4.2随机信号通过连续时间系统的分析 4.2.2冲激响应法 X(t) 系统h(t) 互相关函数 测量 系统辨识结构图 当输入X(t)为白噪声，系统的输出： 假设高斯白噪声服从N(0,σ2)的正 R.)-」or-0-MdR=交知 态分布，则其自相关函数为： R(t)=6(t)o2 式中6(t)为单位冲激函数 .Rx(t) h(t)=No 高斯白噪声的功率谱密度S(w)是其 自相关函数R(t)的傅里叶变换，有 S(w)=o2
( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 0 0 h N h d N RYX ( ) 2 ( ) 0 RYX N h 互相关函数 测量 系统辨识结构图 4.2.2 冲激响应法
4.2随机信号通过连续时间系统的分析 4.2.2冲激响应法 •自相关函数 Ry(t,t2)=E(Y()Y(t2)=h()Rxy(tt2) =h(t2)⑧Ryx(41,t2) =h(t1)⑧h(t2)⑧Rx(41,t2） 若X(t)平稳 R(t)=h(t)⑧Rw(t)=h(-t)⑧Rx(t) =h(-t)⑧h(t)⑧Rx(r)
•自相关函数 ( , ) { ( ) ( )} ( ) ( , ) 1 2 1 2 1 1 2 R t t E Y t Y t h t R t t Y XY ( ) ( ) ( , ) 1 2 1 2 h t h t R t t X ( ) ( , ) 2 1 2 h t R t t YX ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) RY RXY YX h h R ( ) ( ) ( ) X h h R 4.2.2 冲激响应法
4.2随机信号通过连续时间系统的分析 4.2.2冲激响应法 Rx(t,t2) Rxr(tt2) Ry(t,t2) h(t2) h(t) Rx(1,t2) Rx(41,12) R(41,t2) h(t1) h(t2) 平稳情况 Rx(t) Ry() h(-r) Rxr(t) h() Rx(t) Rx(4:12) Ry() h(r) h(-t) 输入输出相关函数关系图
输入输出相关函数关系图 平稳情况 4.2.2 冲激响应法
4.2随机信号通过连续时间系统的分析 4.2.2冲激响应法 例：假设有微分方程描述的线性系统如下： dY(t) dt +aY(t)=X(t) 其中为常数，系统的起始状态为Y(O)=0,输入X(t)为平稳随机过程，且 E[X(t)]=入，Rx(t)=2+18(t),求输出Y(t)的统计特性。 解：首先确定h(t) 带入6(t)计算冲激响应 ah@+ah(t)=δ() dt
4.2.2 冲激响应法 例： 假设有微分方程描述的线性系统如下：
4.2随机信号通过连续时间系统的分析 4.2.2冲激响应法 则h(t)=e-rte(t) 阶跃函数 由于系统是因果系统，系统的响应在激励之后发生，因此， Y(t)的均值为： 卷积 mr)h()m((=eds() lim my (t)= t→00
4.2.2 冲激响应法 阶跃函数 卷积