] (0) 1 (0) 1 2 (0) (1) (0) 1 n = n + n = n + 3 n + n+ − n n− e 例2. 设Hamilton量的 矩阵形式为： − = 0 0 2 3 0 1 0 c c c H （1）设c << 1，应用微扰论求H本征值到二级近似； （2）求H 的精确本征值； （3）在怎样条件下，上面二结果一致
解:(1)c<1,可取0级和微扰 Hamilton量分别为: c 0 H"=c00 00-2 (00 由非简并微扰公式 H是对角矩阵 是 Hamilton H1在E1(0)=1 E()=H 自身表象中的形E2(0)=3 Em=2 n 式。所以能量的 0级近似为: 3 k≠n EU-E 能量二级修正为: 得能量一级修正 12 E0)-E0)E0-E,0E0-E E 0 12 E2)=H22=0 E3=∑ k≠ E E P2=∑0=cm )F(0)F(0 k≠ E 0)F(0)
解： （1）c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为： = − = c c c H H 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 3 0 1 0 0 0 H0 是对角矩阵， 是Hamilton H0在 自身表 象中 的形 式。所 以能 量的 0 级近似为： E1 (0) = 1 E2 (0) = 3 E3 (0) = - 2 由非简并微扰公式 − = = (0) (0) 2 (2) (1) | | n k k n k n n n nn E E H E E H 得能量一级修正： = = = = = = E H c E H E H 33 (1) 3 22 (1) 2 11 (1) 1 0 0 能量二级修正为： 2 2 1 (0) 3 (0) 1 2 3 1 (0) 2 (0) 1 2 2 1 (0) (0) 1 2 (2) 1 1 | | | | | | c E E H E E H E E H E k k k n = − − + − = − = 2 2 1 (0) 3 (0) 2 2 3 2 (0) 1 (0) 2 2 1 2 (0) (0) 2 2 (2) 2 2 | | | | | | c E E H E E H E E H E k k k n = − + − = − = 0 | | | | | | (0) 2 (0) 3 2 2 3 (0) 1 (0) 3 2 1 3 (0) (0) 3 2 (2) 3 3 = − + − = − = E E H E E H E E H E k k k n
准确到二级 近似的能量 本征值为 2+c (2)精确解: 设H的本征值是E,由久期方程可解得: e c 0 c3-E0=0→(c-2-E)(E2-4E+3-c2)=0 0 0c-2-E 解得: (3)将准确解按c(<1)展开:比较(1)和 (2)之解,可 知,微扰论二 E,=2-√1+c2 E1=2-Ⅵ1+c2=1-c 级近似结果与 精确解展开式 E2=2+1+c{E2=2+Ⅵ+c2=3+}c2-c 不计c及以后 E,=-2+c E,=-2+c 高阶项的结果 相同
准确到二级 近似的能量 本征值为： = − + = + = − E c E c E c 2 3 1 3 2 2 1 2 2 2 1 1 设 H 的本征值是 E，由久期方程可解得： 0 0 0 2 3 0 1 0 = − − − − c E c E E c ( 2 ) ( 4 3 ) 0 2 2 c − − E E − E + − c = 解得： = − + = + + = − + E c E c E c 2 2 1 2 1 3 2 2 2 1 (3) 将准确解按 c (<< 1)展开： = − + = + + = + − + = − + = − + + E c E c c c E c c c 2 2 1 3 2 1 1 3 4 8 2 1 2 2 1 2 4 8 2 1 2 2 1 1 比较（1）和 （2）之解，可 知，微扰论二 级近似结果与 精确解展开式 不 计c 4 及 以 后 高阶项的结果 相同。 (2)精确解：
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（一）简并微扰理论 （二）实例 （三）讨论 §3 简并微扰理论