(一)简并微扰理论 假设En是简并的,那属于HO的本征值En)有k个 归一化本征函数:m1>,|n2>,…,nk> <na|nβ>=8 满足本征方程: THo-EmIna >=0 1,2,3,…,k 共轭方程<na|0-E1=0a=1,2,3,…,k 于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作 函 0 要解决的问题是如何选乳 跟进使詁的蒸 后才是求能量和波函数的各级修正 0级近似浪函数肯定应从这k个na>中挑选,而它 应满足上节按λ幂次分类得到的方程: [hO-EOIIy o>=-H'-Edllylo
假设En (0)是简并的，那末属于 H(0)的本征值 En (0) 有 k 个 归一化本征函数：| n1 >, | n 2 >, ......, | n k > <n |n >= 满足本征方程： H En ]| n 0 1,2,3, ,k ˆ [ (0) − (0) = = 于是我们就不知道在k个本征函数中究竟应取哪一个作 为微扰波函数的 0 级近似。所以在简并情况下，首先 要解决的问题是如何选取 0 级近似波函数的问题，然 后才是求能量和波函数的各级修正。 0 级近似波函数肯定应从这k个| n > 中挑选，而它 应满足上节按幂次分类得到的方程： − = − − (0) (0) (1) (1) (0) ]| ˆ ]| [ ˆ [H En n H En n n H En ] 0 1,2,3, ,k ˆ |[ 共轭方程 (0) − (0) = = （一）简并微扰理论
根据这个条件,我们选取0级近似波函数中n0)>的最好方法是 将其表示成k个na>的线性组合,因为反正0级近似波函 数要在!na>(a=1,2,…k)中挑选。 系数ca vn0)>已是正交归一化 v>=2 cI na 由λ [H(O)-Ell >=-IH'en calna> 次幂方 程定出 a=1 ∑ cIna ∑ca'lna <DBIr0-E1y>=E"∑ca<m|n>-∑ca<m| na> B|-Eg1=0=E ∑c26-∑caH=∑|E6单%h 得 ∑IHm- EmBOle=0 其中Hm=<HB|H|na> H-E (1) H,=E(1)
根据这个条件，我们选取 0 级近似波函数|ψn (0)>的最好方法是 将其表示成 k 个| n >的线性组合，因为反正 0 级近似波函 数要在| n > ( =1, 2, ..., k )中挑选。 = = c n k n | | 1 |ψ (0) n (0)> 已是正交归一化 系数 c 由 一 次幂方 − = − − 程定出 = H E H E c n k n n n ] | ˆ ]| [ ˆ [ 1 (0) (0) (1) (1) = − = = E c n c H n k k n | ˆ | 1 1 左乘 (1) <n | 得： − = − = = n H E E c n n c n H n k k n n n | ˆ ]| | | ˆ |[ 1 1 (0) (0) (1) (1) E c c H k k n = − =1 =1 (1) E H c n k [ ] (1) 1 = − = 其中 H = n | H ˆ | n ] 0 ˆ |[ (0) (0) n H − En = 得： [ ] 0 (1) 1 − = = H En c k 上式是以展开系数c为未知数的齐次 线性方程组，它有不含为零解的条 件是系数行列式为零，即 0 (1) 1 2 (1) 2 1 2 2 1 2 (1) 1 1 = − − − k k k k n n n H H H E H H E H E H
解此久期方程可得能量的一级修正En()的k个根:Enm(,v=1, 2,…,k.因为Eny=E0E①n所以,若这k个根都不相等, 那末一级微扰就可以将k度简并完全消除;着E1)有几个重根 则表明简并只是部分消除,必须进一步考虑二级修正才有可能使 能级完全分裂开来。 为了确定能量En所对应的0级近似浪函数,可以把E(之 值代入线性方程组从而解得一组c(=1,2,,k)系数,将该组 系数代回展开式就能够得到相应的0级近似波函数。 为了能表示出c是对应与第ν个能量一级修正En的 组系数,我们在其上加上角标ν而改写成cν。这样一来, 线性方程组就改写成: ∑ ny Bai ay B=1,2,…,k 则对应Em修正的级近似波函数改写为:1>=∑ Cov ina>
解此久期方程可得能量的一级修正En (1)的k个根：En (1) , = 1, 2, ..., k. 因为 En = En (0) + E(1) n 所以，若这k个根都不相等， 那末一级微扰就可以将 k 度简并完全消除；若En (1)有几个重根， 则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使 能级完全分裂开来。 为了确定能量 En 所对应的0级近似波函数，可以把 E(1) n 之 值代入线性方程组从而解得一组c ( = 1,2,...,k.)系数，将该组 系数代回展开式就能够得到相应的 0 级近似波函数。 为了能表示出 c 是对应与第 个能量一级修正 En (1) 的一 组系数，我们在其上加上角标 而改写成 c 。这样一来， 线性方程组就改写成： H En c k k [ ] 0 1,2, , (1) 1 − = = = = = E c n k n n 0 | | 1 则对应 (1) 修正的 级近似波函数改写为： (0)
(二)实例 例1氢原子一级 Stark效应 (1) Stark效应 氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为 Stark效应。 我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用,造成第n 个能级有n2度简并。但是当加入外电场后,由于势场对称性受 到破坏,能级发生分裂,简并部分被消除。 Stark效应可以用 简并情况下的微扰理论予以解释。 (2)外电场下氢原子 Hamilton量 H=H+′ H"=eE●r=cE= ea cos 取外电场沿z正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得 多,例如强电场x107伏/,而原子内部电场≈101伏/米, 二者相差4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理
例1. 氢原子一级 Stark 效应 （1）Stark 效应 氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为Stark 效应。 我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，造成第n 个能级有 n2 度简并。但是当加入外电场后，由于势场对称性受 到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。Stark 效应可以用 简并情况下的微扰理论予以解释。 （2）外电场下氢原子Hamilton量 = • = = = − − = + cos ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 2 0 0 H e r e z e r r e H H H H 取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得 多，例如, 强电场 ≈ 107 伏/米，而原子内部电场 ≈ 1011 伏/米， 二者相差4个量级。所以我们可以把外电场的影响作为微扰处理。 （二）实例
(3)H的本征值和本征函数 e E n=1,2,3, 2 yum(r=rn,(r)Im(6,) 下面我们只讨论n=2的情况,这时简并度n2=4。 4 lle E 8h2 8 属于该能级的4个简并态是: 中1≡v200=R2 3/2 /2 20100 4√2 (2-)e R、,Y r/2 210 2110 o cos e 4√2 211 8√z Cre-r/ao sin Oei 21-1 8∨z()3/2 a)e-r12a0sⅢ、i y=2x> c=1,223,4
（3） H0的本征值和本征函数 = = − = ( ) ( ) ( , ) 1,2,3, 2 2 2 4 nlm nl l m n r R r Y n n e E 下面我们只讨论 n = 2 的情况，这时简并度 n2 = 4。 2 2 0 0 2 2 4 8 8 e a a e e En = − = − = 属于该能级的4个简并态是： r a i a r a r a i a r a r a a r a r a a r a R Y e e R Y e e R Y e R Y e − − − − − − − = = − = = − = = = = − ( ) ( ) sin ( ) ( ) sin ( ) ( ) cos ( ) (2 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3/ 2 / 2 8 1 4 2 1 1 2 1 1 1 1 3/ 2 / 2 8 1 3 211 2 1 1 1 1 3/ 2 / 2 4 2 1 2 210 2 1 1 0 1 3/ 2 / 2 4 2 1 1 200 2 0 0 0 其中 | 2 = 1,2,3,4