-Eo/<1 E0)≠E(0) 微扰适用条件表明: (1)田H'kl=|4|H№v0要小,即微扰矩阵元要小; (2)En0)-E0要大,即能级间距要宽。 例如:在库仑场中,体系能量(能级)与量子 数n2成反比,即 En=-Z2e22h2n2(n=1,2,3,…) 由上式可见,当n大时,能级间距变小,因此 微扰理论不适用于计算高能级(n大)的修正, 而只适用于计算低能级(n小)的修正
微扰适用条件表明： （2）|En (0) – Ek (0) | 要大，即能级间距要宽。 例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子 数n2成反比，即 En = - μ Z2 e 2 /2 2 n 2 ( n = 1, 2, 3, ...) 由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此 微扰理论不适用于计算高能级（n大）的修正， 而只适用于计算低能级（n小）的修正。 （1）|H’kn| = | <ψk (0) | H’ |ψn (0) >| 要小，即微扰矩阵元要小； (0) (0) (0) (0) 1 n k n k kn E E E E H −
(五)讨论 表明扰动态矢|ψn>可以看成是未扰动态矢ψk0>的线性叠加。 vn>=ym>+∑ (0) (1)在一阶近似下: E-E 2)展开系数H'kn/(En0-Ek0)表明第k个未扰动态矢k)>对第n个 抗动态矢忡n>的贡献有多大。展开系数反比于抗动前状态间的能量间隔 所以能量最接近的态Ⅳψk0>混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计 算无限多项 3)由En=En()+Hn可知,扰动后体系能量是由扰动前第n态能量En(0 加上微扰 Hamilton量H在未微扰态wn0>中的平均值组成。该值可能是正 或负,引起原来能级上移或下移。 (4)对满足适用条件 微扰的问题,通常只求一阶微扰其 精度就足够了。如果一级能量修正 E0)-E0 <<1E≠EHn=0就需要求二级修正,态 矢求到一级修正即可。 (5)在推导微扰理论的过程中,我们引入了小量λ,令:H′=AH(只是为 了便于将抗动后的定态 Schrodinger方程能够按λ的幂次分出各阶修正态矢所 满足的方程,仅此而已。一旦得到了各阶方程后,λ就可不用再明显写出,把 H()理解为H即可,因此在以后讨论中,就不再明确写出这一小量
− = + (0) (0) (0) (0) | | | k n k k n k n n n E E H 表明扰动态矢|ψn>可以看成是未扰动态矢|ψk (0)>的线性叠加。 （2）展开系数 H’k n /(E n (0) - E k (0)) 表明第k个未扰动态矢|ψk (0)>对第n个 扰动态矢|ψn> 的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的能量间隔 ，所以能量最接近的态|ψk (0)> 混合的也越强。因此态矢一阶修正无须计 算无限多项。 （3）由En = E n (0) + Hn n可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能量E n (0) 加上微扰Hamilton量 H’在未微扰态|ψn (0)>中的平均值组成。该值可能是正 或负，引起原来能级上移或下移。 （4）对满足适用条件 (0) (0) (0) (0) 1 n k n k kn E E E E H − 微扰的问题，通常只求一阶微扰其 精度就足够了。如果一级能量修正 H’ n n = 0 就需要求二级修正，态 矢求到一级修正即可。 （5）在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量λ，令：H’ = λH(1)只是为 了便于将扰动后的定态Schrodinger方程能够按λ的幂次分出各阶修正态矢所 满足的方程，仅此而已。一旦得到了各阶方程后，λ就可不用再明显写出，把 H (1) 理解为H’ 即可，因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。 （1）在一阶近似下： （五）讨论
【(六)实例 场沿x正向,用微扰法求体系的定态能量和波函数° 例1.一电荷为e的线性谐振子,受恒定弱电场ε作用 解:(1)电谐振子Hamn量Anh2a2 2u d -eax 将 Hamilton量分成H+田两部 方d 分,在弱电场下,上式最后一项 A 2t,ua x 很小,可看成微扰。 (2)写出H的本征值和本征函数E0,vn0) Yn=ne-a a (3)计算E① =ho(n+1)n=0,1,… E()=H ∫。 yo h'yuodx 上式积分等于0 e」 yo)xyu"=0 是因为被积函数为奇函数所致
例1.一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。电 场沿 x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。 解：（1）电谐振子Hamilton 量 x e x dx d H = − + − 2 2 2 1 2 2 2 2 ˆ 将 Hamilton 量分成H0 + H’ 两部 分，在弱电场下，上式最后一项 很小，可看成微扰。 = − = − + H e x x dx d H ˆ 2 ˆ 2 2 2 1 2 2 2 0 （2）写出 H0的本征值和本征函数 E(0) , ψn (0) ( ) 0,1,2, 2 ! ( ) 2 (0) 1 (0) / 2 2 2 = + = = = = − E n n n N N e H x n n n n x n n （3）计算 En (1) 0 ˆ (0)* (0) (1) (0)* (0) = − = = = − − e x dx E H H dx n n n nn n n 上式积分等于 0 是因为被积函数为奇函数所致。 （六）实例
(4)计算能量 欲计算能量二级修正, 二级修正 首先应计算H'kn矩阵元。 ∫wovm=vyxv 利用线性谐振子本征函数的递推公式:xvn=a√vn+√=vm1 Hkn =-ee yk (0)* k alv2Yn-1fv2Yn+ e6 dl yko va dx +5 vlo vaz) k,n-1 代入 ∑ ∑ alv2ok, - O k.n+1 0) (0) k≠n 0)-E ∑ 人≠n E 0臣Dn1+M 对谐振子有 En(0)-En:10)=h e8\2 n n+I En0)-En+10)=-ho, E-E E0)-E
（4）计算能量 二级修正 欲计算能量二级修正， 首先应计算 H’k n 矩阵元。 H H dx e x dx k n k n k n (0)* (0) (0)* (0) ˆ − − = = − 利用线性谐振子本征函数的递推公式： [ ] 2 1 1 2 1 1 + + = − + n n n n n x H e dx n n n n kn k [ ] (0) 2 1 (0) 1 2 1 (0)* 1 + + − − = − + [ ] (0) 2 1 (0) (0)* 1 2 1 1 (0)* e dx dx n n n k n k + + − − − = − + [ ] 2 , 1 1 2 , 1 + + = − − + k n n k n e n (0) (0) 2 (2) | | n k kn k n n E E H E − = (0) (0) 2 2 . 1 1 2 , 1 | [ ]| n k k n n k n e n k n E − E − + = + + − [ ] 1 ( ) 2 . 1 1 (0) (0) 2 , 1 2 + + − + − = k n n k n n k n n k e E E − + − = + + − (0) 1 2 (0) 1 (0) 1 2 (0) 2 1 1 ( ) n n n n n e n E E E E 对谐振子有: En (0) - En-1 (0) = ω, En (0) - En+1 (0) = - ω， 代入
(e)1+"10l=-(=) 由此式可知,能级移动与n无关 2 即与扰动前振子的状态无关。 ∑ E0=go=∑ k,n+1 (0) k≠ k≠ E-E e8 =e8 lVn+lw(o) (0) o如2- V2M山O n+1 (6)讨论 1电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元 E=<m|Hn>=-e<n|x|n>=<l1+n> x a+ll ehn|n>+<m|n习 a|n>=n|n-1> eVn<n1n-1>+m+1<mn+1=0 a'n>=\n+l n+I>
( ) [ ] 1 2 1 1 2 (2) 2 − + = + e n n En = − = 2 2 2 1 ( ) e 2 2 2 2 e = − 由此式可知，能级移动与 n 无关， 即与扰动前振子的状态无关。 (0) (0) (0) (1) k n k kn k n n E E H − = (0) (0) (0) 2 , 1 1 2 , 1 [ ] k n k k n n k n e n k n E E − − + = + + − − + − = − + + + − − (0) (0) 1 1 2 (0) (0) 1 (0) 1 1 2 (0) 1 1 n n n n n n n e n E E E E − = − + + + − (0) 2 1 (0) 1 2 1 1 1 n n n e n (0) 1 (0) 3 1 1 2 1 = n + n+ − n n− e （ 6 ） 讨 论： 1.电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元 En = n H | n ˆ | (1) = −e n | x | n = − + + e n | [a ˆ a ˆ ]| n 2 1 [ | ˆ | | ˆ | ] 2 1 = − + + e n a n n a n [ | 1 1 | 1 ] 2 1 = −e n n n − + n + n n + = 0 [ˆ ˆ ] 2 1 + x = a + a = + + = − + ˆ | 1 | 1 ˆ | | 1 a n n n a n n n